книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf
|
|
|
|
|
|
- 91 - |
|
Х0о , 10 значение |
|||
Так как нзпб происходят бее |
кручения и |
||||||||||
основной постоянной С |
яаневит формулу (3.117): |
||||||||||
|
- Q fy) * |
j[ i7 |
jr |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
de, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8Г~ d y |
|
|
|
|
|
|||
Теперь подставив |
^ и з |
(3.II3) |
и |
$ (у ) из |
(3.118) в (Э.ГО) |
||||||
I (3.II5), получи! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Je = s tf f jf y d y + f e t f a 'f d y J , |
||||||||||
JjQ(y)dxdy |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
if следовательно» |
найден |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Г |
^ |
|
1 |
У |
^ |
у |
ф |
в |
^ |
у |
* |
l S f r y p J |
|
|
|
|
|
Р , а Л |
|
|||
|
|
|
|
|
S s/d y*j/af(s;)Jdy |
||||||
|
|
|
|
|
У/ |
|
|
y,у |
образом в виде |
||
Величина иа определяется неизвестным* |
|||||||||||
|
|
|
|
J y 9 , ( y ) d y |
|
|
(3.120) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
вг Ш |
у |
|
|
|
|
|
В 1933 году одновременно Л.С.Лейбенаоном и В.Дунканом |
|||||||||||
была найдена формула для определенна |
координаты центра нвгнба: |
||||||||||
|
|
|
г 2 |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
y |
Gj |
(y )c fy |
|
|
. |
|
|
|
|
У |
= ^ |
7 |
— |
|
|
--f/fdxJy (3.I2I) |
||||
УГ
- 92 -
вы! между плоскостью основана/ оху м изогнутой поверхностью мембраны в мембранной аналоги. Если этот объем положителен - интеграл больше нуля, то при приближенном реиении задачи об изгибе'при помочи вариационного уравнения (3.II4) мы, налагая связи, уменьиаем податливость мембраны и тем самым уменьваем этот объем. Следовательно,' при приближенном реиеинм задачи при
помом вариационного уравнения (3.II4), |
есля выполнено условие |
J J fd x d y >О |
(3.122) |
величина интеграла уменьшается по сравнению с тем значением, которое етот интеграл имел при точном реиении задачи об наги»
•бе. На ооновании (3.I2I) заключаем, что в этом случае мы нес колько преувеличиваем величину у .
Следовательно, при приближенном определении центра изгиба,
спомочью уравнения (3.II4), для которого имеет место контур ное условие F =0, получаем верхнюю оценку расстояния центра изгиба от центра тяжести, если выполняется условие (3.122).
Условие (3.122) выполняется для интересных, с точки зрения авиа ции, удлиненных по оси симметрии профилей.
Вычислим интеграл
JJfdtdy -я/ctyfлх*-6*)с/х=- |
#3dy- |
||
sS '* |
у,У, -0в., |
J |
У,V, |
Подставляя сюда D |
на уравнения (3.II9), |
подучим |
|
Грифжсом и Тэйлором (Англия) в 1918 г. была дана формула для определения координат центрачизгиба удлиненного профиля при помочи приближенного метода, которая при принятых здесь обозначениях запииется-так:
(3.124)'
- 9 3 - В (3.123) внесем J по формуле
J 'ffs'c/x d y.f4 y fг ’ж « * fe ttijd y
1 , обоаначая |
|
|
У |
9 (e> ‘f d |
y |
* = -> |
- |
' |
л |
|
|
подучит
|
|
• |
(зл25) |
Этот интеграл полскатедев, |
ноля |
|
|
что обычно а имеет меото ( |
‘</0 - |
координата центре тяжеон ). |
|
Так как для удлиненного профиля величина (&/J |
еоть |
||
малая ведичхна (положительная), |
то ° f - положительная вели |
||
чин, малая по сравненмв о |
/ . |
|
|
Внося (3.125) в (3.121) при обозначениях (3.124), |
получим |
||
ф( * - ь 4 7 ? 1 -
I.Для удлиненных профилей мы можем пренебречь аС по сравне нию с едиввдей в тогда получки ма (3.126)
Эта важная формула была выведена Л.С.Лейбвнвоном в 193.3 г. я неаавиоимо от него получена одновременно В.Дунжаном дня чаотloro олучая полукубической параболы.
Величина у0~УгР<р составляет нижнюю опенку дли рас стояния центра наиба от центра тякеотн. Согласно вывеяаложовюну формула (3.127) дает верхнюю оценку расстояния центра иэ-
.пба от центра тяжеоти.
|
|
|
- 9 4 |
-■ |
||
|
Итак,. Имеем фундаментальное |
неравенство |
||||
|
■ У о -У гю ^ У о ;9 -’< |
' ^ |
^ ( S b - y r f j ) . (3.128) |
|||
На рис. 3.4 точка |
Ог - передняя точка головной части профи* |
|||||
ля, |
/г,-центр тяжести, •.^ |
- центр |
изгиба по Грифису- •Т8ЙЛ0- |
|||
ру, |
Л> - центр изгиба по'ЛейбенэоНу |
Л.С., и, наконец А - точка. |
||||
расположенная между |
, я A |
j - |
истинный центр изгиба. |
|||
- Ш В А DT. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ У Ш Г О С Т Й
§ 4,1. Плосколд^оаыаровавное состояние
Значительные трудности практического характера, связанные с решением основных задач теории упругости, заставляй нова» эффективные методы для реиения более или иенее частных задач, имеющих значение на практике. Один из важнейших клаосов задач 1 такого тика охватывается так называемой "плоской задачей теорп упругости". ,
Уравнения плоской теории упругости непосредственно прше~ няются к двум случаям равновесия ■упругого тела: к случав
плоской деформации |
и к одучаю плооконапрнженного состояния, т.е |
|||
дефориации тонкой |
пластинки силами, |
приложенными |
в ее обводу и |
|
действующими, |
в ее |
плоскости. |
|
|
Имеем плоскую деформацию, параллельную данной плоскости |
||||
(например х о у ), если присутствуют |
только упругие |
перемещения |
||
параллельные |
этой |
плоскости, т.е. |
|
|
|
|
у)' |
|
|
|
|
&= ( } ( х ,у ) |
, |
(,.1) |
OJ- 0.
Отсюда следуют соотвоиения:
(*.2)
|
|
|
|
- 96 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 о 5 = 2 с й |
д& |
|
|
д и _ , |
|
|||||
|
|
|
|
- |
д у |
|
|
||||
|
|
|
|
= л ", = ~ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
д* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д& |
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
|
|
|
|
|
|
■ J T - ” |
|
||||
|
|х е "* дх |
|
|
|
|||||||
|
|
, |
|
t o |
+ |
|
t e |
^ o |
, |
|
|
|
U y |
|
ду. |
|
|
д% |
|
|
|
||
|
|
v |
|
.дО__ |
+ J h L = v ■ |
|
|||||
|
|
У*~ дх |
|
|
% |
W - * . |
|
||||
Физические уравнения запишутся как |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
, |
|
ди. |
* |
|
. / |
• , |
д о |
) |
||
, 4-ляг, +а в ‘2о ж |
|
лl-gf * -j— j’ |
|||||||||
<.£ц=2ва |
|
|
|
дО |
|
|
/ди |
до ) |
|||
+ л в * 2 в . п |
|
* а ( ., |
3 |
1 |
|||||||
|
г * Л В - Л ( д х |
|
* % ) ' |
(*.*) |
|||||||
Z - Z |
|
|
_ / д и |
~h |
до \ |
|
|
||||
ч* |
= G (-3 — |
|
ох |
)1 |
|
||||||
*у |
|
|
\ду |
|
|
|
/ |
|
|
||
|
Z =Z =01 |
|
|
|
|
||||||
|
|
уг |
гу |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 jiG
А *
1-2j>. ' \i-2r ) ( t + y )
Следовательно, при плоскодефорнрованнои состоянии кои-* понента d>2 не иочеэает, и только благодаря ее наличию обеспе чивается состояние плоской деформации. Складывая первые два со отношения (4.4), получим
(4.V)
|
- 97 |
откуда |
f |
(*-s>
•Л
bo так как |
JJ.~ T / ^ , Q ) ~ |
коэффициент. Пуассона,.то,внося |
(^.5) |
||||||||
в третье физическое |
уравнение, найдем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
f* = 7 ( Ш |
) ( ^ |
у ) у ч ^ |
. ; **•/ )• |
(о.б) |
||||
Заметим, |
что выражение |
(4-.6) можно получить |
и из уравнения. |
||||||||
|
|
|
|
£2 = |
|
|
|
|
|
|
|
приравняв |
к |
нулю |
величину |
£ г . |
|
|
|
|
|||
Если мы |
имеем, длинное цилиндрическое тело, во оси которого |
||||||||||
направлена |
ось |
координат |
OZ., то на концевых сечениях его долж |
||||||||
ны действовать |
некоторые |
|
нормальные напряжения, |
обеспечивающие |
|||||||
неизменяемость |
продольных |
волркон тела |
и плоскую деформацию. |
||||||||
Уравнения |
упругого..равновесия |
имеют |
вид |
|
|
||||||
|
|
|
|
$ k |
/ d t . |
L + f X = 0 , |
|
|
|||
|
|
|
|
дх |
|
cfy |
|
|
|
|
( W ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+j>y--o. |
|
||
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. - ■»У- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
:д + |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь.Х ,У |
|
не |
зависят от. 2.. |
|
|
|
|
|
|||
Внося * (4 Л ) в |
уравнения-равновесия, мы подучим уравнения |
||||||||||
Ляме в. виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л +&) |
1 |
|
+J>X ~'0 , |
|
|
|||
|
|
|
|
tie |
|
2 |
• |
|
|
|
|
а в случае отсутствия массовых |
оид имеем |
|
|
|
|||||||
(4.9)
- 98 -
( 4 . 10)
„2- |
д*и |
О и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зуг |
|
|
|
(*.ц) |
|
|
|
|
|
|
д о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
д гч> |
|
|
|
|
||||
|
v, * |
- |
- |
|
r |
|
r |
|
|
а у |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ох |
|
|
|
|
|
|
|
||||
В олучае плоской деформации |
напряжения |
на |
наклонных |
|
|
||||||||||
|
6.■= ■ |
2 |
|
|
|
|
. _ ± L |
-- COS2oL , |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
^ |
^ |
|
|
_ |
<*У |
|
|
C O S2 o L y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.12) |
|
|
|
' |
|
|
|
|
sin |
2oL . |
|
|
|
|||
|
|
|
^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укажем случаи, когда может иметь место только что охарак |
|||||||||||||||
теризованная |
плоская деформация. Предположим, |
что |
тело |
с ци |
|||||||||||
линдрической |
(призматической)' боковой поверхностью |
ограничен |
|||||||||||||
но с двух сторон основаниями, |
нормальными |
к боковой поверх |
|||||||||||||
ности. Пусть внешние нагрузки, |
|
приложенные |
к боковой |
поверх |
|||||||||||
|
ности, |
|
параллельны плоскости |
х о у |
и не |
||||||||||
|
зависят |
от |
2 |
и пусть |
этому |
же |
условие |
||||||||
|
удовлетворяют |
объемные силы |
(рис. 4.1). |
||||||||||||
|
|
При этом, очевидно, должны выпол |
|||||||||||||
|
няться |
|
следующие |
условия |
на |
поверх |
|||||||||
|
ности |
тела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Р* = г |
л |
|
|
|
(4.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
& |
т . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
yv |
|
к у |
с |
У |
|
|
|
Таким образом, мы пришйи к задаче, аналогичной первой ос новной задаче теории упругости, которая согласно теореме Кирхгофа имеет единственное решение (с точностью до жесткого перемещения тела, .параллельного плоскости %оу )., если только совокупность объемных сил и сил, приложенных к боковой - поверх ности, статически эквивалентна нулю,
•Пусть |
^ ,0,6^., |
£ чурешение |
нашей задачи. |
Вычислив ^ 2 |
|
по формуле |
(4.6) и считая ^ |
^ |
х - £ гуг0« мы |
полу4™ решеиие, |
|
отвечающее |
всем поставленным условиям. При этом |
основания ци |
|||
линдра не |
свободны |
от напряжений, |
а подвержены |
нормальным уси |
|
лиям: “верхнее" (обращенное |
в.сторону положительных г |
) -<62 ; |
||
"нижнее" - |
<2>г . Приложение |
этих напряжений |
необходимо |
для |
поддержания |
деформации плоской. Причем выбор |
напряжений, |
прило |
|
женных к основаниям, уже от нас не зависит, а определяется внеш
ними усилиями |
|
И |
/Эуу. |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
Это обстоятельство, на первый взгляд, умаляет значение рас |
||||||||||||||
смотрения |
плоской деформаций. |
На |
самом»деле |
в случае длинно |
|||||||||||
го цилиндра |
это |
неудобство |
легко |
устранить. |
Для |
этого |
на |
||||||||
полученное |
решение достаточно наложить |
решение задачи равновесия |
|||||||||||||
нашего цилиндра в |
предположении, |
что объемные силы ж внешние |
|||||||||||||
нагрузки равны нулю,-а на основания действует усилия, равные по |
|||||||||||||||
величине |
|
и противоположныетем, |
которые мы' жежаём устранить. |
||||||||||||
Эта задача решается элементарно, поэтому всегда простым приемом |
|||||||||||||||
мы можем |
устранить усилия, приложенные |
к основаниям. |
|
||||||||||||
|
Отсюда вытекает, что цилиндр будет находиться |
в состоянии |
|||||||||||||
плоской деформации |
только тогда, когда вектор |
поверхностной |
|||||||||||||
нагрузки, |
действующей |
на его боковую |
|
поверхность, будет |
па |
||||||||||
раллелен |
|
плоскости |
деформирований |
х о у |
и не будет зависеть от |
||||||||||
координаты |
z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Граничные условия |
на боковой.поверхности |
цилиндра могут |
||||||||||||
быть |
заданы |
и в |
перемещениях. |
В |
этом |
|
случае на данной по |
||||||||
верхности |
должны |
быть заданы |
два равенства: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
u = u ( s ) , |
|
|
&=&(&), |
|
|
(4 .1 4 ) |
||||
где |
S |
- длина |
•дуги поперечного |
сечения цилиндра. Иногда |
|||||||||||
|
|
|
могут |
задаваться |
смешанные |
|
граничные |
условия. |
|||||||
|
Ванетин, |
что |
поперечное |
сечение тела может |
быть, |
вообще |
|||||||||
говоря, |
ограничено |
и негладкой |
кривой |
(например, может |
быть |
||||||||||
— ' •- ICO' -
прямоугольным и многоугольным); соответственно область, занимае мая телом, может быть не только односвязной, но. й мисгосвязной. В этом случае область будет,состоять не из одной, а из несколь ких цилиндрических поверхностей с параллельными образующими (рис* 4.2).
|
Плоская деформация имеет место, если какую-либо пластинку |
||||||||
деформировать так, как показано на рис. 4.3. |
|
|
|
|
|||||
|
В таких же условиях фактически оказываются |
тела, |
размеры |
||||||
которых в-одном направлении (например, |
б |
направлении |
оси' |
х ). |
|||||
очень велики.' Таковы, например, задачи |
о длинной |
плотине |
|||||||
(рис. 4.4, а |
)', длинном катке (рис. 4.4, |
5 ), длинном |
своде |
||||||
(рис. 4.4, 6 |
) |
и длинной пластинке |
(рис. 4.4; |
г |
) |
с |
осью, |
||
параллельной |
оси |
z , ( во всех этих |
случаях предполагается, |
||||||
что |
нагрузка |
не меняется вдоль оси г |
). |
|
|
|
|
|
|
|
Иногда при расчетах НДС рассматриваемых тел вводят понятие |
||||||||
обобщенного |
шюскодеформированного |
состояния, |
имеющего |
мес |
|||||
то |
при £ |
= 'c o n st . |
|
|
|
|
|
|
|
§ 4.2. Длосконапряженное состояние
Если все три компоненты напряженного состояния, параллельные данной плоскости по всему объему упругого тела, суть нули, то имеет место плоское напряженное состояние.