книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 21 -
Далее, используя формулу Грина, преобразуем эти интегралы в ли нейные. Развернув интегралы и сделав некоторые прёобразования, запишем для Fx (2,24):
Fx =GrKcjcos(v.y)ds+G'z:Ktfcos(\ly)ds+ •• • +
2t |
J>, |
|
|
|
' |
. |
(2.25) |
Z4 . 7 Г Л 7 jc o s (\,,y)ofs = О • |
|
||
Аналогично доказывается второе равенство (2.23). Таким.об |
|||
разом, условие равенства нулю главного |
вектора |
сил, действующих |
|
на торец стермия, выполняется. Подставив далее |
выражения (2.18) |
||
в формулу (2.1) |
и применяя формулу Грина,'получим |
||
GГ j <р [к COS (v. х) +УСО5(Уу)]als + |
|||
|
|
|
+2G? fjr<pcls* |
<2.26) |
||
|
|
|
|
s |
|
|
Входящий |
сюда контурный интеграл можно представить в виде |
|||||
|
<р (хсо$( Из |
усоз(v,(/)]ols -f<p(xdy-ydx) = |
||||
~ |
|
|
|
|
м |
|
-- |
X0 / |
(xdy-</dx)+j£JJ(xdy-</dx) / • * |
• / |
|||
|
|
|
.... |
^ |
.. |
(2.27) |
|
|
^ ' W |
( ха!У-У‘/х)= <?(ЛоЯ0 - |
|
||
|
|
l n |
|
|
|
|
|
|
- K , 9 , ----- - - K „ 9 „ h |
|
|||
где |
QL - площади, |
ограниченные контурами 1>г |
(i=0,1,... п ), |
|||
из которых Ь0 - внешний, |
а остальные - внутренние. Последнее |
|||||
ясно |
из |
того, что выражение |
|
|
||
( x d y - y d x )
- 22 - есть не ч ю иное, как площадь сектора, ограниченного-дугой
и проведенными к ее.концам из начала координат лучами* При об ходе по замкнутому контуру против часовой стрелки интеграл
равен площади, ограниченной данным замкнутым контуром. Таким образом окончательно имеем
М ‘2ес[к,р,- лгяг * ...*к„я„ -
(2.28)
- К 0? о] * Z G t f f P d S l :
5
Обход по внешнему контуру сечения стержня в интеграле (2.28) должен выполняться против часовой стрелки, а по всем внутренним контурам - по-часовой стрелке, чем и объяснится знаки в (2.27).
В случае односвязной области имеется всего один контур, при чем, как ухе было, показано, соответствующая ему константа может быть принята равной Нулю. Поэтому для односвязной области
M -2GvJJ<PcCQ ■ |
(2.29) |
S |
|
Отношение крутящего момента М к относительному углу закру чивания называют жесткостью стержня на кручение. Как это следует из (2.29), жеоткостьна кручение
4 = -^ = 2Gff<Pd9 |
(2.30) |
s ' |
|
Выше решение задачи о кручении призматического стержня произвольного поперечного сечения было сведено к решению урав нения Луассона (2.10) прй граничном условии (2.19). Можно также показать, что оно может быть сведено к решению задач Неймана или Дирихле для.двухмерного уравнения Лапласа.
§2.2. Результирующие касательные напряжения
взадаче о кручении
Если задачу о кручении свести к решению уравнений Неймана или Дирихле, -то необходимо определить двухмерную гармоническую функ-
- 23 -
цию п о ‘заданным на контуре с^ласти ее |
значениям. Указанная |
||
функция имеет вид. |
|
|
|
(*'*+</*) |
( ва A f ) |
(2.31) |
|
Между гармоническом функцией р |
и вспомогательной функ |
||
цией Ф существует•следующая связь: |
|
|
|
ф*<р- j(x*tt/3}~ |
|
|
(2,32) |
Пользуясь этой формулой, легко выразить |
через функцию ^ все |
||
напряжение, деформации и перемещения, а также жесткость стержня, на кручение, поскольку в предыдущем.параграфе приведены их выра жения через Ф .
Крутящий момент через функцию.кручения Сен-Венана запишет
ся так: |
|
|
|
X Q |
(2>33) |
Второй из этих интегралов может быть преобразован в интег |
||
рал по контуру поперечного сечения стержня: |
|
|
G t j f |
^ < f J d Q - G c jiy [ - ( /c o s (у х ) + |
|
+ x c o s(y > ,i/)]d s= -G ? ^ < f(x d x + c/d (/) - |
(2.34) |
|
Таким образомтокончательно запишем |
|
|
M =G vJp |
+ j G t £ ( x * * ( / 2) ~ d s - |
(2*35) |
Сен-Венан показал, что с увеличением полярного момента инер ции сечения стержня (относительно центра тяжести) dp при сохранении неизменной площади поперечного сечения жесткость на кручение убывает. Следовательно, стержень кругового попе речного сечения обладает наибольшей жесткостью на кручение из воех односвязных стержней, имеющих одинаковые площади сечения
-24 -
иизготовленных из одного изотропного материала. Круговое попе речное сечение наиболее выгодно и в том отношении, что ему, при прочих равных условиях, соответствует минимальное значение наи большего касательного напряжения, возникающего при кручении.
Вектор напряжения на площадках, перпендикулярных оси скру ченного стержня,
,Г^ |
~_сх |
Л L# L</* |
( Lx J ^ ~ Ly$ ~ x~ ): * |
(2.36) |
Длина этого вектора
есть результирующее касательное напряжение. |
|
|
Покажем, что вектор |
в-произвольной точке |
М (х ,у) сечения |
стержня направлен по касательной к линии |
|
|
Ф |
(*..</) ~ c o n s t ) |
(2.38) |
проходящей через данную точку. Действительно вдоль кривой (2.38) имеет место равенство
± < P d x |
в Ф Ы у |
J _ r |
|
9y d s |
c o s ( v ' x ) / |
J x d s |
GC L x* |
|
/ ^taj -cosv (v!y)}~ |
(2.39) |
|
' - o , |
||
где - единичный вектор внешней нормали к линий (2.38) . Семейство замкнутых кривых (2.38) называют траекториями касательных напряжений. Производная от функции напряжения по
нормали к траектории касательного напряжения
( 2 М)
= { 7 & г <,г c o s ( K ' x ) ' |
c n f K '</)] ■ |
- 25 - На основании этой формулы и формулы (2.39) можем написать
€x ^ = S t ^ r c a s ( v : y ) ;
Суг |
cos(v'x) |
и, следовательно |
|
т.е. результирующее касательное напряжение в точке |
М (х ,у)равно |
|
(с точностью до постоянного множителя) производной |
функции на |
|
пряжения по нормали к траектории касательного напряжения, про |
||
ходящей через точку М . Заметим, что контур поперечного |
сече |
|
ния является также траекторией касательного напряжения, |
посколь |
|
ку. на нем |
^ = const |
. Поэтому все доказанное выше относится и |
к границе |
поперечного |
сечения, |
Рассмотрим теорему о том, что результирующее касательное напряжение, возникающее при кручении-, достигает наибольшего зна чения на боковой поверхности стержия._
В задаче о кручении оба компонента касательного напряжения
?хя , ^ |
- |
суть функции гармонические. Это можно доказать, |
||
если выполнить |
операцию |
) над равенствами (2.13) с учетом |
||
(2.10). Отсюда вытекает, что |
Сх^ и |
достигают наибольших |
||
значений на границе поперечного сечения стержня. Однако из это го еще не следует, что результирующее касательное напряжение
/с^/также достигает наибольшего значения |
на границе. |
|
Для доказательства этого предположим |
обратное: |
дости |
гает максимума внутри контура поперечного сечения стержня в не которой точке М . Выберем затем новую систему прямоугольных ко ординат, направив ее ось X параллельно вектору ^ в А/ , Тогда в этой системе координат точке М будут соответствовать компо ненты напряжения
- 2 6 -
причем Рх# , согласно сделанному предположению, больше своего
наибольшего значения на границе, что не может быть в действи тельности, поскольку компоненты напряжения являются гармоничес- ' кими функциями не только в старой, но и в новой системе коорди нат. Таким образом, сделанное выше предположение неправильно и, следовательно, теорема доказана.
§2.5. Теорема о ци р к у л я ц и и касательного напряжения
в8адаче о кручении
Вектор напряжения на площадках, перпендикулярных оси_скрученно го стержня, обозначен в предыдущем параграфе через Т. . Вычис лим циркуляцию втого вектора вдоль произвольной плоской замкну
той кривой L , проходящей внутри профиля лержня ( ^ = т ) ,
( m l ) . (2.43)
Это выражение, если учесть, что
с* * ‘ -& *■ (#-§?)> c^ " S v (x x a p ) ’
можно переписать так,
Г= G*f(xdt/-t/dx) +
где S - площадь, ограниченная кривой интегрирования. Однако-перемещение и г должно быть, очевидно, функцией,од
нозначной внутри Профиля стержня, ввиду чего
поэтому окончательно
Г - 2 G c s • |
(2.45} |
- 2? -
Равенство (2.45) позволяет сформулировать следующее поло жение: для всего замкнутого профиля (контура),'лежащего в пре делах поперечного сечения стержня и не пересекающего границ его, циркуляция скалывающегоtнапряжения Г равна площади, ограничен ной этим контуром, умноженной на величину 2 G Г.
Теорема эта является необходимым условием однозначности ре зультата нахождения' перемещений 'w по заданному выражению функ ции напряжения Ф . Значение, которое имеет эта теорема для оп ределения функции Ф, всего нагляднее можно видеть из аналогии Прандтля.
Эта теорема справедлива как для односвязных, так и для многосвяэных профилей, и притом независимо от того, охватывает кон тур интегрирования одну или несколько внутренних границ профиля или нет. Последнее обстоятельство может быть использовано для отыскания .оставшихся до сих пор неопределенными констант Л / > входящих в- граничное условие для функции Р (К У ) в случае мйогосвязных областей (стержней).
Циркуляция касательного напряжения может быть выражена че рез функцию напряжения ^ ♦
Если
.cos(>>x)=^- ; cos(y,!/)= --gj ; cos(>!■?)
г |
г ~ д Ф ■ |
д Ф • |
~ ^ дх |
--K-Jfjjr |
cos(^ ] ds |
|
(2.46) |
- Gt<f ^ |
ols Yno z j |
J с?)/ |
|
где Уг- единичный вектор внешней нормали к L
- 2 b -. Сопоставив зду формулу с (2.45), получим
С2. ia)
Здесь в качестве путей интегрирования могут быть, в частности^. взяты внутренние границы профиля. При этом
где Hj - внешняя нормаль к ^ |
; |
|
|
^•- площадь, ограниченная / - |
той внутренней границей. |
||
В случае многосвязного профиля |
Ф есть функция ж, ^ / 7 |
||
констант K j |
. Равенства (2,48) |
необходимы и достаточны для |
|
определения |
эт;ос констант, а вместе |
с тем и полнога определе |
|
ния функции Ф '.
§2.4. Кручение стержня. сечением к о т о р о г о -является круг или круговое кольцо
Пусть сечением скручиваемого стержня является круг или кру говое кольцо, тогда граничное условие (2.17) с учетом равенств^ (2.18,) и (2 ЛУ) мо£ет быть приведено к виду
где
В нашем случае ото граничное условие для гармонической
функции |
принимает вид |
|
|
|
|
- |
О |
( m l ) , |
(2.50) |
|
сЛ7 |
|
|
|
откуда следует, |
что в данном' случае |
|
|
|
|
У7- const |
= |
> |
С^.-'Л) |
«- 29 -
причем без ограничения общности можно положить </о = 0 . Э ю рав носильно предположению/ что перемещение ст|ржня как твердого це
лого з |
направлении оси |
|
отсутствует'. |
|
|||
В соответствии с этим в.рассматриваемом частном случае ос |
|||||||
новные формулы |
§ 1 А , |
§ 2 . 1 |
запишутся так: |
|
|||
|
и = - |
tyx 7 |
|
г/- = |
£хх ; |
г г / |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.52) |
■'‘ ~ / / С * ~ & - У ек з № Я ''В г ^ И - у ? ^ = < ? г . £ , < 2 . 5 3 ) |
|||||||
где |
полярный момент инерции профиля относительно "его |
||||||
|
центра оимыетрии. |
|
|
||||
Таки: образом, жесткость на кручение стержня, сечение ко |
|||||||
торого |
ecsb круг пли круговое кольцо, определяется по формуле |
||||||
|
|
2? =- |
М |
- 7 - |
’ |
(2.») |
|
|
|
|
^°!о |
||||
C'-yniepuoc касательное напряжение в произвольной точке стержня |
|||||||
определяется по выражению |
|
|
' |
||||
где г |
г=/ С 41-&v* |
* ~G тv f-‘i ' + |
y ? '6 v r , |
(2.5.5) |
|||
- -расстояние от оси стержня. - |
|
||||||
Это напряжение действует в направлении касательной к окружг |
|||||||
цоетн радиуса г* и постоянно ва этой ыфужности. |
Т достигает' |
||||||
наибольшего значения у внешней границы области: |
|
||||||
|
|
|
Tm a x ~ G v a . |
(2.56) |
|||
Все эти простые результаты были подучены значительно рань ше уравнений общей теории кручения. В данном случае сечения стержня при кручении остаются Плоскими, что явилось поводом для попытки экстраполяции этого закона на все остальные формы попе речных сечений.
Однако в отличие'от задачи об изгибе, где аналогичная ги потеза дает достаточную точность, в задаче о кручении она прЛ-
- 30 -
водит к значительной погрешности* Депланапия (т.е* выход попе речных сечений стержня цз плоскости) является существенный фак торов в задаче о кручении стержней произвольного профиля, без учета'которого нельзя подчинить решение краевым условиям на боко вой поверхности стержня '(за исключением того частного случая, ко торый рассмотрен выше).
§2.5. Кручение стержня с эллиптическим поперечным сечением
Пусть профиль стержня задан уравнением
и*
Граничное условие для функции &(*>*/)
< Р (х ,у)= 0 |
( |
на М0) |
будет удовлетворено, если функцию |
0 искать в виде |
|
$ ( х ,у ) = а ( § г |
|
|
где А - постоянный коэффициент. |
|
|
Введем (2.38) в уравнение Пуассона |
|
|
"S и i |
|
|
получим равенство |
|
|
A ( i * 4 ? h 4 ’
откуда
|
а *6* |
|
|
где |
|
а ‘Й |
|
7Ж( ) |
* * ( ) |
||
1 Р ” |
д у * |
||
|
(2.57)
(2.58)
(2.59)
.(2.60)
(2.61)