книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

i«w/=

•!**!■'*■

'

' &2-»0

A Z

/

-'.’а формула показывает,

что в пределе отнопевяе бесконеч­

но палого

раоитояння

иезду

отображаемыми

точками л -f к рас­

стоянию между

их образами

4 2

равняется

величие

R s lu>(^)U

которая

зависпг

только

от

поиозовая т о ч к и

z

и не завися*

0 1

иаправлеппя л ш е ш в

Г

Другими

словами, нодуль производной

£

г- 1&'(е> )1

вырапгвт величину, азвензняя

линейных размеров

в

точке г

при отобраяенЕШа

осуществляемом

функцией Z=Oi(-^).

При / ? > 1

происходив

расзяленне

произвольно направленного

бесконечно

малого

элемента, выходящего

яэ точки

, а при

R < 1

- csasaao

При R -1

такой бесконечно

палыйэлемент пре­

образуете»

в

эквивалентный

бесконечно

малый элемент, выходя­

щий

па

точка

£

«,

*

Таким

образом,

свойство постоянства

растяжений полно сфор-

•аудировать

такг

бооконечйс

малые

векторы

всех направлений,

выходящие

из точки'

, увеличиваются

или уменьшаются по

своей

длине

в одпо

а то же число раз,

равное

R - №

)/•

Если мы возьмем

в плоскости

^

бесконечно

малый треуголь­

ник,

то ему

в плоскости

z будет

соответствовать

бесконечно

малый

подобный треугольник,'

так как

соответственные углы

в

этих треугольниках будут равны, согласно

овойству консерва­

тизма

углов,

а отношения

соответственных

сторон (с точностью

до бесконечно

малых

высшего

порядка) будут раввы одному .■

тому хе постоянному

числу

R .

Поэтому

отображение,

осуществляемое

регулярной аналхтн-

чоокой функцией,

называют

и п и й м ш и »

иеового

Преобразование,

которое'

обладает

постоянство!

\растяжений

и сохраняет

величину,

углов,

но изменяет

направленно нх от­

счета

на

обратное,

иааяияатг.я ^пнфпрм^ш

отображением ВТОРОГО

вола.

Такое

отображение

дается,

например,

сопряженной функг

дней

В' качестве

примера

рассмотрим

дробно-линейюе

преобразо­

вание,

осуществляющее

отображение

верхней

полупдоокостн на

круг.

Зададимся

точкой

верхней

полуплоскости.

а

= a.1+ ia 2 ,

. -• 152 -

переходящей

в центр

единичного круга

= О . Точка

а. -

= a f‘ 6q

симметричная точко

а , должна перейти в

точку

симметричную точке S) = О

относительно

единичной

окружности

(рис.

5.6).

Поэтому

искомое

отображение

2 - Л

z - а

где

К

- постоянный

множитель.

Рис. 5.6

Для того, чтобы точка

£~=0

t принадлежащая

границе по­

луплоскости,

т.е.

действительной оси,

перешла

в

точку еди­

ничной

окружности-

, подставим

Z =0

и соответствую­

щее ему

/-^ /= /

в приведенную

формулу,

получим

I*- 2 - а

----- з- ,

Z - a .

поскольку / - ^^ /=

/,

где

oL -любое действительное

число.

По свойствам

дробно-линейных функций пучку

радиусов

круга / < / < / , которые можно

рассматривать

как дуги окруж­

ностей,

проходящих

через

точки Ц = 0 и

^ = « >

, соответст­

вуют принадлежащие

верхней полуплоскости

£

дуги

окружностей,

проходящих

через точки

.1 -J'. - '

и

a = af -ctL2 .

Оенайохзу

окружностей

с центром

в

точке

= 0 соответ­

ствуют • окружности,

имеющие

а

и а. сзоипы

сопряженными точ­

ками.

§ 5.4. Теореыа Римань

Имея

произвольную пункцию, легко

изучить

осуществляемое ею

конформное

отображение. Любая

область

&

, в

которой <^(^)

однолистне,

с помощью этой-функции

отображается

на другую

область.

Однако для практических целей больной интерес'представляет

более

трудная,

а по

нашему мнению

н мнению большинства авто­

формных

отображений-.

Заданы

области

S'* и

S

требуется

постронть функцию, осу­

ществляющую

конформное

отображение

одной

области

на другую.

Б настоящее

время этот вопрос

решен

пока

в

общей постановке.

Прежде

заметим,

что

в таком

общем

виде;

в каком

сформу­

лирована

основная задача

конформного

отображения,

она нераз­

решима.

Так,

например,

многосвязную

.область

нельзя взаимно

однозначно

и непрерывно

отобразить на.односвязную. Нельзя

конформно .отобразить

полную

плоскость

‘на

ограниченную

область

плоскости

Z .

На

поставленную

основную задачу

конформных отображений

дает

исчерпывающий

ответ

теореыа

Римана,

которая является

одним изважнейших результатов

теории функций комплексного п е ­

ременного

и которая

играет

рсноввую

роль

в теории конформ­

ных

отображений.

Существует единственная, вполне определенная, регулярная

в S

функция

которая

взаимно

однозначно

в

конформно

отображает

область S

(отличную от всей плоскости

и от всей плоскости

z

с одной

выключенной, точкой)

на

единич­

ный

круг

/ < / , так,

что произвольно

заданным точке

Z0 в S

и направлению

в этой

точке

положительной оси будет соответст­

вовать точка

и также направление положительной оси.

В отношении

многосвязных

областей заметим,

что даже не

всякие -две

области

одной'

и той же

связности

можно

отобра­

зить

одну

на другую. Например,

два

кольца,

которые

ограни­

чены

концентрическими окружностями,

можно

конформно

отобра­

зить

одно

на другое

только

в том

случае,

если отношение .

радиусов

окружностей

для .обоих

колец одинаково.

Однако лю­

бую

двухсвязную

область можно отобразить

на

кольцо,

отноше­

ние радиусов которого зависит от формы отображаемой

области;

Подчеркнем, что в теореме Римана

речь

идет

только

об

отображении

внутренних точек

области

5 'на внутренние

точки

единичного

круга.

Поэтому,

следует

рассмотреть, какое соот­

ветствие

существует между

граничными

точками

областей,

по­

скольку

при решении

практических задач граничные

точки

играют

наиболее

важную

роль.

Граничные точки могут .иметь раз­

личную кратность. Так, на рис. 5.7'

_

%3

-

трехкратная,

^ -

двухкрат­

ные,

а

простые

(однократные)

точки.

Теорема

о соответствии границ..

При взаимно

однозначном

конформном

■отображении

области

S

на

область S*

отображающая функция

2 =о5 ( ^ ).

I) устанавливает

взаимно

од­

нозначное

и непрерывное, соответствие

границ •этих1областей, если граница 5

состоит

из

конечных

то­

чек (не имеет бесконечных ветвей, т.е. точка.

^

= <« н е

лежит

на границе области

6

)

и ..если граничные точки

считать

столько

раз, какова

их кратность;

2 )

имеет на границе

L

непрерывную

производную,

если

границы 5

и $* состоят

из конечных

точек

и

обладают

непре­

рывной

кривизной;

В угловых

точках границы

конформность

Следовательно, функцию,

осуществляющую

конформное

отоб­

ражение,

можно искать как решение

следующей

вариационной

задачи:

среди функций,

регулярных

в

области

S

и подчиненных

условиям

нормировки (5.2),

найти

ту,

которая

дает

мининум

функционалу. (5.3J.

В существовании

и единственности

решения

поставленной

задачи

на экстремум

нас

убеждает

теорема Римана.

Другим экстремальным

свойством,

позволяющим

применить его

для построения‘отображающих

функций,

является

свойство

ыини-

мума

длины

контура

при преобразовании

области

’на

круг, т.е.

интеграл

Э -J / a ' ( ^ ) / d S .

(5.4)

определяемый функцией

I

будет

иметь

наименьшее значение.

U.А.Лаврентьев изучал указанный метод отображения в дина­

мике, т.е. наблюдал, как изменяется отображающая

функция

при

изменении

отображаемых областей. Такой

подход

особенно важен

дде инженеров, так как

он дает

возможность

производить

пере­

счет • и улучшать

запроектированную

конструкцию,

если после

проверки оказывается,

что

исходный

вариант

не

удовлетворяет

каким-либо

техническим

требованиям.

§ 5.6, Метод последовательных

конформных отображений

Идеи, метода

были предложены

ы.А.Лаврентьевым,

но

полное раз­

витие метод

получил

в трудах

П.Ф.Фидьчакова

и его учеников.

Основная идея

метода

заключается

в следующем: при

помо-

щи

основных элементарных

отображений

производится

трансформа­

ция

исследуемой

области

в более

простые,

а затем

в канони­

ческие.

Естественно

такой

метод

назвать методом

последоватед]

них

конформных отображений или методом исчерпывания.

Выбор

самих элементарных

отображений

диктуется особен­

ностями

рассматриваемых

задач

и простотой

вычислений,

необ­

ходимых

для

осуществления

данного

элементарного

отображения.

В принципе число

основных

элементарных

отображений мо­

жет

быть

произвольным,

но для

практических

целей

достаточно

•&(а + 6 )

(5.8)-

Z* { г 37 б 'г- а 2

Из этой формулы" следует, что бесконечнодалекая

точка-при отоб­

ражений

остается неподвижной.

Метод

удобен;

и;тем,

что в

промежуточных

преобразованиях

можно

строить

только численное

отображение,-'

а. отображающую

функцию

как!

таковую.в явном виде можно’не

строить.

■

Метод последовательных

конформных

отображений

или метод

исчерпывания/как

видцо, носит вполне'

общий

характер

и с. его

помощью

можно

отобразить..на полуплоскость

любую односвязную,

'однолистную

область и, даже

в

некоторых . случаях,

двухсвяз­

ную.

нальных

областей (треугольник*, квадрат,

п

-.угольник,

поло­

са,

полуплоскость

и т.д.).

Во многих

технических

приложениях

теории

конформных

отображений важною

роль

играет

функция,

отображающая

верх­

нюю. полуплоскость

дт ^

^ О

на произвольно заданный

г?

-

угольник

в области,

S

. Внутренние-

углы

•/?-. угольника

бу­

дем обозначать буквами

оС f >062* •••” » 06 п , указывающими,

ка­

кую часть

они

составляют

от

угла. X

• Так,

для прямоуголь­

ника

/. - / = /

=

2

- /

■°^5

°

Каждое aL1

Должно

быть действительным', положитель­

ным

числом,

не превышающим

2

, и поскольку

сумма внутрен­

них углов многоугольника

равна

X

( п -

2 ) *, то

- 159 -

*.^n = v'- -

C5.9)

где

a f ,..а2 , 4 ь

,

а - точки действительной

оси,

соответст­

С ; Z)

вующие

вершинам многоуголышка;

- некоторые,

комплексные постоянные.

Величины

а г ,

а.п ,-■■■, д.п %

С, 2> г.называются константами

интеграла.

В частности, 1>

додано

согласно

формуле

(5.10)

представлять

точку

на

контуре

многоугольника,

соответствующую

точке

t

= .0..

При помощи формулы (5.10). моано

найти

также

отображение

внешности

единичного

круга

/ < / ^ /

на внешность

многоуголь­

ника,

т.е.

на

область

включающую

в себя

бесконечно удален­

ную

точку

и ограниченную

контуром

интересующего

нас вида,

'’.нтеграл

Кристоффеля-Шварца

имеет

в

этом

случае

вид

* > сб(^) = сj ( t

-а . )

(£

а ^ )

-

■■■(£- ап )

i (5.Н )

и d

"

/

где

с

вообще

говоря комплексные

постоянные,

характеризую­

щие

положение

многоугольника

и его размеры;

а, ,а г ;~ ,а -

постоян­

ные Кристоффёля-шварца - точки единичный-окружности

^ в плос­

кости

, соответствующие

вершинам многоугольника

Af tA2,

* Ап

на плоскости

Z ; ?if

о£п- вещественные

положительные

по­

стоянные,

показывающие,

какую часть

Ж

составляют

внешние углы

многоугольника;

У

- тозка'области

внешности

круга

f £ t > f -

Отображение,

осуществляемое • функцией

(5.II),

непрерывно

вплоть

до

вбнтура',

за исключением угловых точек at ,Qz,...,an, где'

&'(Щ)

обращается в

нуль. Следовательно, конформность

отображе­

ния

в

этих

углах

нарушается.

Пусть

область

S

представляет

собой

плоскости с прямо­

угольным

отверстием,

отношение

сторон

которого AtAi lA,At*

(рисо

5.9).

Начало

координат

возьмем, в центре прямоугольника,

т.е. вно

области

S .

Точки a . . a 2 ,as ,a

на

единичной

окружности,

соответствую­

щие

вершинам

прямоугольника Af <■■■

, выбираются из уело-