Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

-71 -

Вэтой случае уравнение (3.54) можно рассматривать как уравнение для прогиба равномерно натянутой мембраны, закреплен ной по плоскому контуру, для которого.-правая .часть равна нулю (3.56). Нагрузка этой мембраны пропорциональна правой части

уравнения (3.54).

§ 3.5. Изгиб стержня о эллиптическим

Пусть эллипс, которым ограничено поперечное сечение, дан урав нением.

(3.58)

а 2

Выберем для рассматриваемого случая

			**('-£)■			(3*59
7	Внося это	выражение в		граничное, условие функции напряжений
F	, имеем
	§F_		Pa2Txf	jS;	,/dy
	ds	23 La2		6*	J ds
На контуре эллипса правая часть, очевидно, обратится в нуль,
следовательно^ мы			можем принять
			F = 0 .		(3.60)
Внеся значение у у			из (3.59) в (3.54), подучим
При изгибе эллиптического профиля вследствие симметрии относи
тельно обеих осей эллипса мы можем принять отсутствие скручива
ния,- т.е. '£ = 0		. Значит,

(3.61)

Это уравнение необходимо проинтегрировать при условии на контуре. Поэтому примем

(3.62)

где С - произвольная постоянная. Очевидно, что условие (3.60) будет удовлетворено.

Внося (3.62) в (3.61), получим

Ра6 /а2	)' (3.63)
- ( ~	/ у и /
2(3at6)j' (I 6 г	/ у и /

После определения произвольной постоянной задачу мояно считать решенной. Подставив, значение' п Р в формулы (3.52) получим компоненты касательных напряжений:

ф ^ ) а > ,6 2 [	('-& )* * ■..г /- '	I ,} 64)
■ ' 2 (t+ /> )(3 a b 4 ‘)L	J ~ ’ >	'

У-?

Таким ^образом,мы получили точные выражения для так назы ваемых напряжений сдвига при изгибе, точно вычислить которые невозможно в теории сопротивления материалов. В случае кругло го сечения ,О. = 6=/* %имеем

(**2ju)P

^ =	У

- 2j-	.65)
3 + 2&,

. (r+2ju)Pxs,

Если сила P вертикальна и приложена на горизонтальном диаметре круга ( x = Q )f то формулы (3.65) примут вид

- 73 -

Наибольшее	касательное напряжение £х* тах				П0ЛУчается в
центре при х - у - 0 >‘
	г	-		Р а *	(3.67)
	**л-,ах ~ S(/+JU)			J
Касательное напряжение по концам горизонтального диаметра
%у = * а	) имеет	величину
		(?+ 2/и )& а 2
\x*0,y=ta
Внося сюда	ж а 4~- г-a 1
	ж а 4~- г-a 1		j * ?	где	/ £ => /• '
3 * ~ 4 ~ ~ Г° 4 ~ F° 4				где	/ £ => /• '
3 * ~ 4 ~ ~ Г° 4 ~ F° 4				‘

получим

(3*2ju)P '

' 2 ( /у и ) Ъ

**тах \х=0 ly= ta

(3.68)

. 0 * & ) Р.

~ ( f + г ) ъ

В сопротивлении материалов из гипотезы, равномерного рас

пределения £х&» по горизонтальному диаметру имеем

г.- * £ .

Из (3*68) видно, что величина касательных напряжений при изгибе зависит от значения коэффициента Пуассона. При j u «0,3 имеем

	*р	>	(3.69)
	*р	I	(3.69)
* т а х \х=в "	F„
\у=?а	°

Распределение напряжений	по горизонтальному диаметру
будет приблизительно равномерно,	ошибка приближенного ранения
составит около 4%.

- 74 -

§ 5«6. Центр изгиба

Из рассмотрения формул (3.65) видно-, что в случае эллиптическо го поперечного речения, если сечение симметрично относительно '

оси, параллельно которой’направленаизгибающая сила, появляющие ся касательные напряжения параллельны оси'симметрии,-.распреде-:.• лены относительно этой оси симметрично и .сводятся к одной равно действующей, направленной.-по оси'симметрии. Появляющиеся при изгибе касательные напряжения,, перпендикулярные..к- оси симметрии, взаимно уравновешиваются. Поэтому момент обеих систем-касатель ных напряжений.относительно центра тяжести сечеНия, который. Л'е-* жит на оси симметрии.и в котором взято-'начало координат, равен, нулю:

	сз -70) .
S	-
Обстоятельства, что изгибающая сила /^	проходит через.

Ц&нтр тяжести поперечного сечения.и. расположена .в .главной плос кости стержня, недостаточно для выполнения условия (3,70); Если это условие не выполняется,” то значит появляется некоторая* пар*., момент которой

и которая будет закручивать поперечное сечение. При опытах'над изгибом швеллерных балок Карл Бах первый:заметил, что хотя .из-’ гибающая сила.была расположена в главной плоскости балки (npof ходящей через центр тяжести поперечного сечения), .вре^таки .Наб людалось закручивание балади Только при некотором передвижении', плоскости действия отй параллельно главной плоскости балки кручение исчезло. '

Отсюда следует, что если поперечная изгибающая -сила- распо-. ложена в главной плоскости, не являющейся'плоскостью симметрии', стержня, то изгиб должен сопровождаться кручением.

Центр изгиба-подобно центру -тяжести всегда лежит на осисимметрии поперечного сечения стержня.'Если же сечение имеет две оси симметрии, то центр изгиба лежит в точке их пересече ния, с которой совпадает центр тяжести. Поэтому только тогда,

- 75 - когда^сечение чй«еет две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения*

Вообще центром изгиба мы будем называть ту точку в плос

кости поперечного сечения стержня,	через которую надо провести
изгибающую силу, перпендикулярную	к оси стержня, чтобы произ-.
вести изгиб без закручивания. Это	есть определенная точка -в
плоскости поперечного сечения - в	центре тяжести его, причем

она может ^лежать и вне контура поперечного, сечения стержня. Для определения положения центра изгиба надо предварительно решить задачу об изгибе, так как только тогда будут известны касатель

ные напряжений при изгибе	и	,
. Однако В.В.Новожиловым	показано, что для определения по
ложения центра изгиба можно	не решатьзадачу об изгибе стержня,
а достаточно знать решение задачи		о его.кручении. Координаты
центра изгиба при этом могут	быть	определены-по формулам:

-(у 'У с)]Фс1Я ,

",	я ,	,	л /	Г (3.72)
хе				(х -

- x ^ - o C C y - y J j ^ d S ,

хс ,Ус - координаты центра тяжести.площади поперечного се чения;

^хх

'■Тху&О - 5x Sy'

/ -	'Z’X'fy - Л у З х	-оСхе -- у ь у с ;
	в

	-	76 -
причем		7	V
	3 уу
		uXtf
5 ^	Jjcy	^хх
			а .
3xx,Jyy,Jty- осовыв и цецтробежныемоментьк инерции ш
перечного		сечения стержня;
* Sx ,Sy - статические моменты площади поперечного
сеченияt		• .
- $ y dFo.;			<dF° ;
■Яа - площадь поперечного сечения стержня;
Х ^ г с о з в	= .A j?cos 0 / у = r > s tn & -A j> s in 0 ;

ЛА - ^S/ ~

с * =	—Q	'	. в	'
/ =		= - A f c г Д * . /
’ Ф (х,у) - функция кручения Прандтля, удовлетворяю*
'+	щая уравнению		Ч2Ф =-2;
</(х,У ) ~ Функция ^учения Сен-Венана,				связанная
	с	Ф формулами
Эф	д Ф	, д (/> \ _	ЭФ
д х		' З у " * d x ~ ’

;Отметим также, что Ю.Н.Работновым при вычислении коорди нат центра изгиба применяется понятие секториального момента инерции, а Л.С.Лейбензон для'определения центра изгиба исполг зовал вариационное уравнение Лагранжа.

§ 3.7. Изгиб стержня прямоугольного

Уравнение линии контура в случае прямоугольника (рис. 3.2)

имеет вид
(X-d2)(y -S * )= 0 .	(3.75)

								-	77 -
Если	в уравнение			(3.55)			подставим вместо у ,				постоянную вели-
чину	Рпг						Рл- *		0 а -	становится равным ну-
чину	___	, то выражение---							— £	становится равным ну-
	2 3						2 3		2 3	Таким образом, правая
лю по сторонам я «- а							прямоугольника,			Таким образом, правая
сторона (3.55) на контуре обрацает-
ся в'нуль,		а поэтому можно						принять
на этом контуре				F	= 0.		Теперь,
если считать			С = 0		. то уравнение
(3.54) запишется				так:		'•
	V2f		z J t L .					(3.74)
			J(H M )
Это уравнение вместе с условием на
контуре вполне определяет функцию
напряжений. Задача					сводится			к.
определению прогибов						мембраны,			рав--
номернй натянутой				и находящейся под действием сплошной нагруз-
ки интенсивности				-	/'■		P v
ки интенсивности				-	-=—		•—	•
Криваят п р					/гу и		J
Криваят п р			на рис.			3.2		представляет		пересечение мембраны
с плоскостью				. Из уравнений					(3.52) видно,		что касательные
напряжения могут					быть		разложены на две			следующие системы:
	С** ~23								- о ;
	С** ~23
	с*				;						(3.75)
	с*				;				~дх
	* *		е й /						~дх

Первая система представляет собой распределение напряже ний по параболическому закону, получающееся на основании обык новенной элементарной теории изгиба. Вторая система, заводя щая от функции напряжений F , является необходимой поправ кой к элементарному решению. Величины этих поправок выражают ся уклоном поверхности мембраны.

Вдоль оси у	на	основании .симметрии	,ду>	= О		и поправки

к элементарной теории		являются вертикальными		касательными на-
пряжениями, величина которых равна уклону			д</>		. Согласно
			•—
	положительно в точках		т		и о	и отрица-

- 78 -

тельно в п. . Таким образом,распределение напряжений по гори зонтальной оси симметрии не является равномерным, как это пред полагает элементарная теория. Наибольшим касательное напряжение

будет по концам оси в точках т				и р , а наименьшим - в центре
(точка п		).
Рассмотрев состояние нагрузки мембраны, можно заключить,
что F	является функцией четной			степени от	л и	нечетной отУ«
Это требование и условие на контуре выполняются,						если принять
функцию напряжений			F в виде ряда Фурье:
f	-	z Z л,	(2т +/)жх		ПЖе/	(3.76)
			... ^ Q		S

		m lO m f

Подставив этот ряд в уравнение (3.74) и применив обычный спо

соб определения коэффициентов ряда Фурье,						придем к следующим
выражениям:
	л	a s	, ■ .			(3.77)
А				.	пжи
	Р ГГ		(2т +г)лх
	-1- Я у ™ ’ 2 а				-х a tx a y ,
					~
	J -a -6
откуда	ju	р		■ss(-/)'
						(3.78)
Л(2т*!),П ~
ч"л"'у 3			ж(2т')п[(Щ^)г+(-%)г]
Подставив	А в ряд (3.-76), получим
				c o s ^< i ! } -
			(-,r	___ *		&
F * ~UjU J	Л* k i b ,					■■•(3.79)
				^	y	6
Имея выражение для F			, по формулам (3.75) иайдем составляю
щие касательного		напряжения.
Выведем поправки к напряжениям по оси у						, получаемым по

элементарной теории. Рассмотрев прогиб мембраны (см. рис. 3.2)»

79 -

видир, что по оси у			поправки имеют			наибольшие величины и
поэтому напряжение будет наибольшим в средник точках сторон
у - i 6	. Найдя пр о и з в о д н у ю ^ и приняв						* •. 0> подучЮ(
	J L	£ I	i r	$	М	'""’" со *		•(3.80)
	,T	j
Аналогично в виде ряда находятся добавки								при любой
величине	отношения Q- S			. Указанные		ряды	сходятся быстро. Поп
равки	должны быть		прибавлены		к величине			, где f0 -

~ 4о .6 - площадь сечения. Расчеты показывают,^что-элементарная теория изгиба дает очень точные величины касательных напряжений при Q. S > 2 . Для квадратного сечения ошибка в наибольшем на пряжении, получающаяся по элементарным формулам, составляет

10%. Если ширина прямоугольника велика по сравнению с высотой, то элементарная формула оказывается неудовлетворитель ной и действительная величина наибольшего напряжения значитель но превышает величину, З Р .

§3.8. Приложение вариационного уравнения Кастильяно

иЛагранжа к задаче о кручении призматического бочса

Принцип Кастильяно, как известно, записывается в следующем виде:

<$f[(PX},	r f d s - J jJ J W c L V -	(3 -81)
3	у

Левая часть этого уравнения представляет работу вариаций по верхностных сил на действительных перемещениях, справа стоит вариация упругой энергии тела, получившаяся вследствие вариа ции действительного напряженного состояния.

Для приложения начала Кастильяно к задаче о кручении бру-

- 80 - са прежде всего необходимо задаться системой напряжений, удов

летворяющей уравнениям равновесия и условиям на поверхности, Зто напряженное состояние легко получить, пользуясь функцией напряжений Црандтля Ф (*,</):

= <Ьу - <ьг		= ?ху
С ■- д<Р' .			(3.82)
С ■- д<Р' .
д у	'	4" " *

Рассмотрим односвязный контур. Уравнения равновесия при этом будут удовлетворены. Если потребуем, чтобы функция Ф • обращалась в нуль на контуре', то боковая поверхность бруса бу дет свободна от нагрузок и, следовательно, условия на ней

'удовлетворены. Условия на концах бруса зададим в интегрально* форме: главный вектор усилий на каждом из оснований равен нуг а-главный момент их выражается через функцию Ф :

	= 2 ^ ф У х У ( /	•		(3.83)
Перемещения точек бруса выражаются формулами
и = -? (/* ;	•	г г г * е у ( х ,е /) )		(3.84)
где У f a t/ ) -	функция кручения Сен-Венана.			(\|
Вариацию напряжений (3.82) осуществим,-дав			вариацию 8т
функции напряжений. Тогда
		^	\|
	'■		/	(3,85)

.Поскольку выражение'для упругой энергии имеет вид

* £ ) J ,	(3.86)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023951.53 Кб3Теория управления производством и операциями..pdf
#
12.11.202319.88 Mб6Теория управления..pdf
#
12.11.20238.77 Mб3Теория упрочняющегося пластического тела..pdf
#
19.11.202327.99 Mб1Теория упругости микронеоднородных сред..pdf
#
12.11.202311.07 Mб1Теория упругости неоднородных тел..pdf
#
12.11.20238.54 Mб6Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости.pdf
#
12.11.20235.05 Mб2Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы.pdf
#
12.11.202321.88 Mб2Теория упругости..pdf
#
12.11.20231.22 Mб5Теория функций комплексного переменного..pdf
#
19.11.202328.91 Mб2Теория функций комплексной переменной..pdf
#
12.11.20235.34 Mб6Теория химических реакторов введение в основной курс..pdf