книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

-

IIZ -

Поскольку

четвертое

и пятое

уравнения из полученных

нами

удовлетворены (компоненты напряженного состояния, а следова­

тельно, U- , не зависят от координаты

2 ),

то первые

три

уравнения будут

удовлетворены

только

тогда,

когда

V V -

vf2(vf2u) = o.

(4.47)

Раскрыв символ

Дапдасова

оператора,

получим

* / д * 1 Г

d z U

О ,

3 * и

д * и -О . (4.48)

V' ( дх*

+

Зу1

д*гд у 2

3у'

Зто и есть уравнение Максвелла,

которому должна удовлетворять '

щие,

бйгармоническими.

Если

(х,у ) - гармоническая функция,

то функция

V = [A x+ 3y + C ( x 2+ y 2) ] V »

где А ,б , С

- произвольные постоянные, есть бигармоническая,

удовлетворяющая

уравнению

(4.48).

Это вытекает

из

соображе­

ния,

что, если каждая

гармоническая

функция

, у

,

z )

удов­

летворяет уравнению

то она

удовлетворяет

также уравнению

а следовательно,

является бигармонической

функцией.

Таким обраеом, решение плоской задачи

в напряжениях сво­

д и м

к.интегрированию одного дифференциального уравнения

(4.48)

четвертого

порядка

в

частных производных;

если

из

этого

уравнения

определим

функцию

U (к , у ) л то далее

по фор­

мулам

(4.41)

найдем

напряжения в любой

точке

тела.

К

урав­

нению

(4.48),

конечно,

должны

быть

добавлены

граничные усло­

вия,

соответствующие

конкретной

задаче.

Ниже

мы

остано­

вимся

на первой основной

задаче

теории

упругости.

В

атом

случае

на границе тела,

т.е. на контуре поперечного'

сечения

наиболее простой

вид, если контуром .тела является прямоуголь­

ник со

сторонами,

параллельными осям

координат ох

и о у .

Тогда

на сторонах,

параллельных оси Ох, следует задать

напря­

жения

-и

, на сторонах, параллельных оси р у ,

напряже­

ния 6^

и £ ^ х . согласно

(4.4I-) эти напряжения равны соответст­

вующим

значениям вторых,

производных

функции и ( х , у ) %кото-,

рые и должны быть заданы.

Рассмотрим • краевые

условия в Случаеконтура произвольно­

го очертания;

с этой

целью обратимся

к общим условиям

на по­

верхности. При помощи

функции напряжений. У (х ,у ) они запишутся

в виде

9

__

д у 1.

'' ’ 1 [ дх д у :

(4.49)

д гЦ

._

\

_ /

\

3 2и

д х д у

+PX)COS(X,D) + — 7 7 cos(y,vj.

и х .

Следовательно,

решение

плоской, задачи представляется так:

следует

найти функцию

удовлетворяющую’ во всех точках

поперечного

сечения

исследуемого ■ тела

уравнению (А.48),

а

на контуре

этого'

сечения

уравнениям (4.49),

где

и/^, -

проекции

внешней

нагрузки

на оси

координат. Найдя

функцию (7,

по-.уравнениям ._(4Л1) ' определим .'напряжения; дальнейшее опреде­

ление

деформаций и

перемещений выполняется по уравнениям

обоб­

щенного

закона Гука

и геометрическим

уравнениям.

Если пренебречь,

объемными

силами

{J>=0)

ъ уравнениях

(4.49Л

то

условия на поверхности

(4.49) можно записать короче,

вводя

понятие .о производной,

функции . по дуге контура попереч­

ного

сечения. Действительно,

имеем

(рис. 4.7)’

cos(x,vU'sw

d s

.

cos'(y,t)=cos 0 6 = - - ^ - •

v

7

a s

- m

-

я',=

У и

d у . ^ У £U_ d * _ —

/ d u

as

*

^ й"

ds

'< 3y

д . Г

(4.50)

</<7. cfy _

<7-V-

a 5 -

£ ? * 2

a s

l г?*

Умножим (4.50)

на ate и интегрируем

no s

вдоль

контура,

начиная

от.про­

извольной

точки

S Q , принятой

за

начало

дуги:

зи

, 7 „

*о

д х

=

- 4

-

j(4.5I)

*

д и

=

Г р ^ s = J f

(s) ■

Рис. 4.7

З у

Здесь» и д - произвольные

постоянные,

выражающие

значения

про­

изводных

ди

д и

Вх

’■

д у

в точке &0 контура;

точка 5 ; коор-'

дираты

которой

х,^ * лежит на

конту-.

ре. Для большей наглядности введен

следующую аналогию: заменил

контур

исследуемого

тела

стержнем

той же

формы,

разрезанным

в

точке

S a .

(рис. 4.8),

где'приложены силы:

А.

параллельно

оси

у

,

Q- оси

х ..

Имея в вжду, что поверхностные нагруз-

ки РХу

и РуХ)

рассчитываются,’на

едини­

цу длины -дуги контура,

заметим,

что

величины X (s) и У ^

ъ правых

частях

равенств

(4.51)

представляют собой’

суммы проекций на оси ох и оу сил, приложенных

к

части

sa s

стержня. Если

вместо обей

о х и

о у

возьмем

новые о с и on и o t

(см. рис. 4.8),

направленные параллельно

нормали

и касатель-

- 115 -

ной к контуру

в точке

$

, то формулы

(4.51) в

новых координа­

тах п

и

t

запишутся так:

д и

т

I

д п

= "

|

(4.52)

где

Т

- продольная-сила в точке

S

стержня;

(s)

в течке

S

стержня.

N

- поперечная сила

В формулах (4.52)

величина

~ ~ есть производная от функции

напряжения'

U

по нормали

к коитуру,

аналогично

- промз­

водная

по касательной

к контуру

или

он

по дуге контура

д и '

д и

—

можно считать,

что,.

U = М. (*>

.где

(s)

■- момент

сил,

приложенных к части Sa & йтержня отно-

М

сительно

. •

(s)

.

•

точки. S . При вычислении

М

путем интегрирования

уравнения

(4.52)- добавится

произвольная

постоянная, которую

можно

задать, приложив

в

начальной

точке S Q пару сил с про­

извольным

моментом

С

(см. рис.‘4.8)'.

Приведенные выше рассуждения позволяют

представить усло­

вия

на контуре

(в случае

заданных на нем нагрузок) в нужной нам

новой

форме;

для

этого

следует. по заданным •на контуре нагруз­

кам подсчитать

в каждой

его точке

функцию напряжения и ( х } у )

и ее

производную

по формулам

(4.52)

как продольную силу

UА

*■

s

и изгибающий момент

от заданных на контуре нагрузок. В состав

U

и в о й д у т

три произвольные

постоянные А, В и С (началь-

о п

-

116 *

ныв параметры). Они,

очевидно,

не

влияют

на

заданные контурные

нагрузки

Pxv

и

Р^.

и.напряжения,

вызываемые

ими.

Значит,

плоскую'задачу

теории

упругости

при

заданных .на '

контуре нагрузках можно .-трактовать-

в следующей

математической

форме: требуется

найти бигармоническую

функцию- и

(* , у ) во

всех точках области,'Ограниченной

заданным

контуром,

если .на.

контуре,

заданы

значения,

самой функции

U ( x ry). и ее

нормаль­

ной

производной»

U-, по уравнениям (4.41)

Найдя

.функцию

можно

.опреде­

лить

напряжения

и' с помощью

физических,

и геометрических

‘Уравнений

можно

'найти .деформации

и перемещения;

Перемещения можно

определить

и

по

известным формулам

Нейбе'ра-Папковича

или

Б.Г.Галеркина

[z] , для

вывода

которых

вводится ■понятие

элементарного

вращения

Ц .

§ 4.5. Теогема Уооиоа Леви

и случае плоской задачи

теории

упругости

при

отсутствии объем­

ных сил

решение уравнений

упругого

равновесия

Коши

= О,

дх

д<Ь,. = '0.

(4.53)

дается,

как

установлено выше,

ду

формулами Эри

д 2Ц

З гЦ

»(4.54)

д у г

у -

дх*-

*

L*y

д х д у

ГДв U (х ,у

)

удовлетворяет .бигармоническому

уравнению

v 4u:~o'f

(**55)

при граничных условиях

,е*.г

(4.56)

..<Ь

т .

Или,

как показано

выше,

решение задачи

теории— упругости можно

свести

к нахождению бигармонической функции U

( х , у ) по

за­

данным

на контуре

значениям

как

ее самой,

так

и ее

нормаль­

ной

производной.

Величины

напряжений,

пренебрегая влиянием

собственного ве-

получим

из уравнений

(4.61):

4'

»

(4.62)

Если.возьмем пластинку

шириной

h

(рис.

4.9)

и

предположим,

что

в ней осу­

г

ж

ществляются

напряжения

(4.62),

то на поверхности ее

будут

действовать

следующие

напря­

жения.

На верхней

и нижней

Рис. 4.9

гранях ^(при

у =

± - j - )

- d>

- £

‘на боковых

гранях

(при

х = ±

&к = к у

ф

_

к =-<Ьх

= - к у ;

г

=г =о.

*ч

-*«/

Эпюры

напряжений

<ЬХ

показаны

на рис. 4.9; очевидно,мы

имеем дело со случаем, чистого

изгиба.

Рассмотрим изгиб высо­

А‘

кой балки на двух опорах

и п п н

т

ш

под сплошной равномерной на­

п

грузкой q (рис. 4.10).

Опорные

реакции

пред­

положим в форме

касательных

сил,

распределенных по кон­

цевым

сечениям. При располо­

жении

осей

координат

по

рис. 4.10

элементарное ре­

шение

задачи,

как известно

Рис. Л . Ю

из сопротивления материалов,

Дается

выражениями:

X .

Запишем

эти формулы

в

более

общей виде:

(4.63)

и проверим, удовлетворяет

ли

они

всем

уравнениям

плоской

задачи.

Напряжениями

обычно

пренебрегает. Это

позволяет

наперед

утверждать,

что

система

напряжений

(4.63)

совместно

с допущением <&у =0

не удовлетворит уравнениям

теории упру­

гости,

так как

на верхней поверхности

при

у = -

—

имеем

равенство

2

Однако постараемся 'удовлетворить

уравнениям

теории^

упругости, задаваясь

напряжениями

(4.63), но

отбросив усло­

вие

*0.

Подберем обпцйГвид функции

напряжений

при

напряжениях

(4.63)

Интегрируем

дважды первое

иэ

этих

уравнений: