книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

или'

(*&)'

•.'В'.функции'•£' ' -.член

*

можем

отбросить,

так как. в

.

•■\'Q

рав0цстве:-.'(4.6б) -член подобного вида''-g -хгу 3 .уже

есть,

тогда и з (4.68)

шеей.

-/= -^ 3 ’- н \ .

После'этого

функция.,

напряжения '/£/■'

получает

окончатель­

ный' вид •

'

удовлетворяющий

условию

(4.57).

отсюда,

полу чаем .напряжения

л .

„

г '

'43 +F.

з

^ у =Ау+Зх .у - -^—g

.—

- у .

j

3

3

/

..

F

2

(4.69)

=— у -yy+h (')+ —*У/

t -

Г =-Зху'уСх — ^—х 5

*у

ух

у

6

Воспользовавшись

граничными

условиями

л

»

L

=~Т = 0 ,

у

- ~~

*У

*У

h

оГ ||

L

= 0 ,

r ~ +i~ '

найдем

F - O ,

в.- _ £ i _

h*

с * - Л

Л4

2

h

- I2*+ -

г

So I

.-'i

=

Если здесь’положим

Мо= 0 » то уничтожим опорные моменты к

Однако эти напряжения приводятся

к уравновешенной

системе сил

и потому влияние-

их на

основании

принципа Сен-Венаиа

будет

заметно только вблизи концов

балки.

При Мо-0 первое из уравнений (*+.72) мокно

переписать:

&

J t

2 )„

i L i -

+

У*

1

(4.73)

h Чт(т-'

2 0

5

J

Сравнивая его

с первым

из уравнений (4.63),

замечаем, что

разница в выражениях напряжения

2 l ( 2 l y _ I L ) S ± ( 2 L V

/,} { 2D у

3 '

J

I20

~

й

■'

при малой высоте сечения

h

по сравнению

с пролетом

окажет

лишь небольшое влияние

на величину

напряжений

в

средней

части

балки. На основании сказанного можно

сделать

следующие

выводы:

ным решением, подтверждается

более

точным решением

(4.72).

2.

Для

нормального

напряжения <ЬК

элементарное решение дает значения, близ­

кие к действительным вдали

от

концов

пли­

ты или пластинки (в случае, если высота h

мала по сравнению

с пролетом), где

эти

напряжения играют

главную роль.

-3. В элементарном решении пренебрега­

ют величиной

нормального

напряжения

Эпюра распределения этого

напряжения

по '

высоте

сечения (кубическая

парабола)

по­

Рис. 4.II

казана

на рисунке 4.11.

алгебраических подиноиов

имеет 'ограниченные

возможности прак­

тического

использования,

так как очень

трудно

подобрать поли­

ном, дающий решение,

соответствующее

наперед

заданной более

или менее

сложной

нагрузке. ^Гораздо более

эффективным ока­

зался способ тригонометрических полиномов, предложенный

Рибьером

и Файлоном

для

случаев изгиба прямоугольной полосы,

длина которой значительно больше высоты

h (рис. 4.12). Б таких

случаях

наиболее

важно удовлетворить

условиям

на длинных

условиям на коротких сторонах

(торцах) можно

удовлетворить

лишь в виде задания равнодействующих

факторов N0 ,Q0,Me , MQiNe ,Qe,

характеризующих реакции

опор

иди нагруоки на концах полосы,

не заботясь

о законе

распределения

напряжений по высоте

начального

и конечного

сечений.

Как известно, решение плоской задачи при помощи функции

напряжений

) сводится

к интегрированию

уравнения

д*и

д^и

z Q ,

(4,74)

- 1

-

+

2- —

Т Т Т

Эх*

дк2д 2

-

127 -

X=/C cos Ах * К sin Ах .

(4.80)

Частное решение уравнения (4.79) будем разыскивать

в виде

Характеристическое

решение

его

имеет два двукратных

корня

S

= ± А

:

Поэтому

обычным

способом

получим

общее

решение,уравне­

ния

(4.79)

в

виде

y= A c h A y + 3shAy + CychAy + ] } y s h A y .

* (**81)

Следовательно,

частное

решение уравнения

(4.76)

имеет вид

U ( x , y

) - - ( / c f c

o s A x

+■/сs i n

A x

) *

*(A chA у * QshAy * CychAy +JQyshAy) .

(4.82)

Эта функция является решением уравнения (4.76) лри произ­

вольных значениях

постоянных

K,,

A ,B .C t 2J

и A .

Значит, можно

построить

сколько угодно решений типа (4.82),

сумма

таких решений

также

будет

решением

уравнения

(4.74),

поскольку это

уравнение

линейное.

Взяв

достаточно большое чис­

ло

членов

такой суммы,

мы

будем

иметь

в

своем распоряжении

много

произвольных

постоянных,

‘которые подбираются

так,

чтобы были возможно полнее удовлетворены

граничные

условия.

Пусть

при х ~ 0

и х - Е

отсутствуют

нормальные напряже­

ния,

т.е.

(*.83)

При этом

на торцах

останутся

касательные напряжения, на­

грузки

на

длинных

сторонах

полосы будут

уравновешены сила­

ми Qa

и £}б , приложенными

на торцах

балки;

эти силы мохво

считать реакциями

опор

простой балки длиной

С .

Условия (4.83) будут удовлетворены, если

в

частной

решении

(4.82)

принять

Kt =0,

л; = /,

4 = -

где

т

=1Г2,3,

... , п .

Составил

тайим путем

сумму

частных

репений, взяв

U(K,y)= Г Г

sin

(A

тЛу

sh

С

eh —

6

* в

С

'

/77--/

' т

т

„

, т Х и

,

т % ц

\

Сюда ВОШЛИ 4/7

ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ

4л;4л>^л»4п»

которые

при достаточно

большом

/7

позволяют

удовлетворить условиям

на длинных сторонах

полосы,

если там

заданы

нагрузки. Реше­

ние' в форме (4.84) было

предложено

впервые Файловом.

Пусть

на верхней

стороне (у= h )

задана

произвольная

нормальная

нагрузка

q t = y t (x ) и касательная

t f = t f

( х );

аа

нижней

( у = 0

) -

*>±z

* t 2 ( x ) .

Относительно тангенциальных

нагрузок -предположим,

что

суима

каждой

из

них

в отдельности

равна

нулю,

т.е.

е

г

jit(t)dK=0.,

Ji2(x)ds^0.

О

о

Тогда для функции

напряжений получим

такие

граничные

усло­

вия:

з ‘и

ц=Ь,

6 -

=

0

(х),

д х д у

у

'

У

д х г

i/{

(4.85)

.

д 2и

д ги

■ = ш .

д х д у

Внесем оода значение и ( х , у )

из (4.84), получим 4 п

уравнения,

в правых

частях

которых,

как и в (4.S5), будут ря­

ды

Фурье

соответственно

по sin ■

и cos

~ ~ у~ . чем боль­

можно поступить

по

общему

правилу:

умножить обе

части

ра­

венства

ва

st п -

- в

проинтегрировать

от

О

до-

И , 'Гак получим

систему уравнений

для

определения

Ак ,3< i

.Д . . Теперь, имея

функцию

напряжений,"можно

вычислить

напряжения

в любой

точке

полосы

по

формулам

<Ъ

6

Z

*

д у г

у

д х 2

-жу

д * д у

Изложенный способ

исследования изгиба

полосы очень удобен,

поскольку можно

вводить

достаточно произвольные нагрузки

на

длинных

сторонах.

Если • -i f = t ? = О ,

ю

подучится

задача

о

поперечном

изгибе

полосы

обычными поперечными

нагрузками

% и 9 2 -

применял

к

некоторым

задачам

решение,

аналогич­

Рибьер

ное

(4 ,8 4 )

и получаемое

из

(4.82), если

в нем

положить

Kz

- О,

.

/Т> Л

. Таким

образом,

будет иметь

J =

— —

u(*-yh

mfix

-(А.., ch ' ,п Х У ■Bsh

гп X у

------ +

Полученные

выше..уравнения можно применить

к провожу классу

задач,

имеющих большое практическое

значение.

Наиболее прос­

то задача

решается

в тех

случаях,

когда

напраженшя

не за-

мсят

от угла

в

, т.е.

когда во всех

точках

любой

окруж­

ное» с центром

в

полюсе

О

Z rie

одинаковы.