книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- IOI -
пусть указанная плоскость х о у , тогда |
шеей |
соотношения |
ё2 = охг =. \ 2 |
|
(4.15) |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
Отсюда для изотропного упругого тела |
|
|
|
|
|
|||
|
*■: +л е = : |
„ Го! |
1 / cfa |
3 J |
|
|
||
|
'г. |
|
|
•Чтг |
ду |
|
|
|
|
до5 |
_ |
|
|
|
|
1*Л6) |
|
|
дг |
|
|
1 J X |
|
|
|
|
На основании (4.16) полуяим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3(3 |
Зсо |
= |
|
d U |
d S |
\ |
д= |
|
|
— |
/■ с^-:I?) |
||||
д у |
Зг |
|
Л *26 1 |
ох |
Зу - |
|||
|
3* |
|
||||||
"ледовательно, |
будем |
иметь |
следующие формулы для двух осталь |
|||||
ных нормальных |
компонентов |
напряженного состояния: |
|
|
||||
Введен обозначение
-2GА
|
А + 2 3 |
( * • 19) |
|
- |
|
и окончательно получим |
для плоского |
напряженного состояния |
изотропного упругого |
тела |
|
|
|
о и |
*■А в. |
|
|
= 2 0 |
|
|
|
д л |
|
|
|
d J |
|
|
|
3G |
|
|
|
д у |
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
v д у |
' д,\ < |
|
|
гО. |
|
Здесь и, J ,o j |
зависят от |
2 .. |
|
Для плоского |
напряженного |
состояния в |
случае |
совых сил уравнения Кошй примут.вид:
(4.20)
отсутствия мас
д6ж |
дг%у __ |
|
дх |
* ду |
(4.21) |
|
|
|
|
д6у |
0. |
дх |
= |
|
ду |
|
Уравнения Ляме в-этом случае запишутся как
|
(4,9) и |
(4,22) |
- IC3 - |
Из уравнений |
видно, что они отличаются только |
||
тем, что з (4.22) вместо Л |
стоит Л 1, |
||
•Пример |
плоского |
напряженного состояния приводится на |
|
рис. 4.5. |
|
|
|
г
Тензор напряжений для плоского напряженного состояния представится в виде
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
Соответственно тензор |
деформаций |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(4.24) |
Однако принципиально |
полное |
|
его начертание |
должно быть сле |
||
дующим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
— |
/ |
£ |
|
(4.25) |
|
^ Р = |
2 |
а |
|
|||
|
|
|
О |
0. |
<£ |
|
|
|
|
|
|
.. - -IC4 - |
|
|
|
|
|
|
|
|||
поскольку в направлении коордмн&ты t |
имеется деформация |
удли |
|||||||||||||
нения |
6 2 , а следовательно, |
и смещение |
ч> . Эти |
компоненты |
|||||||||||
могут быть легко |
определены. Так, и? третьей строки.закона'Гука- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 г |
= - |
|
|
|
|
М |
|
|
^ 2 6 ) |
|
Для смещения |
со- |
можем |
записать |
и, = с'г х |
|
|
|
|
|
||||||
Если считать, |
что объемной |
Силой |
является |
сила тяжести, |
|||||||||||
т.е, - ,i :V : |
|
|
Ур= |
/Ч; - объемный |
вес), то уравнения |
||||||||||
(4.21) |
перепишутся |
так: |
|
|
|
д£уу_,, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
дх |
• |
дч- |
|
|
|
|
|
(4.27) |
||
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия на контуре: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р, = О |
|
V, X )ч-Х'ху .(-'0$(\ |
,с/) , ] |
|
|||||||
|
|
|
|
в , * |
|
|
|
|
|
C O i(V .'u ). I |
(*.28) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Геометрические уравнения будут иметь вид: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
' |
«х |
|
У |
“ " |
|
|
' |
|
Л- |
|
— |
|
• |
(4.29) |
|
|
|
|
|
*'* |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
физические уравнения (4.18)-можно записать так: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Л |
Ь |
|
|
|
|
г |
. 4 |
к |
- и |
ч |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
/ |
|
|
2 ( / + и ) |
_ |
|
|
|
(*.30) |
||
|
|
|
Л..- — t...— |
М |
|
— |
.2 |
|
|
|
|||||
Из уравнений неразрывности |
остается |
одно: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
_ . ^‘'ж*/V |
|
|
(4.31) |
|||
|
|
|
J y 4" |
v |
|
“ |
|
|
3 |
<3/ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Уравнения (4.27), (4.29) и (4.30) |
содержат |
восемь |
неиз |
||||||||||||
вестных и потому могут быть разрешены |
ho методу |
сил |
или |
по ме |
|||||||||||
тоду перемещений или, наконец, |
по |
смешанному |
методу. |
|
|
||||||||||
|
|
- |
105 - |
|
|
Для |
метода |
сил (три неизвестных) необходимо из геометри |
|||
ческих уравнений исключить перемещения |
г |
что даст уравне |
|||
ние совместности (4.31). Далее, |
заменяя в последнем деформа |
||||
ции силами из физических уравнений, получаем |
к двум статичес |
||||
ким уравнениям |
дополнительное |
уравнение. |
В итоге получим |
||
три уравнения с неизвестными <£>к ,& у, Z%y . |
|
|
|||
Для метода перемещений (два неизвестных) необходимо в двух |
|||||
статических уравнениях произвести исключение |
сил. В итоге |
||||
получим уравнения Ляне (4.22) с двумя неизвестными. |
|||||
Подставив |
в уравнение неразрывности (4.31) деформации, вы |
||||
раженные |
через |
напряжения из обобщенного |
закона Гука, получки' |
||
|
|
|
|
|
|
■(4Л2) |
Это уравнение |
совместно с (4.27) решает поставленную задачу. |
|||||
Бели объемной силой является только вес тела (Х=0, У/>=-ф), |
||||||
то с помощью уравнений равновесия |
выражение* (4,32) |
записыва |
||||
ется |
проще. |
Продифференцируем |
первое |
уравнение |
(4.27) по х, |
|
второе |
- по у |
изложив их, |
найден |
згбу |
|
|
|
|
'_з%, |
|
а \ |
С.32-) |
|
|
|
д к д у |
|
д х |
д у 2 |
|
|
|
|
|
|||
Подставив (4.32/) в (4.32), |
приходии к уравнению совместности |
|||||
в виде, выраженном только через нормальные напряжени (уронение Мориса-Леви);
(4.33)
З к г ' |
З у г |
Итак, для плоского напряженного состояния, когда объемной силой является только сила тяжести, совокупность основных уравнений теории упругости может быть приведена к следующим трем урав-
д&х |
d z ж , |
- -О у |
|
д х |
ду |
|
|
|
д<ру |
-- 4 * 0 , |
(4.34) |
д к |
Зу |
17 Н
г -
106
В заключение параграфа интересно заметить, что при постоян ных объемных силах уравнения, устанавливающие распределение напряжений в плоской задаче (4.34), не содержат упругих постоян ных материала. И поэтому в практике можно широко использовать идею моделирования и, в частности, переносить результат ис- *следования напряжений, выполненного оптическим способов с проз рачным материалом ( желатин, составы на основе бакелита, эпок сидной смолы и т.д.) при помощи поляризованного света.; на другие материалы (сталь, полимеры'и т.д.).
§ 4.3. Обобщенное плоскойвпряженное состояние |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Уравнения пдоской |
теории |
упругости применяются |
и в другой |
важ |
|||||||||||||||
ном |
для практики |
случае:** в |
случае |
деформации |
тонкой пластины |
||||||||||||||
при определенных видах нагрузки. |
Пластинкой называется |
цилин |
|||||||||||||||||
дрическое |
(призматическое) |
тело, |
высота |
которого |
|
мала |
по |
|
|||||||||||
сравнению |
с размерами |
его оснований. Если пластинка |
имеет |
|
|||||||||||||||
очень малую |
толщину |
|
(т.е. высоту цилиндра), то ..взяв |
плоскость |
|||||||||||||||
хоу |
|
параллельной |
основаниям цилиндра, |
можно |
в |
случае |
сил, |
||||||||||||
действующих |
параллельно х о у , с достаточной точностью сказать, |
||||||||||||||||||
что |
нормальное напряжение |
3>2 |
равно нулю |
по всему |
объему |
ци |
|||||||||||||
линдра, а касательные |
напряжения Z KfL |
и. ^2 |
вообще |
не |
раваы |
||||||||||||||
нулю, |
но |
обращаются |
в |
нуль |
на основаниях пластинки |
(рис. |
4.6).- |
||||||||||||
Такое |
состояние |
называется обобщенным |
пдосконапряхе н н ь ш |
со |
|||||||||||||||
стоянием [4] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пусть |
2h |
есть толщина |
пластинки |
(т.е. высота цилиндра) |
|||||||||||||
и плоскость х о у |
|
делит пополам |
|
расстояние |
между |
|
обоими |
осно |
|||||||||||
ваниями, |
будучи |
параллельной им.' Б |
этом |
случае |
полезно. - |
||||||||||||||
ввести средние по толщине пластинки значения |
|
компонентов |
|||||||||||||||||
упругого |
смещения, |
деформации |
|
и напряженного состояния |
по |
||||||||||||||
формухам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-h
Умножим уравнений упругого равновесия Копи на d z и про интегрируем их затем в пределах от -h до + h .. Кассовыми, силами пренебрегаем. Принимая во внимание, что
6 ^ 0 по всему объему
|
w * |
|
нодучш следующие осродненные уравнения:' |
|
|
+ |
? -.* * - = Q , |
|
Зк ' |
З у |
(*.36) |
|
|
|
д<Ьу _'Q
Зх ду
Поскольку <bz равно нулю, ТО имеет место формула (4.17), вследствже чего с учетом (4.35) имеем
|
& = |
Лв-+2в |
д и |
||
|
|
|
|
|
дк |
|
|
|
|
|
(4.37) |
|
|
|
ди |
д*'Л |
|
|
|
W |
- G(- д у |
д х ' |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
- |
д и |
|
д д |
|
|
в |
- — — |
■+—з — |
|
|
|
|
дх |
|
. ду |
Вкесем;*-‘(4.37) |
"Ь (4.36), |
получим |
уравнения Ляме: |
||
|
(Л + G) ^ ~ |
+ G v 2u = О, |
|||
|
|
|
|
|
(*•38) |
|
( л ' + в ) 4 ^ - + в 1 ! г з - = о . |
||||
Обозначив через |
/х и /у |
компоненты |
поверхностной.нагрузки, |
||
граничные условия на боковой поверхности цилиндра запииеы так:
— |
d y |
- |
d х |
|
( О -------- L. ------- |
|
|||
*<-ds |
*у ds |
(4.39) |
||
|
|
|
|
|
у |
а-у |
т |
а х |
- |
Ух |
dS |
!°У |
d s |
(S) * |
- 109 -
Здесь
d.% ,
*h
-h
cos(bt)— •
где x, y ,c , - координаты точки и длина дуги направляющей цилин дрической поверхности, ограничивающей цилиндр (пластинку).
§ 4 .4 . Функция напряжений Ври
□радиологии, что объемные |
силы пренебрежимо малы |
по сравнению |
||||
с поверхностными. В этом |
случае напряжения могут быть выражены |
|||||
черев |
одну |
вспомогательную |
функций, |
называемую |
функцией на |
|
пряжений |
или функцией Эри |
и играющую |
большую роль в плоской |
|||
теории |
упругости [l-7] . |
|
|
|
|
|
Действительно, в рассматриваемом |
случае |
|
||||
дб% |
дг%ь |
|
д г я |
д&у |
|
|
|
- = 0 , |
дх |
=,0. (Ч.ВД) |
|
'Я Т + '- д Г |
|
ду |
|||
|
|
|
|||
Из первого |
уравнения |
(4.40) следует, что существует функ |
|||
ция 3 ( x , y ) i связанная |
с напряжениями со, |
равенствами |
|||
& = - |
дВ |
|
„ |
|
|
ду |
|
ХУ ~ |
дх |
||
Второе же уравнение |
(4.40) есть необходимое |
и достаточное ус |
|||
ловие существования некоторой |
функции А(х,у)% удовлетворяющей |
|
условиям |
. |
дА |
За |
||
дх |
■ |
i f |
- н о -
Отсюда, в свою очередь следует условие существования некоторой функции U (х,У). такой, что
, Ж |
, |
В * & - . |
■ |
дк |
йу |
Цодотавляя значения А ж Q в предыдущие соотношения, убехда- •мен, что при отсутствии объемных сил воегда существует неко торая функция U (* ,y )t через которую напряжения выражаются следующим образом:
|
|
£ и _ |
|
|
|
& |
= |
д * и . |
|
|
|
|
3 и |
<4, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дхду |
|||||||
|
|
ду* |
|
|
|
У |
д х 2 |
|
V |
|
" |
|
||||||
Этот факт |
был ипервые |
отмечен |
английским астрономом |
Джоном |
||||||||||||||
Биделом Ври |
в 1862 году. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
д& %. |
|
ди%и |
_ ' |
д 3а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
дх |
|
+ |
ду |
- |
дхду2 |
|
дхду2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
d t %y |
|
д&у |
|
д ъи |
- |
У и |
-О |
|
|
|
|||||
|
|
|
дх |
|
|
ду |
|
|
3*г3у |
■дхгду~ |
|
■ |
|
|
|
|||
|
Поокольиу функция |
|
|
однозначна, |
и непрерывны |
вместе |
||||||||||||
со своими |
производными |
вплоть до второго |
порядка, |
то функция |
||||||||||||||
U -должна иметь |
непрерывные производные |
вплоть |
|
до |
четвер |
|||||||||||||
того порядка, |
причем эти |
производные, |
начиная- |
со вторых, |
долж |
|||||||||||||
ны быть однозначными |
функциями |
во |
всей области, |
занятой |
те |
|||||||||||||
лом. Таким дбразом, с |
точки |
зрения удовлетворения уравнений |
|
|||||||||||||||
равновесия |
в |
качестве функции Эри |
может быть |
взята'любая |
не |
|||||||||||||
прерывная |
трижды дифференцируемая |
в области поперечного |
сече |
|||||||||||||||
ния тела функция |
х |
и у . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Очевидно и обратное: если функция |
U |
обладает указанными |
|||||||||||||||
свойствами, |
то величины |
, <Ьу |
^ , определяемые равенствами |
|
||||||||||||||
(4.41), будут удовлетворять уравнениям |
равновесия. |
|
Однако, |
как |
||||||||||||||
мы |
знаем, это |
еще |
не значит, |
что атя |
величины |
соответствуют |
||||||||||||
некоторой действительной |
'деформации. |
Для |
этого надо, |
чтобы бы |
||||||||||||||
ло |
удовлетворено |
единственное |
уравнение |
совместности, |
кото |
|||||||||||||
рое |
в случае |
отсутствия |
объемных |
сил |
сводится |
|
к следующе |
|||||||||||
му |
(4.33): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|