книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

-

172 -

Запишем отображающую

функцию

в виде

частичной суммы ря­

да Лорана [21] :

С

+

С

9

hC- ,+ Co4?-'C^

2

* , * 4 * ) * - ^

■■■+— f

~

” ■■■+<■„* , (5.35)

^n = CLn **^/7

'

Следуя Мелентьеву, Б.Ф.Шилов рассматривает

также

соответ­

ствие не между

х

и

у 1 и

в

, а между и

и

и 9 .

/Е

^

п

(5.36)

% = t i ( ^ ) = ^ - = u * i t > = Y Z C h ^

Разделим в

(5.36) действительные

и мнимые

части

и за­

пишем:

при № ! sf t

(знутр. контур)

^~=А0* YZ(AKcosOk ~3к sin вк),

- 1

К=*

*

К

(5.37;

*

и-п

^

= ^

^

(

В« С0*вк +А_К й п

в к ) <

при

/f/ * I (внешний

контур)

U -А д + Z J

( а ‘к C O S Gk

-dJK s i n

0 k ) ,

(5.38)

/

n

9k),

'V=3 + H2(d_. COS 9k +A{ sin

J

K=1

K

- A

'

4 л

ч— '

/ %

~

=' S

~

(5,41)

VL=

/)

J’i/^-/^ ~ ~ ~ ^ ■

Зная полученные

в нулевом приближении

значения

и

к l/t

определяют коэффициенты

/}. путем

обращения

выражений

(5<ЛО)

'и (5.41). ‘Для внутреннего

и наружного контура соответствуй-

но получают

I

А * 2 т р [ ( ч * ит ) + 2

-un j

А ---- * 2

1

« 1 7

«

W

1

(5.42).

” 2 mjOf

п ]

Ак * - ^ 1 ио +(-<}К“т + 2 . g

% C0S^ T <

n=f

~

Внутренний радиус кольца

в данном

случае

п>-1

U + ц

т -/

(5.44.)

+-? у —< Т7

°

т

“ ТГ?

Un

V

= A3 cos ,К - Э

) i

1

i

'

П

,

•

\

(5o46)

“n = *neosivn-tb h

J

где

А7п

и

z n ,.Qn - значение радиусов-векторов соответствующих

.узловых точек на наружном и внутреннем

контурах

области

и

значение соответствующего

•полярного

угла.

»

Получив

LT

и а

во втором

приближений, итерационный

про­

цесс

повторяют

снова

и так до

тех пор,

пока

не

получится

требуемая

точность

отображения.

Построение отображающих

функций по данной

методике

свя­

зано

s; большими вычислительными

трудностями.

Вести

итерацион­

ный процесс

даже

на уровне

т

= 6

затруднительно.

Кроме-того,

в связи

с введением

в

итерационный

процесс

специального

алгоритма,

связанного

с вычислением, кроме

и ,

U,i7)\

V

,

координат

х, у

и Х ,У

, не

представляется возмож­

ным,

аналогично,

предыдущим

методам,

упростить

вычисления

путем

составления соответствующих

шаблонов.

§ 5.12. Построение отображающих

Фу н к ц и й

при помощи методов А.Г.Угодчикова

-

В 1955 году

А.Г.Угодчиковым

было

предложено

вместо

графичес­

кого нахождения"координат узловых точек

по. методам

П.В.Ыеленть-

ева

и Б.Ф.Шилова

устанавливать

соответствие

указанных

точек

при помощи электромоделирования на интеграторе

типа ЭГДА

[32 ] .

процесса, уменьшить

количество, шагов

итераций,

а

следователь­

но, уменьшить

объем,

вычислений

и существенно

увеличить

точ­

ность

отображения.

Однако

при применении

указанного

способа

к сложным

об­

ластям

с большим градиентом

изменения радиуса-вектора

кон­

тура рассматриваемый

экспериментально-аналитический метод

не

дает требуемой точности отображения.

Исследование

этого

мето­

да применительно к сложным звездчатым двухсвязным

областям

с

большим

перепадом радиуса-вектора

внутреннего контура

проводит­

ся в работе [ 26 ] .

-

17? -

Общ-ш

.чадостатном почти всех рассматриваемых методов яв­

ляется тс, что получающаяся при

помощи

отображающих функций

кривая не совпадает

с кривой контура

даже

в тех узловых точ­

ках, которые

приняты

за исходные.

От

этого

недостатка

свободен метод^ А.ГЛгодчикова,

пред-

логенный им

в 1963

году

и основанный

на применении свойств

интерполяционных' полиномов

Лагранжа [ 2 3 J . В работе

[2 5 ] по­

казано, что достаточно эффективными методами построения

отображающих функций

на сегодня

являются

методы эксперимен-

талъпо-аналнтические,

т.е. такие,

в которых

исходные данные -

координаты

узловых

точек,

устанавливаются

экспериментально

(электромоделированием), а коэффициенты

функции - аналитически.

Преимущество

предложенного

А.Г.Угодчиковым

метода заклю­

чается в том, что’при построении

отображающей функции на нас­

тольных вычислительных клавишных машинах

все вычисления

можно

значительно

упростить

.составлением

соответствующих шаблонов

и матриц [31]

.

Кроме того, метод

позволяет запрограммировать

его

на ЭВМ,

что

очень

важно-

для сложных областей ~и

при

большом

количестве

последних [33] .

Анализируя

точность

отображения,

построенного

при по­

мощи интерполяционных

полиномов

Лагранжа,

для довольно слож­

ных одно- и двухсвязных

областей, можно

сделать

вывод,

что

с помощью

этого метода-

можно

подучать

практически приемле­

мую

точность

для

весьма

и весьма сложных

областей.

Об

отображении

односвязных

областей

Обозначим

черев. ,4 •( J - 0 ,1 .••• >т )

точкж,

равномерно располо-

жепные

на

окружности

-с комплексными

координатами

^

. = е

b9j

,

Qj

~ -— р

j

( J = О,

/, 2 ,

т ^соответствующие

им' точки

границы

L

обозначим

через

Mj

,

а их координаты

2,

= Xj + iy-

(рис. .5Л*).

Построим полином

Лагранжа

2

= ^(^ > ) ♦ совпадающий

со

значением

функции

-г = сб (^ )

В точках

cf. ( j

-с',

в виде

г Ч / < ^ Е : ч . < 4 ’

<*•«>

cos -—

к! ■ У

/ Ы - Т ^ к к

+ <.(У;С0* Мl kj

- к .

,

( к =

1, 2 , 5 , - - - > т ) .

(5.ад)

Тен самый ренается задача о построении

конформно

отображаю-

це1 функции в виде

полинома

% -

соп ( ^ ^

который

в

заданных

точках-узлах

совпадает

со значением функ­

ции Z =

осумествлшщей

точное

конформное

отображение.

Исходные данные - координаты

= х ■+су- точек

М: э -опреде­

ляются

элбктроиоделированиеы.

«

<t

/

Если область имеет ^

осей

симметрии,

то одну

из них

обычно

совмецают

с осью х

и достаточно

бывает

установить

-

179 -

■ г

I

л е з ь соответствие точек границы круга

(сектора 0 ^ 9 ^ .

J

и границы Z

области

S , за'ключенвой

между осью

х

и ближай­

шей

осью

симметрии.

Аналогично

.обозначим точки

границы

круга

с комплекс­

ными

координатами^

, .

.

через

A j

• Соответствующие

им точки

Mjf границы L

с комплекс­

ными /координатами

Z-j, =

* jf

установим

электромодедиро-

занивм.

При

этом интерполяционный

полином,

точно

совпадающий со

значением

отображающей

функции в 2 от

.точках границы Z

,

будет

иметь

вид

*

2тг-(

1*чк

к - < ъ ( < ) = п : ь

(5.49)

пК

'

У' ~П

■1+у.к^

где коэффициенты.С

кг °

вычисляютсяAO'inVAAiawn

V

с помощьюUUMUUL&V выраженийJ

1 Г*1

jь±

+ 2

T Z f a

C O S --—— le i

+ u.

Mr? —

k

f

) ,(5.50)

■,

( Ji

-ym (

h

)

'4

здесь

k

= 0 ,

/■+$-,

f + 2 %.,

-

функции (5.47)* и (5,48)

отображают

единичный круг на об­

ласть

5 '

с

границей

L '. Уравнение

этой

кривой имеет вид

Z = i* n ( ^ y o > J e e ) =

l t l

Ск е ‘Гв

(5,51)

Кривая. L '

будет

иметь

с заданной

границей L

2 с^т1об­

щих точек

в

интервале ( О + 2 Х

)

или ^

точек

в интервале

[О -

~

]. Поэтому

для оценки

точности

полученного резуль­

тата

следует

построить

ряд промежуточных

точек

границы

L

и по отклонениям

их от

заданной . границы

судить

о

степени

точности

полученного

реэультата.