книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

5 5» Г« Общие сведения

Эффективный

методом

решения задач плоской теории упругости

является

метод

Н.И,.Мусхелйшвили,

основанный

на применении ин­

тегралов

типа

Коши

и конформных

отображений.

Этот

метод

позволяет

найти

решение'

основных задач

плоской

теорий уп­

ругости

для одно- и двухсвязных

областей

при единственном, но

непременном

условии,

что

известна

функция

г-

дающая

конформное

преобразование

круга или

кольца с единичным ради­

усом

на

область

5 , заполняемую

упругой

средой.

Основываясь

на результатах Н.й.Мусхелишвили

и его после­

дователей

Д.И,Шермана,

Г.Н.Савина,

А~.Г.Угодчикова

и др., мож­

но считать,

что^

если

известна

функция, дающая

конформное

преобразование

круга

(кольца) на односвязную (двухсвязную) об­

ласть

5

, заполняемую

упругой

средой,

то без

каких-либо

затруднений

принципиального

характера

могутбыть

решены:

1)

.первая,

вторая

и смешанная

задачи;

2)

задача.соприкосновения

с жесЬким

профилем;

3)

многие

задачи

об

изгибе

тонких

плит;

Н),

задачи

о расчете

НДС

в соединенных посредством по­

садки

телах;

5)

некоторые

температурные

задачи;

• б)

многие

задачи

о концентрации

напряжений;

7)

задачи

о равновесии призматических

стержней

по Сен-

Венану;

'

' 8)

некоторые

задачи и о напряженной

состоянии анизо­

тропных

тел;

9)

некоторые

упругоплаотические

задачи-

и т.д.

При помощи конформных

отображений

можно,

кроме

отмечен-

-

Ik? -

ного, решать чирикай круг задач в других отраслях техники,

гид­

равлике,

аэро- и гидромеханике,

электротехнике,- теплотехнике,

радиотехнике,

теории

фильтрации,

и т.д.

Наиболее

успешно

эти

задачи

могут' быть

решена

в

том случае,

когда

функция

имеет

вид

полинома

степе­

ни

к .

Решение

задач

плоской теории

упругости

при помощи ана­

литических

функций

можно

подразделить

на две

совершенно

самостоятельные

подзадачи: построение

конформно-отоорахающей

функции

и расчет

НДС

в

области

S

,'

которую

заполняет ис­

следуемая

среда.

- Вторая

подзадача - расчет

напряжений

и перемещений в •

исследуемой

области,

если

построена

отображающая

функция с

достаточной

точностью,

.является

простой

и принципиальных

затруднений

при ее решении

не

возникает.

Первую

подзадачу

рассматривают

обычно в

прямой

и

обрат­

ной постановке.

Прямая задача

решает

вопрос

о построении

отображения, которое осуществляется наперед заданной

аналити­

ческой

функцией.

Однако

при решении

практических

задач и,

в частности,

задач

плоской

теории— упругости,

возникает

обрат­

ная. несравненно

более

сложная

задача -

определение

аналити­

ческой функции,

которая

отображает

наперед заданную

область

на одну иг канонических,

например,

на полуплоскость, круг,

кольцо.

В этом

случае

чаще

ьсего

использование

рациональ­

ных и иррациональных

функций

не

приводит

к желаемому

резуль­

тату И приходится

пользоваться

приближенными

методами

кон­

формных

отображений.

*

Разработкой

приближенных методов

конформных

отображений

ученые

занимаются

ухе

свыпе

пятидесяти

дат

[15]

.

Тем не

менее задача

постровни

простого,

.но достаточно

эффективного

и точного

метода

отображения

любой

наперед заданной

облаем

на

о д н у

мв канонических

областей

далека

от

окончательного

ревення.

В этой связи интересно

привести

некоторые высказывания

отдельных ученых

о трудности

указанной

задачи.

Н.В.Кеддыи [15] , [1б] отмечает: "Важная роль конформных

отображений

в теории

функций t и ее приложениях

выдвинула за­

дачи

надежденйя

конформных отображений

одной

области

на

другую

при

заданной

геометрической форме областей. $

ряде прос­

тейших» но полезных-случаев

эта

задача может быть решена лрш

помощи

элементарных

функций

комплексного переменного. Однако

в общем

случае

нельзя

обойтись

элементарными

функциями.

Как

уже

говорилось»

Риман

высказал

общую

теорему теории кон­

формных

отображений,

однако-

он

не дал

строгого

доказатель­

ства

этой

теоремы. Потребовались

усилия

многих

крупных'на-

теиатиков

з

течение

ряда

десятилетий,

чтобы

найти полное

доказательство

теоремы

Римана.

В тесной .связи

с различными

путями

доказательства тео­

ремы

Римана

развивались

методы

общего

построения приближен­

ным

путем

конформных

отображений

областей. Фактическое по­

строение к о н ф о р м н о г о

отображения

одной

области

ва другую

представляет собой иногда весьма трудную задачу1*.

Э.Ф.Беккеыбах [ 17] об этой

же

стороне

вопроса

говори:

"Эффективное

определение

функций»

дающих

требуемое конформ­

ное

отображение,

за исключением

ряда известных частных слу­

чаев,

представляет

собой трудно

выполнимую

задачу".

Г.Н.Савин

отмечает [18 ]

"...

эффективное

построение

функции,

совершающей,

интересующее

нас

конформное преобразо­

вание, представляется

сплошь

и рядом

дочти

непреодолимой

задачей".

говорит [19]

_

А.Г.Угодчиков

, что

..." построение функции,

осуществляющей

конформное

преобразование

круга

на область S)

близкую

к эаданной-и,-

приток,

в

форме,

удобной для исполь­

зования

в приложениях,

представляет

очень большие,

а подчас

непреодолимые математические тр уд н о с т и ".

Число таких цитат

лэгко

продолжить,

но

мы лишь заметим,

что

в большинстве

работ

по приближенным

методам конформных

отображений

в

качестве

примеров

рассматриваются отображения

эллипса, . квадрата

и еще

нескольких

простейних

контуров, а

более,

сложные

примеры

встречаются

редко.

В

связи

с вышеизложенным,

кратко остановимся на основных

понятиях,

теоремах

и методах

построения

конформно-отобра-

жающих

функций.

Понятие

комплексного

числа,

на

котором

основана тео­

рии функций

комплексного

переменного,

вонло

в науку после­

нальных чисел, начиная с ХУ1 века.

Но широкое

признание

оно

получило

лишь

в XIX веке.

Геометрическое

толкование

комплекс­

ного

числа как точки

числовой

плоскости

было

дано почти, в.

одно и то же время Гауссом, Бесселем'

и Арагоном

[15]

после

то­

гоj

как при помощи

комплексных

чисел

удалось

решить

ряд

практически

важных задач.

Для комплексных чисел

остаются

справедливыми

все

основные

законы арифметики и алгебры,

в качествезначения

функции

от

комплексного

аргумента

мы

снова

получаем

комплексное

число.

С введением

комплексного числа многие

вопросы,

которые

в области действительного

переменного

не могли

быть

решены

и часто рассматривались

как

парадоксы,

получили

простое

и ;

естественное

объяснение

в области

комплексного

переменного.

Например,

в области комплексного

переменного

алгебраичес­

кое уравнение

п -ной

степени

всегда имеет

точно

п

корней,

ав^области. действительного

переменного

оно

монет

иметь

и

меньшее

число

корней

и даже

ни одного.

В- области * комплексного

переменногосуществует

логарифм

от отрицательных чисел,

функции

st

•>

и

принимают

любые

зна-,

чения)

а не только значения, не превышающие

единицу,

и.т.д.

Интересно

отметить,

что

сути,

комплексных

чисел

долгое,

время

не понимал)]

даже

многие

крупные

ыатеыатики. Например,

Лейбниц - один

из

основоположников

анализа

бесконечно

малых,

писа«:

"Комплексное

число -

это

тонкое

и

поразительное

средство

божественного

духа,

почти амфибия

между бытием

и,

небытием"

§ 5.2. Ооновные Понятия, термины и обозначения

Прежде

чем перейти

к теории

конформных

отображений

и основно­

му для'нас вопросу комплексного представления

общего

ре­

шения уравнений

плоокой

теории

упругости,

уточним

некоторые

термины,

которыми

будем

пользоваться,

я

напомним

несколь­

ко простых

понятый.

Говоря о линиях (дугах, контурах), мы

будем

иметь

в

виду

(если противное

не

оговорено),

что

кривая

является прос-

той (т.е. но пересекающей

самую

себя), разомкнутой иди заик-‘

нутой

непрерывной

линией.

Непрерывной

кривой называется

множество точек,

координаты

которых

заданы

как непре­

рывные

функции

* = ft H )

,

у = / 9

( t )

вещественной

переменной £

в некотором

промежутке

-L,

^

t

^

t , .

Если печальная точка*-кривой совпадает

с ее

конечной

точкой,

кривая

называется

замкнутой.

для рассматриваемых

в данной

главе

вопросов

можно ог­

раничиться

некоторым

гораздо

более

узким классом

кривых.

Уы будем прежде

всего

рассматривать

гладкие

адизые, т.е.

кривые,

имеющие

в

каждой

точке

(включая

начальную

и конечную)

определенную касательную,

направление

которой меняется непре­

рывно,

когда

точка

описывает

кривую. Примером гладкойкривой

могут

служить

прямая линия,

окружность,

эллипс,

парабола,

Рис.

5.2

конечное

число

гладких кривых,

соединенных

последователь­

но

друг

с другом,

составляют

кусочно-гладкую кривую!

Послед­

няя

может ,иметь

в то-чках

соединения

друг

с другом двух

гладких

кусков

угловые

точки

(точка А на рис. 5.1),

в кото­

рых

кривая

имеет

две

.различные

касательные,

или точку

возврата

(точка

5

на рис.

5.1).

-

Кроме того, ,на кусочно-гладкой

кривой .могут,

быть разры­

вы

(бесконечный.

I

и П рода

и конечный,

рис.

5.2).

Понятие

области

является одниы

из основных понятий тео­

рии

функций

коыпдексного

переменного,

поэтому

для

него

дадим точную

формулировку.

Областью называется множество

S

точек

плоскости, обла­

дающих

следующими

свойствами:

I) если какая-нибудь

точка принадлежит

данному

множест­

ву

S

, то и некоторая окрестность

этой

.точки должна

принад­

лежать

S

(свойство о т к р ыто сти ):

2.) любые две точки S

можно

соединить

линией5 которая

целиком находится внутри области (свойство связности),

Граничные точки области могут -образовывать

чрезвычайно

сложное

множество,

которое

не

подходит

под

данное

выше-

понятие кривой

и с трудом

поддается

наглядному-

представле­

нию. Рассмотрим,

например,

область

S

, изображенную

на

рис. 5.3.

Внутри

прямоугольника 'AQMN Проведены

прямоли­

нейные разрезы попеременно от сторон

&М и А.\', которые

сгущаются

по мере

приближения

к стороне

МЛ*',

Областью S

j

в

этом

случае

будет

то

множество

точек,

которое

остается от

прямоугольника,

если

из

него

удалить

вес­

точки,

принадлежащие

гра­

нице

области

Z

* т.е.

точки,

лежащие

на

разре­

Рис.

5.3

зах,

а' также

все

точки

кон­

тура

прямоугольника.

Границу

области

L

мы

не будем

причислять

к

S.

Если

же какое-нибудь

свойство

справедливо

не

только

для

точек об­

ласти

S ’, но

и для точек

всей

границы

L

или

точек

части

границы Z , то мы

будем

говорить,

что

свойство

справедливо

для

Ь +L , или,

соответственно,

для

S +L

Области

бывают

многосвяаные и односвязные.

Односвяэыой называется'

область,

обладающая

следующим

свойством: всякий.

замкнутый

контур,

проведенный внутри

облас­

ти, может быть

стянут в одну

точку

путем

непрерывного из­

менения,

не выводящего

контур

из области. Соответственно

мно^свяэвой

называется область,

имеющая такой

контур, который

нельзя,

деформируя его,

стянуть

в

одну

точку,

не разрывая его

и не выводя из области.

Области

бывают

звездчатые,

и незвездчатые. Звездчатой

называется

область,

радиус-вектор которой,

проведенный

из

3„

Точке

а

называется существенно

особой

точкой, если

. Сет / ( z )

не

существует

(т.е,. этот

продел

принимает различ­

ные

значения,

в

том

числе

и бесконечно

большие,

в

зависимос­

ти

о.т пути,

по которому

Z

стремится

к

а

)»

Функции бывают рациональными или полиномами. Рацио­

нальными

называются

функции, которые могут быть определены

при

помощи

не более

чем

четырех

основных ^действий (сложения,

вычитания,

умножения

и деления),

производимых над независимы­

ми переменными

2

и постоянными

( вообще

говоря,

комплексны­

ми)

числами. Число

выполненных

действий

не должно

быть бес-

;'.снечно

большду..

Среди

рациональных

функций

особое

место

занимает функ­

ции.

которые

могут

быть

определены

при помощи .не

'более

чек

трех действий

-

сложения,

вычитания

и умножения.

Зто-

Ьункции целые рациональные, иначе целые многочлены,

или

по­

линомы.

' _

Целой рациональной функцией или полиномом называется -

всякая

.руикция,

которая

может

быть

построена

из

независи­

мой

переменной

£ = л -1су

и постоянных

чисел С -

а.

по­

средством

конечного

числа

сложении

и умножений.

§ 5.3. Конформное

отображение

Понятие * конформного

отображения

относится

к числу важнейших

понятий

математики.

Возникшее

.из

физических представлений,

оно

находит

многочисленные

приложения

к самым

различным

областям

техники.

- Конформную трансформацию можно представить физически

следующим

образом.

Возьмем, например, лист

тонкой

резины,

вырежем

из него

кольцо

и разобьем

кольцо

полярной

сеткой

координат. Закрепим

наружный

контур

кольца

и будем деформи­

ровать

внутренний

контур,

как

показано

на рис. 5.5, а. Т!ог-

да правильная

сетка

полярных

координат перейдет

в другую

криволинейную

сетку, которую мы „обычно

получаем

при

конформ­

ном

отображении.

Получившаяся

криволинейная^

сетка

остается

ортогональ­

ной

и поело

деформации.

Это

свойство

конформного

'отображе­

ния называется

консерватизмом

углов.