книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 201 -
Значит, |
окончательно |
|
|
|
, |
d S 'fe ) |
» |
|
|
|
(5.98) |
|
AS tA e ~ - J ~ h S ' f y l ( Ax * l \ ) ' |
||
Найдем |
вырааениявеличин |
ах |
, коипонент смещения и на- |
|
|
д у |
|
пряжения через новую переменную |
^ , вводимую соотношением |
||
Обозначим через 9/fz),V'(z),<flk),Vf(z)то, что раньше было обоз начено соответственно через *f(z),Wfz)fСР(%), Wfz),
и введем новые обозначения:
W.(z)=Wt [ e i( ^ ) ]
V f e l |
(5,99) • |
dz oS’fc)
При этих обозначениях формула
дЦ |
><- ~ г ~ = '*(%}+ г г '/к )* w fz > |
|
дх |
||
с у |
||
|
(5.100)
Ж*
,а формула
|
2G(iM + L t ) = |
ХЧ>(г ) - |
|
|
||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
^2G(a + it? ) = 2C.4>f e ) - |
— |
(*»*/ |
*?-'/*?) " |
* |
(5.I0I) |
|
Найдем |
также компоненты |
^ |
I K J смещения относительно на |
|||
ших криволинейных координат, |
т.е. |
проекции смещения |
на оси |
|||
( j d ) , ( & ) • |
На основании формулы |
(3.98) имеем |
|
|
||
|
i d |
= - £ - |
№'(ч)1( и |
|
|
|
|
|
У |
. i d ) , |
(5.102) |
||
- 202 -
откуда
Найдем в криволинейных координатах компоненты напргаенш^
Эти компоненты будем |
обозначать |
<Ьг , Ь 0 |
и г хв% понимая под* |
|||||||||
этим следующее: если взять такие прямолинейные |
координаты r A V |
|||||||||||
что ось * ' о ' ■совпфает |
с осью |
( Д |
), |
а ось |
о'ц' |
- с ог*п " ' |
||||||
( 0 ) , |
то |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*тЬ = £ |
|
||
Тогда очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
<*в - * г + 2 £ Т г 0 - Я |
|
* 2 i Z ^ )e |
|||||
Откуда на основании формул (5.80) и формулы (5.96), которая |
||||||||||||
дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ * 1 _ £ _ 2 f a ’t e ) ! - |
|
f c f e f f |
|
= J *Q S Y ? ) |
||||||||
легко |
У |
1 ^ ) 1 г |
У |
*'(?№(<?) |
J>2o!’fs J ’ |
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ё г + * е |
|
* t e ) r * [ 9 f c ) * V f c f j , |
|
|
|||||||
Наконец, |
из формул (5.104) |
получаем вычитанием, |
еще формулу |
|||||||||
дающую напряхенИя, |
действующие |
|
|
|
|
|
(5.105) |
|||||
на контур a=consi с той стороны, - |
||||||||||||
в какую возрастает |
J> . |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|||
Граничные значения первой основной задачи |
могут быть выра- |
|||||||||||
хены18 условия (5.89). |
Вводя |
сада переменную |
соотношением |
|||||||||
|
) ■ обозначая |
через |
&-ег0 |
произвольную точку на ок- |
||||||||
~ |
/ |
* соотв0т°твующей |
контуру |
Z |
, придадим этому уело- |
|||||||
4 ( 6 ) V-- = = Р |
|
|
Щ<ь)=ff + i f a |
co n st |
v a f |
(5.106) |
||||||||||
|
|
|
tJ ( 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражение |
/ н ' Д |
в |
правой" части |
этой формулы |
следует, |
разу |
||||||||||
меется» |
рассматривать |
^теперь |
как |
заданную |
функцию |
точки |
||||||||||
6 = e L° |
окружности J1 |
или, что сводится |
к тому же, |
как функ |
||||||||||||
цию |
дуги |
в |
этой окружности, |
функция |
|
+ |
|
-определяется |
||||||||
на J' |
следующим |
образом. - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Согласно формуле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4) * Ч г |
^< J ( Ph t * iPy p ) d s |
|
|
(5.107) |
||||||||
выражение j f + i / 2 |
является заданной функцией |
точки £ |
кон |
|||||||||||||
тура |
Z |
. Н о |
так как |
между точками £ |
|
и <Ь |
контуров Z |
и ^ |
||||||||
имеется |
однозначно |
обратимое |
соответствие .<£ -a J (<о)9 то |
|
||||||||||||
f f * £ / г |
является определенной функцией точки |
<Ь « эту функ |
||||||||||||||
цию, |
таким |
образом, можно считать |
заданной. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Граничное |
условие |
второй |
основной |
задачи накинется на |
|||||||||||
основании |
формулы |
(5.90) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ж т у й ) - |
6 |
Ё |
6 |
- V p } - |
|
|
|
|
) аа jf , (5.108) |
|||||||
где |
(fa»1} г |
|
представляют |
собой граничные |
значения компонент |
|||||||||||
смещения а. и & (относительно - старых |
осей |
координат <?х,<?#), |
||||||||||||||
представляющие |
собой заданные |
функции |
точки |
& |
или |
дуги |
||||||||||
О |
окружности |
f |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.Лурье А.И. Теория упругости. "Наука?, Фмэматгиз, 1970.
2.Блох В.И. Теория упругости. Харьков, мад-во Харьков ского университета, 1964.
3.Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. Ы., "Высшая «кола", 1961.
4.Лейбензон Л«С. Курс теории упругости. 11., Гостехиздат,
1947.
-20} -
5.Ван-Цзи-де. Прикладная теория упругости. Перевод с ан глийского, М., Госфизматиздат, 1959.
6.Жемочкин Б.Н. Теория упругости. Ы., изд-во по строитель ству и. архитектуре, 1957.
7.Кац A.U. Теория упругости. U.-Л., ГЛТТЛ, 1956.
8.Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л., ОНТИ,
1935.
9.Филовенко-Бородич М.М. Теория упругости. М., Физмат-
издат, 1959.
10.Пономарев С.Д. и др. Расчеты на. прочность в машинострое нии, т. 1,П,Ш. U., Машгиз, 1956, 1959.
11.Мусхелиивили Н.Л. Некоторый основные задачи математичес кой теории упругости. И., изд-во АН СССР, 1949.
12.Новожилов В.В. Теория упругости. Л., Судпроыгиз, 1958.
13.Папкович П.Ф. Теория упругости. М., Оборонгиз, 1939.
14.Тимошенко С.П. Теория упругости. М., ОНТИ-ГТ'ГИ, 1934.
15.Фильчаков 1Г.Ф. Приближенные методы конформных отображе ний. Киэв, "Наукоьа Думка", 1964.
16.Келдыш U.B. математика, ее содержание, методы й зна чение, Т. П. М., издг-во АН СССР, 1956.
17.Беккенбах Э.Ф. Современная математика для инженеров. Ы., !ШЛ, 1958.
18.Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий.
М.-Л., .Гостехиздат' 1951.
19.Угадчиков АЛ'. К решению плоской задачи теории упругости при помощи электромоделирования конформного преобразования.
Сб. ГИСИ, вып. 30, 1961.
20.Канторович Л.В. и Крылов В.И. Приближенные методы выс шего анализа. U.-Л., Фиаматгиз, 1962*
21.Шилов Б*.Ф. О приближенном конформном преобразовании двухсвязных областей. Труды Военно-механического института, Л.,
1939.
22.Угодчинов А.Г. О тригонометрической интерполяции кон формно «Подражающих функций. Укр. математический журнал, 1961,
т.XI, » I,.
23.Угодчиков А.1 . Применение электромоделирования и интер поляционных полиномов-Лагранжа для построения конформно отоб ражающих функций. Семинар "Методы математического моделирования и теория электрически цепей", 1963, вып. 5, № 3, Киев.
- 205 -
24« Угодчлков А.Г. Эдектромоделмрованне ковформвого преоб разованы кругового. кольца ва заданную двухсвязную область. ^Увраиаокнй математичесый журнал", 1955, т. УД, №3.
25« Благовещенский Ю.В. 0 некоторых приближенных методах вонформвого преобразования. Сб. трудов института строительной механики АН УССР,з« 14, 1950.
26.Колчанова Б.А., Швецов А.В. 0 аостроеввм ковформвого отображены сдожвой симметричной двухсвязной областв. "Прыладнам механнка0, -1967, вып. 9, т. Ш.
27.Колчанова Б.А*, Норин В.Н., Швецов А.В. 0 првмевенвв конформных отображеввй к ранению некоторых задач плоской тео
рии уцругоотн, "Зурная вычислительной математдкн в матаманчесЕоЗ.йквикЫо 1968, т. 8, J6 2.,
28.Колчанова Е«А., Ввецов А.В. 0 поотроенив конформного огоо'ракеЕне для сложной двухсвизной области. "Прикладная механинап9 1968, т. U , внп. 4.
29.Колчанова Е.А., Вводов А.В. 0 ревевян фувкцяовального ураввоЕия Муохолммвялн в случае сложных одиосвязных в двухсвяз
ных областей. Сб. трудов ШШ, Ъ 46, 1968.
30. Угодчиков А.Г., Баженов В.Г., Швецов А.В. К ревеннв задачи концентрация напряжений в обжаотн, ограниченной снаружи окружностью, а изнутри - кривой сложной формы. Докд. на 1 Все союзном симпозиуме по ковцентрацйи напряжений в пластинках
иоболочках. Львов, 1968.
31.Швецов А.В. О построены конформно-отобрахащойфунк ции для сложной симметричной незвездчатой двухсввзвой обжасти. Уч. запноки Пермского гооуижверржтета ; №186, 1967.
32.Швецов А.В. Применение злектромоделмрозания для реше ния некоторых задач плоской теоры «упругости. Докд. ка Все союзно сеыянаре по прнмененмю интеграторов ЭГДА 9/60, Кнев, 1968.
33.Угодчвзоэ А.Г., Баженов В.Г., Швецов А.В. Уточнены решения краевых вадач теоры упругостк для незвездчатах двух связных обжаотей. "Прикладная иехаввка", 1969, т. У, вып. I.
С О Д Е Р К Л И И Е
ПРЕДИСЛОВИЕ............ |
............................... |
|
|
3 |
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СЕН-ВЕНАНА,, |
|
|
||
РАСТЯЖЕНИЕ И ЧИСТЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ ........ |
|
5 |
||
§ I.I. Принцип Сен-Венана........ |
. ................ |
|
5 |
|
§ 1.2. Деформация стержня силами, распределенными по |
|
|||
торцам . ................................. |
|
.......... . |
|
7 |
§ 1.3... Растяжение стержня . |
. .‘ .......... .... . |
, * . |
JO |
|
§ 1.4. Изгиб стержня парой |
.'...................... |
. |
Тт |
|
ГЛАВА 2. ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА О КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ' |
• • * |
16 |
||
.§ 2.1. Общая'теория кручения |
стержней .......... |
, |
16 |
|
§ 2.2,-Результирующие касательные напряжения в задаче |
|
|||
о кручении........ .. |
................ |
~'ш ............... |
|
22 |
§ 2.3. Теорема о циркуляции касательного напряжения |
|
|||
в задаче о кручении |
. '................ |
26 |
|
|
.§ 2.4. Кручение стержня, сечением которого является' |
|
|||
круг или круговое кольцо ..................... |
. . . . . . |
28 |
||
.5. Кручение стержня с эллиптическим поперечные - |
|
|||
сечением . . . ........... |
................ |
.. ............. |
|
30 > |
§ 2.6 ._Кручение круглого вала с выточкой *........... |
|
35 |
||
§2.7. Кручение |
стержня прямоугольного, сечения . . . |
38 |
||
§ 2.8. Неубранная аналогия Прандтля ................. |
|
43 |
||
§ 2.9. Теорема Бредта и мембранная аналогия ; . . |
. . |
46 |
||
§ 2.10. Кручение односвязных тонкостенных профилей . |
50 |
|||
§ 2.II. Кручение двухсвязных тонкостенных стержней . |
52 |
|||
ГЛАВА Ш. ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА ОБ ИЗГИБЕ КОНСОЛИ. |
|
|
||
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ &АДАЧ ОБ ИЗГИБЕ |
|
|
||
И КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ.......... |
.............. .. |
. . . |
57 |
|
§ 3.1. Общая теория изгиба стержней ................. |
|
57 |
||
§ 3.2. Внешние силы,вдействующие на стержень, при |
|
|||
решении задачи Сен-Венана . . ........................... |
|
|
62 |
|
§ 3.3. Перемещения прииз ги бе ................... |
|
66 |
||
§ 3.4. Функций напряжении при изгибе................ |
|
|
69 |
|
§ 3.5. Изгиб стержня с-эллиптическим поперечным се |
|
|
||
чением ............ |
. . .................................. |
|
|
7j |
§ 3.6. Центр изгиба.................... ........... |
. |
|
74 |
|
§ 3.7. Изгиб стержня прямоугольного сечения ........ |
|
76 |
||
§ 3.8. Приложение вариационного уравнения Кастйлья- |
|
|
||
но и Лагранза |
к задаче о кручении призматического бруса . |
|
79 |
|
§ 3.9. Приложение вариационного уравнения Лагранжа |
|
|
||
.(и Кастилькно) |
к проблеме Сен-Венана об изгибе |
консольно |
|
|
го бруса .................... |
.............................. |
|
- |
85 |
§ 5.1 0 ... |
Центр изгиба тонкого авиационного профиля |
|
90 |
|
ГЛАВА ГУ. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . . . |
•.......... . |
|
95 |
|
§ 4.1. Плоскодеформированное состояние................ |
|
|
95 |
|
■§ 4.2. Плосконапряженное состояние .................... |
|
10 0 |
||
§ 4.3. Обобщенное плосконапряженное состояние ........ |
|
ю б |
||
§ 4.4. функция напряжений Э р и ............ |
.. |
|
Ю 9 |
|
§ 4.5. Теорема Мориса Леви . ........................ П 6 |
||||
§ 4.6. Решение плоской задачи теории упрутости в поли |
|
|
||
номах ...................................................... |
|
|
И 7 |
|
О 4.7. Решение -плоской задачи теории упругости методом |
|
|
||
Файлока и Рибьера . . ......................... ............. |
|
125 |
||
§ 4.8. Задачи, в которых напряжения не зависит от поляр |
|
|||
ного у г л а .......... |
.................. ".................... |
|
129 |
|
§ 4.9. Сила, действующая на острие клина . |
. . . . . . . . |
|
132 > |
|
§ 4.10. Напряжения во вращающемся диске .............. |
|
|
136 |
|
ГЛАВА У. ПРИМЕНЕНИЕ. ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
|
||
К РЕШЕНИЮ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ■ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . . . . . |
141 |
|||
§ 5.1. Общие сведения' . .................. |
|
|
141 |
|
§ 5.2. Основные понятия, термины и обозначения . . . . . . |
|
144 |
||
5.3. Конформное отображение ........................ |
|
|
149 |
|
§ 5.4. Теорема Римана |
|
|
153 |
|
§ 5.5. Вариационные методы постррения конформных'отобра |
|
|||
жений . . . . . |
. . . ............................ |
|
|
155 |
§ 5.6. Метод последовательных конформных отображений . |
. |
156 |
||
§ 5.7. Метод, основанный на применении интеграла Крис- |
|
|
||
тоффеля-Шварца............................................. |
|
|
158 |
|
§ 5.8. Метод тригонометрической интерполяции ........ |
|
162 |
||
§ 5.9. Графический метод П.В.Мелентьева .............. |
|
|
166 |
|
§ 5.10. Метод построения отображений для двухсвязных |
|
||
облаотей, разработанныйБ.«.Шиловым . . |
. . . . ............ |
j7 l |
|
§ 5.II. Отображение двухсвязных областей по методике |
|
||
Ю.В.Благовещенского ........................................ |
|
|
2 75 |
§ 5.12. Построение отображающих функций при помощи ме |
|
||
тодов А.Г.Угбдчшгава . . . |
.'.......... |
. . ................ 276 |
|
J 5.13. Комплексное |
представление |
смещений и напряжений |
19I |
§ 5.14. Комплексное представление основных формул при |
|
||
конформном отображении |
....................... |
|
199 |
ЛИТЕРАТУР! ..................................... |
|
|
203 |