книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf
|
|
- II - |
|
|
|
f J f b & |
' O , |
|
|
|
S |
|
|
|
MX= f j ^ |
y^ J =Л ffy ^ s = 0, |
f |
(I.*) |
|
o’ |
" |
S |
|
|
|
= -60ffxas = 0, |
|
|
|
$ |
|
J1 |
|
|
s ■ |
|
|
J |
|
Равенства (1Л),2и (1Л)5 выполняются, так как на торцах
, а равенства (1Л)? ^ -так как за точку приве
дения сил принят центр тяжести площади сечения торца. Таким об разок, поле напряжений (1.3) удовлетворяет уравнениям равновесия и .условиям совместности и, кроме того, на торцах стержня дает заданные значения главного вектора и главного момента поверх ностной нагрузки. Тем самым данное поле.напряжений является ре шением задачи о растяжении стержня в смысле Сен-Венана.
§ 1 Л . Изгиб стбраня парой
Пусть поверхностные силы, действующие на торец стержня 2 - € ,
статически эквивалентны паре сил с моментом М ^ -М |
. Остальные |
||
же компоненты главного вектора и главного момента |
Fy f |
f |
|
Mx, |
равны нулю. |
|
|
Из соображений статики видно, что при атом силы, действую*: щие на другой торец стержня »? = О , должны быть статически экви
валентны паре сил М у - -М • Пусть всем условиям задачи удов
летворяет поле напряжения вида
- 12 -
J |
(1*5) |
где Q. и 6 - постоянные коэффициенты.
Подставив (1.5) в уравнения равновесия п уравнения Бельтра- ии-Митчела, убеждаемся, что сделанное предположение не противо речит указанным уравнениям и граничным у с ло вне й яа боковой поверх ности'стержня, т.е, поле напряжений (1.5) в-принципе возможно»
На основании (1.5) имеем следующие вырасвЕия для коипонен- тов-главного векторй и главного иоаанта на торце стертая:
Fr / |
f ^ d ^ b ; |
^ |
s |
|
|
|
|
4 |
V |
/ C^ |
' |
0’ |
|
(Х*.б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'N? |
|
|
|
|
|
|
J |
-Jp&gdi =a-ffxds +6j j y a s |
= О |
(1.7) |
|||||
|
/ |
S |
|
|
|
|
) CC,C) |
|
% |
= |
= -a J J x * d s - S jf x y d s = -a J ^ -6J^ , ) |
||||||
|
s |
|
s |
|
|
s |
‘ |
|
где JXA, |
, Jyy |
- моменты инерции поперачиого |
сечения' тор |
|||||
|
|
|
|
ца относительно осей х у (осевые или эк- |
||||
|
|
|
|
ваториальпые |
и. центрсбежзый). |
|||
При этом, равенства |
(1.6) непосредственно омедуют из того, |
|||||||
что оогласно |
(1.5) |
|
|
= <? |
1 А |
равенство (I.?) |
- зв того, |
|
•что начало координат принято в центре тяжести торцевого сечения. Согласно ,имеющемуся 'условию
- 13 -
v, 1
JxxJ*y ’ Z y
(1.9)
Формулы (1.9) получены из условий:
Нормальные напряжения, возникающие в стержне при изгибе его па
рой сил М у-М |
, приложенной к |
торцу, определяются формулой |
|||
|
М |
|
|
|
, |
^хх'-'уу |
Уху - |
|
J |
' |
|
В частном |
случае, |
если X, у |
яв'ляютсп |
главными осями инер |
|
ции поперечного |
сечения стержня, |
|
|
||
|
|
. |
М |
и л и |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при изгибе |
парой сил нормальные напряжения |
||||
в каждом поперечном сечении стержня распределяются по линейному закону. Теперь, имея выражения для напряжений, можно с учетом закона Гука записать
■4=f '•М |
- А * - |
~1Г(ах |
* у ^ - 1 г { а х Ф М > |
||
• •* |
Jr(ax+6t/)t |
|
£ |
|
|
(I.I2)
- 14 -
b - f f ' t s - * '
Однако учитывая, что
_ J /Эиг
Ы х' 2 . Щ |
W |
|
* 2 (дл |
)> |
(I.I3) |
|
,. , 1fdv Эи,) *~2{Эх ~ д у ] 9
выражения для углов поворота в каждой точке тела могут о'ыть за писаны так:
(!.»)■
-^т(аУ~ вх) '
Входящие сюда постоянные интегрирования Cdj0 -- суть зна
чения углов поворота в начале координат. Считая торец «f = О закрепленным в отношении смещений стержня как твердого целого, получим
шу =-£х; |
(ay-Sy): (I.I5) |
.Формулы для перемещений u f irf и г получаются'из рассмотрения равенств
Эи |
Эи |
Эи |
Эх |
дУ |
Эа? |
|
- 15 ■
Рассматривая остальные шестьсоотношений, получим
^ Ф[ а-Л 2_ у г) + £ Xy J ,
|
(2.16) |
г г = - х '4 - г * ~ Y [ 2хУ + § ( у г ~ Ф ] > |
|
Л б ‘ |
|
— (ах+ 6</)£- |
|
Согласно последней из |
этик формул пр'одольное перемещение tir |
в любом поперечном сечении |
стержня есть линейная функциями у / |
из чего следует, что каждое такое сечение при деформацшЬрасснатрнваемого типа остается плоским.
Сравнивая полученные результаты с формулами сопромата,не трудно заметить, что приведенные формулы в основном совпадают с результатами приближенной теории изгиба, излагаемой в сопротив лении материалов.
ГЛАВА 2. ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА О КРУЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
§ 2.1» Общая теория кручения стержней
Пусть действующая на торец стержня внешняя нагрузка, сводится к моменту
(2 .1)
S
В данную формулу входят только компоненты напряжения ^хз> ^ з ,
в соответствии с. чем можно ожидать, что именно они должны иг рать основную роль в рассматриваемой задаче.
Следуя полуобратному методу Сеы-Венана, попытаемся удов летворить всем уравнениям и граничным условиям задачи, приняв остальные .компоненты напряжения равными нулю. При этом уравне ния равновесия (объемные силы отсутствуют) примут вид
|
|
|
|
(2,2) |
Из |
первых двух равенств |
следует, что £хл, |
Су г и соответ |
|
ствующие |
им сдвиги Д у > |
не зависят от £ |
. |
|
На основании же третьего равенства.можно записать |
||||
|
|
|
|
(2.3) |
где Ф - функция только / и у |
; |
- постоянный неопределенный |
||
коэффициент. |
|
|
|
|
|
|
|
- 17 - |
|
|
Предположение» |
что*равны |
нулю |
напряжения |
|
|
(по закону Гука), эквивалентно предположению, что |
|
||||
4 = 5 ^ ^ ' ' |
ev = § £ * 0 . , |
|
|||
* |
дх |
|
-У с?у |
|
|
|
ел - % £ - о . |
|
(2Л ) |
||
|
* |
д г |
|
|
|
Производные угла поворота |
|
, связанные |
с деформация |
||
ми формулами |
|
|
|
|
|
дЫг __ ? dfx# _ jfcr, |
|
||||
|
^ |
|
д(/ |
|
|
duz _ <9<S^ / dfat/ |
|
||||
с?у |
_ < & |
■ 2 ' д у |
Г |
} |
|
§22ё |
|
|
|
|
|
51? |
^ |
\‘Л г |
С?у |
|
|
(2.6)
дх
На основании третьего из равенств (2.6)
с^^-±оСЯ?г<р+ V(x,y)' |
(2.7) |
|
Подчиняя это выражение двум первым равенствам(2.^, будем иметь
Чг<Р*С* const, [ ? * ( ) = $ + \ jr-]’
v (x>y) ~ ‘Ч? = const.
Считая, что на торце «?*= О стержень закреплен от поворота, не обходимо положить c j^ = 0 . Таким образом, окончательно получим
|
- |
lb - |
|
|
|
'x)g ~ ~2 |
" |
|
(2.9) |
где Г |
- постоянный коэффициент - угод |
закручивания стержня, |
||
отнесенный к единице его длины. Кнокитель <Х |
ионе; быть выбран |
|||
произвольно. Если положить а£= V %то |
С = |
-2 и уравнение для |
||
функции |
Ф(X, у ) принимает вид |
|
|
|
|
ф?Ф=-2. |
|
(2 ЛО) |
|
Определенную таким образом независящую от степени кручения Т вспомогательную функцию Ф называют функцией напряжения в за даче о кручении или функцией Прандтля.
Остальные два угла поворота
(2.II)
дФ Ч = - Ч - 2 € а у
Перемещения, соответствующие.принятому полю напряжений и подсчитанные с учетом формул (2.5), запишутся так:
U ~ - V y s ; V = ТХ<2.
(2.12)
ur = £<f(x,(/)\
где
д х . |
д У |
(2.13) |
|
д у |
|||
|
функция.кручения Сен-Венана.
В формулах (2.12) опущены, постоянные интегрирования, по скольку им соответствуют перемещения стержня как твердого це лого. Продифференцировав'первую формулу (2.13) по X , а вторую по у и сложив ик, получим
V 3< /= V 2 ltr |
(2.14) |
т,е, у? (а вместе с нею и продольное перемещение и г) - функция
гармоническая, зависящая, как это видно из (2Л2), только отх и у .
- 19 - Из вышеизложенного ясно, что предлагаемое решение удовлет
воряет уравнениям равновесия и соотношениям неразрывности Бель- трами-Митчела. Теперь остается подчинить решение граничным уело--' виям на боковой поверхности стержня и на его торцах. Поскольку боковая поверхность стержня свободна от внешних сил, на ней должны соблюдаться равенства
<&х COS ( Vt х) + Рху COS(У, (/) + ?Ж2 |
c o s fy Si) - 0? |
|
try x cGs(v, * )+ <£>у co s ( v ,y ) + |
cos ( у * ) |
(2.15) |
c o s ( у х) + % с о з ( у у ) +
При этом в данном случае
с о з(ц х )^ -^ ■, |
c o s ( w ) = - ~ i |
|
где х , у , з |
-координаты точки |
|
и длина дуги направляющей цилин |
||
дрической поверхности, |
ограничиваю- |
|
вающей стержень (.рис. 2.1). ' Учитывая эти формулы и сде
ланные выше предположения отно сительно напряжений, находим, что первые два граничных условия (2.15) удовлетворяются тождест венно, а третье принимает вид
C OS |
, |
соз(У,2 ) = 0>
Рис. 2.1
" |
° |
(2; П ) |
где L - контур поперечного сечения стержня. Если подставить сюда вместо напряжений их выражения согласно формулам
- 20 -
то получим |
|
|
|
д Ф Ф у + < № d x |
_ d- ф |
j |
(2.19) |
3y ds dx ds |
ds |
|
|
т.е. на образующей боковой поверхности стержня
Ранее было показано, что Ф (х,у) подчиняется уравнению Пуассона (2.IO)* Теперь получено граничное условие,.которому должно быть подчинено решение этого уравнения.
В случае многосвязного стержня функция Ф должна быть по стоянной на всех цилиндрических поверхностях и каждой будет со ответствовать определенное значение ее, т.е.
(2 .21)
Поскольку s формулы для вычисления напряжений входит част
ная производная Ф |
(2.18), |
то |
эту функцию достаточно |
определить |
|
до произвольной постоянной, чго дает возможность полонить одну |
|||||
из постоянных Л/ |
равной нулю. Это будет равносильно |
замене |
функ |
||
ции Ф(х>у) функцией •Ф(х,у) + |
Поэтому для односвязного |
теле |
|||
с одрой граничной поверхностью граничное условие для функции |
|||||
Ф(х,у)может быть принято в виде |
|
|
|||
Ф(*,у)-0 |
» |
< > V - |
(2.22) |
||
Рассмотрим граничные условия на торце стержня. Нужно при этом показать, что полученное выше поле напряжений удовлетво ряет. на торцах стержня равенствам
Ь |
d s i |
§ ’ / / а'3= Л |
<2‘25> |
S .. |
|
s |
|
поскольку иначе помимо крутящего момента будут возникать попе речные силы, изгибающие стержень. Подставляя (2,23) в (2.18),
получим
(2.24)