книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 61 - Подставив (3.15) в уравнение (3.13), увидим, что вследст
вие условия (3.16) функция^(^^должна внутри поперечного се чения удовлетворять уравнению
Внося же (3.15) в (3.14) и принимая во внимание граничнре условие (3.17)» найдем. для определения функцииJC(xС^новое гра ничное условие
д\' дх, OL/
Теперь внесем (3.II) в (3.12), получим
Подставляя сюда (f0 из (3.15) и учитывая, что
'2(/<уи) ’
получим
2 ( / у й ) 7 ^ ^ ¥>J' 1
где
V2= (jfyujxy-
<З Л 9 >
(3.20)
(3.21)
(3.22)
г вводя обозначения (3.22), |
приведем |
граничное условие (3.19} |
к более удобному виду: |
|
|
~*§£ * еУ ' |
*°- |
(3.23) |
|
- |
62 - |
|
Ваяв около оси & |
момент всех касательных усилий* |
действую |
|
щих на элемент поперечного сечения стержня, получим |
|
||
м ~ f j [ x |
- У'ех я ] |
d x d y ■ |
(З.гм |
Внося сюда значения |
£х г и |
, найдем |
|
|
•Д7= М'+М"> |
С5.23> |
|
где |
|
|
|
СЗ.го)
(5-27)'
§3.2. Внешние силы, действующие на стержень. при решении задачи Сен-Венана
На концевом сечении бруса косинусы углов внешней нормали, оче видно, будут
В ~ т - 0 > |
/ ? = Л |
|
(3.28) |
л учетом этого из уравнений на поверхности получим |
|
|
|
Pxi> = vx 3 f |
|
• |
(3.29) |
Если в правые части этих формул внести (3.2) и (3.21), то получим значения компонентов внешних поверхностных сил, необ ходимых для того, чтобы решение .Сён-Венана имело место в дейст вительности. Эти силы должны быть приложены в концевом сече нии В .•
Вследствие принципа Сен-Венана, за исключением небольщой области вблиэи конца В , можно систему поверхностных сил (3.29) заменить другой системой, статически ей эквивалентной и сводя щейся к одной силе Р , приложенной в центре тяжести сечения и
- 63 -
направленной параллельно оси А • Очевидно, в этом случае имеем
следующие условия для равнодействующей всех усилий CXJ, d x d t / t
% *<**°(У , приложенных к элементам d x o ly концевого се чения & :
|
[ f t |
dxdy ~ Pi |
|
|
|
|
s |
|
|
|
(5.30) |
|
j f t ' ^ d x d g ^ O - |
) |
|
||
|
s |
|
|
|
|
Из третьего уравнения равновесия (3.3) имеем: |
|
||||
|
|
|
|
|
(3.31) |
Интегрирование |
по частям дает |
|
|
||
ffxfil™ |
, d**?)dxdt/= |
|
|||
у |
(Л- |
•ду I |
|
|
|
-/* (есы * |
|
|
|
|
|
|
4 |
у |
S |
|
|
Поэтому Имеем |
|
|
|
|
|
j f r ^ d x d y ^ x C t ^ e * |
c ^ m j d s + y f f x ^ d x d t / - |
(3.32) |
|||
Вследствие граничного условия интеграл по контуру исчезает |
|||||
и получим |
|
|
|
|
|
|
f / c XJd j < d y = j J = 0 < |
(З.зз) |
|||
чем одравдано первое из соотношений (3.30). |
|
||||
Также вследствие |
(3.3) |
имеем |
|
|
|
Интегрируя по частям, подучим
- 6* -
|
+гг>срл)ds -Jf^ d x d y . |
(3.55) |
|
Поэтому |
s- |
|
|
|
|
|
|
J f a c h c f y y ( y ( e c „ ^ m t ^ |
- t ^ - f f x y d x d y , |
(3-56) |
|
S ' |
. |
* S |
|
что вследствие граничного. условия дает. |
|
||
j f ^ d x d y ^ - ^ - f f x y d x d y ^ O ’ |
(3-3?) |
||
S |
S |
|
|
так как оси х, у |
суть главные |
оси поперечного сечения стержня |
|
и, следовательно, центробежный момент инерции относительно их равен нуле.
Эти соотношения для касательных сил* приложенных к.элементам поперечного сечения, справедливы, очевидно, в любой попе-1
речном |
оечении стержня. Для нормальных сил ^ d x d y , прило |
женных |
к элементам любого поперечного сечения, имеем условие |
|
J f :^ d x d c/= 0 - |
(3.38) |
|
Действительно, |
внося |
сюда ^ из; (3.2), получим |
|
ff< £ j dxdy= - d L f l JT 'xctxdy = О, ■ |
|
||
S "" |
W |
5 |
|
вследствие того, что центр тяжести, лежит аа оси £ |
и, следова- |
||
тельно/ ’ |
|
|
|
J f x d x d y ^ O :
Составим теперь суммы моментов всех касательных и нормаль ных сил
s-^dxdy, |
с/хс/у? |
&^аАхс/у, |
приложенных к элементам любого поперечного сечения, находящего ся на расстоянии. 2 от эаврепленного конца А стержня.
Оон, относительно которых возьмем моменты, проведем в плоокости данного сечения через его центр тяжести параллельно осям координат, получим
|
|
|
- 65 - |
|
|
|
|
’‘/fy^dxdy, |
|
|
|
|
|
г г |
/ , |
> |
(5.39) |
|
МУ '” -JJx^ <*xdy, |
|
|
||
|
■% *^ |
^ c yy -yrjdxdy. ^ |
|
||
|
s |
|
|
|
|
Внося |
из (3.2)» |
получим, |
используя известное .соотношение |
||
|
J / ' x y d x d y = О |
|
|
||
|
■$ |
|
|
|
|
и формулу ^ |
= f f x * d x d y |
, следующие формулы: |
|
||
|
М |
у - ф ^ / f x ^ x d y , |
^ |
||
/*' = d L f } j f x -г м ^ е - * ) .
Вследствие (3.24) и (3.25), имеем
- М* + М " |
(3.41) |
Если требуется, чтобы отрезок стержня, заключенный между свободным концом 3 и данным сечением £ (рис. 3.1)» находился в равновесии, то необходимо удовлетворять следующим шести усло виям:
Г * = -IfСК9 d x d y + P =0? }
Т.У- -J/'Cyzdxdy = 0, |
V |
Z'?" -JT&* dx dy - Q ; |
) |
Z(*?y-y*) =-A/r'=0,
Z (x* -*x)=-My,v p(e-*)=0r
(3.42)
(3.43)
Z =0.
- 66 -
Условия (3*42) буду* удовлетворены вследствие |
формул (3.30) |
и (3.38), а первые два условия (ЗЛЗ) ** вследствие |
(3«40)з Тре |
тье условие (ЗЛЗ) дает с учетом (3.41) |
|
М = 0: |
(ЗЛ4) |
Это важное условие позволяет, принимая во внимание (3.25), вычислить произвольную постоянную « которая до сих пор оста валась неопределенной.
Таким образом реиена задача, об определении напряженного собтоявня при изгибе консоли поперечной силой, приложенной на свободном конце в одной из главных плоскостей стержня. Решение, может рассматриваться как точное, поскольку имеет место прило жение принципа Сен-Банана. Главная трудность' при решении задачи Ъб изгибе состоит в определении обоих касательных напряжений
^хя и \ возникающих при изгибе в поперечных сечениях стержня. Для этого необходимо интегрировать две уравнения Лап ласа (3.16) и (3.18) при граничных условиях (3.17) и (3.19). За дача эта очень трудна и может быть решеня только в некоторых частных случаях, имеющих практическое значение.
$ 3.3. Перемещения п р и изгиба |
|
|
|
|
||
' |
|
,BPI™ ПврвМвЩ9н“8 т |
изгибе ногу! |
|||
быть получены в общем виде. Действительно^ |
(3 |
.7) |
m0Qii |
|||
s в |
диг _ |
' p(e-j?)x |
|
|
|
|
* |
д я |
|
’ |
|
|
|
интегрируя по ^ |
, -получим |
|
|
|
|
|
7УГ- _ |
£J |
& * * * |
/ / |
|
|
|
|
* 1ЕТ * г |
|
|
(3.W) |
||
где ?'(х,ц).ь<я& ДРоиэвоцьная функция oi х |
' |
|
|
|||
A t r ' s - a » . - S * * * |
~ |
----- |
(3.46) |
|||
З х |
3 * |
£ J |
||||
Интегрируя по X |
, получим |
* |
|
|
|
|
- ЬУ -
Далее из формул (З.И) следует
|
|
ог дх |
ы dx |
ЕЗ * ’ |
|
У |
~ &Ur |
dzr |
(3.<»7) |
|
dw* |
|||
Внося сюда производную |
|
|
||
|
диг_ ' £>£# |
Р яг |
дс?' |
|
|
дх |
~E 'J ~ * 2 E J * дх |
||
[ диг |
ду>' |
|
|
|
ду |
~ ду |
, вычисленную из (3.45)* получим |
||
|
|
|
||
inд и =£teffi: <*?'п -а<л, З П и 2,
Л5'? ЕЗ 2с 3 а Г ' У Ц Г Е З * -
|
|
У(3.48) |
р : * с х + |
д у |
д у |
д х |
Преобразовывая эти уравнения и ремая дифференциальные уравнения второго порядка относительно % и </>'« получим окончательные
’ формулы для перемещений:
. ; { * ] - № У * +*<'> |
|
|
v=cxz* |
(е-*)ху+(рк-<**у, |
^ ' |
- 68 -
Эти формулы'даны Свн-Венаном. Очевидно, что выражения
представляют смещения, которые могут иметь место в абсолютно твердом теле при элементарном вращении, компоненты которого
с у т ь Ц j b , y |
. Шесть произвольных постоянных с\,уэ; у |
'л 'и |
||||
определяются'из условий закрепления конца А |
консоли. |
1 |
||||
Примем, |
что точка О |
закреплена, тогда |
|
|
||
и - |
и |
- и г - О |
для |
х = с/ = |
= О ■ |
|
Если принять, |
что обе выбранные функции </*(х,у) иJC(xy) равны |
|||||
нулю при X - у |
- О t то имеем |
оС |
О |
|
||
Далее примем, что линейный элемент, исходящий из начала координат и первоначально совпадающий с осью </ или=? , будет совпадать с ней и после деформации, т.е.
' д у |
д и |
_ п |
|
У =(/=6? = 0 . |
|
|
|
дх ~ду |
~ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Это условие дает |
с*"» о, / = 0 . |
|
|
|
|||
Третье условие |
о |
примем для всех х = у = ^ |
= у |
||||
это дает J 3 - 0 |
^ |
|
- |
. |
|
|
' |
Таким образом будут определены .все шесть |
произвольных по |
||||||
стоянных. Отметим, что возможны и другие способы закрепления |
|||||||
конца А . |
* |
|
|
|
|
|
|
‘Для точек, лежащих на оси-сгержня, имеем |
х - у = |
тог |
|||||
да формулы <3.49) |
перепишутся так: |
|
|
|
|||
v=0, иг^ |
J - |
|
|
(5.50) |
|||
|
|
|
|||||
Первое из |
этих 7 равнений дает общеизвестное уравнение упру |
||||||
гой линии. Из него имеем |
|
|
|
|
|
||
|
в-и |
P(e-jf) |
Му |
|
(3.51) |
||
|
I P = |
£ / |
|
’ |
|
||
|
|
|
|
||||
- 69 -
Здесь М у |
- изгибающий момент, в |
д Ъ |
||
- кривизна упругой |
||||
ЛИНЙВ^д |
|
|
|
д * г |
|
|
|
|
|
§ ЗЛ . функцня |
напряжений п р и изгибе |
|||
Для решения уравнения равновесия |
|
|||
|
|
М-хх { д£& + Р*_ _ Q |
||
|
|
дх |
до |
3 |
С.П.Тимошенко предложил принять |
|
|||
|
|
г |
$ х |
1 |
|
|
”■ « |
I |
|
|
|
|
|
(3.52) |
где f t 0 /) |
в о » |
произвольная функция у . |
||
Согласно (3.3) функция F зависит только о* х , у . Срав нивая (3.52) с (3.21), пн найдем связь F (x,y) ъ y(X y)zjC fcy). Действительно, имеем
§ аЛ |
(3.53) |
~7ха'6гШ + *Ь 2j(r+ju)[dy * **]'
- Для установления дифференциального уравнения функции F, продифференцируем первое уравнение по у , второе по * и олохим их. Подучим
- 7 0 -
Сюда необходимо внести функции у , и </)2 , определенные по-
формулам (3.22):
t + t - ^ - ф ф ) у - 2г у ■
После приведения получим
(3.54)
это и есть уравнение, которому, удовлетворяет функция напряжений
у (*,</) •
Составим граничное условие для функции F . Для этого внесем в уравнение
формулы 2= ~ |
, |
/то- — -~т~ |
и |
(3.52), |
что даст |
|
||
|
ds |
|
a s |
<?F_ |
d x |
|
|
|
|
|
|
|
d y |
|
|
||
lay |
23 L* |
|
ds |
dx |
ds |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
SFdx |
|
- I f , — [x ‘- f /и )] — |
■ |
(3.55) |
||||
J x d jL |
|
|||||||
3yds |
3s |
2J l |
f '<i/;jds |
■ |
|
|||
Таким образом граничное условие для F |
имеет вид |
|||||||
|
|
i £ |
л |
|
|
|
|
(3.56) |
|
|
23 |
|
|
|
|
||
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
Формулы |
(3.52), |
(3.53) и (3.56) принадлежат С.П.Тиношенко |
||||||
и являются основой мембранной аналогии при изгибе, В |
частном |
|||||||
случае, если правая часть |
(3,56) обращается в нуль, |
то получим |
||||||
Отсюда на контуре
F - c o n s t . |
(3.57) |