книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Ibl - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
область |
имеет |
ц |
|
осей |
симметрии, |
то |
дополнительный |
|||||||||||
полином |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)= |
..... |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.54; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и совпадает |
с функцией |
|
£ |
- |
|
) |
в узлах нвтерполяции |
|||||||||||||
|
|
|
cy . «'*<’< v ' |
|
|
|
|
|
|
.... >пг ' 1 ' |
|
|
|
|||||||
Коэффициенты |
его |
С |
t - |
Сдк t/ |
определяются следующим образом: |
|||||||||||||||
|
|
|
л |
-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
’ |
J,-~o |
\х; * с о з ~Ч ^ — |
к + у ,- * ы п |
2 4 rni- |
^ |
' » |
||||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
J * |
|
|
|
J |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
К= t. Q + 1, 2q +f, ... / |
(2m r |
/)y + 1. |
(5 - 55) • |
||||||||||
Для увеличения точности |
|
отображения снова |
строят итера |
|||||||||||||||||
ционный |
процесс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Общий |
порядок построения конформно |
|
отображающей функции |
|||||||||||||||||
следующий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Экспериментально .устанавливают |
|
координаты |
г = х- +Ly- |
||||||||||||||||
и принимают |
их |
за нулевое |
приближение, |
обозначая |
i |
|
* ' * |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(о) |
|
(О) |
, |
(О) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
|
mxi |
|
|
|
|
|
|
Ск |
|
|||
2. |
По формулам |
для |
^ в ы ч ис ля ют |
коэффициенты |
отоб |
|||||||||||||||
ражающей |
функции |
в нулевом |
|
приближении. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
Пользуясь этим |
отображающим полиномом, |
вычисляют ко |
|||||||||||||||||
ординаты |
промежуточных |
|
точек Mi* ° |
|
• |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Z:* =апе '' |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
( • lie /,* |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
60 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти координаты дают |
значения |
промежуточных точек, |
которые, |
|||||||||||||||||
за исключением |
случайного |
совпадения, |
|
не укладываются |
на |
|||||||||||||||
контур |
/ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(о) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 . Внеконтурные |
точки |
|
M j* |
сносят на |
контур |
по |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормали " (по наиболее надежному |
способу |
сноса) |
и подученные |
|||||||||||||||||
точки |
с координатами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- 182 -
Со) |
го ) |
|
(О ) |
|
Z. |
= Х . |
■ |
|
|
|
|
|||
г |
г |
|
|
|
принимав! 8а исходные для подсчета |
коэффициента |
в пер |
||
вой приближении и’т.д. до тех пор, |
пока отклонение |
проыеку- |
||
М |
|
Z |
не будут лежать |
в допус |
точных точек М * от контура |
||||
ка. |
|
|
|
|
тпшх пределах.
Рассмотрим пример преобразования круга на область, |
ограни |
|||||||||||||
ченную |
нлжипсом |
(рмс. 5.15). |
Область симметричная, |
^ |
. |
|||||||||
Положив |
т~ *3, |
найдем злежтромоделярованпем |
координаты |
точек |
||||||||||
ft). (jt= ОД,2 ,3 / границы |
Z |
, |
соответотвуюиие точкам |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
.SC |
|
.St.. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
^9*1 |
=• |
е * 2т*^е |
|
|
|
|
||
границе круга |
/^ |
/ |
« I . |
Координате |
точек запиием в тебящ у . |
|||||||||
При вычислении |
*по |
формуле (5.50) |
необходимо прини |
|||||||||||
мать |
значения |
К » 1 ,3 ,5 ,7 ,9 ,.... |
Значения |
Ск , вычисленные |
||||||||||
указавши! вине |
способом, |
приведет |
тркже |
в таблице. |
|
Здесь |
||||||||
же дани |
точные |
значения. коэффициентов |
СК. _ |
|
|
|||||||||
При отображена |
внвиностя |
какой-либо области на внвинооть |
||||||||||||
круга |
приведение |
впе формулы несколько изменятся [23] |
^од |
|||||||||||
нако |
порядок построена |
итервциоаого процеооа останется |
||||||||||||
прежний.
|
|
|
|
|
|
|
|
- 183 - |
|
|
|
|
||
л |
|
*/Г; М |
\ и :<°> |
I1 к . |
|
|
|
|
|
(/ПОЧН) |
||||
|
1 V / |
|
|
|
|
|
LK г |
|||||||
0 |
|
473 68 |
|
0 |
|
|
I |
|
378,384 |
377,504 |
||||
1 |
|
304,61 |
|
252)93 |
3 |
|
61,877 |
|
61,599 |
|||||
г |
|
139,10 |
|
315,65 |
5 |
|
20,290 |
|
19,802 |
|||||
3 |
|
0 |
|
|
330,2 |
|
7 |
|
8,150 |
|
7,908 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
3,323 |
|
3,527 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
1,776 |
|
1,681 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
0,839 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
0,433 |
|
Об отображении двухозязннх областей |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Дуоть |
в плоскости |
z= x+iy расположена |
двухсвязная огранк-> |
|||||||||||
ченная область S с внешней |
L0 ■ |
внутренней £1 границами. |
||||||||||||
Кривые L0 и L1 будеи |
очмтать |
проотши, |
гладкти или кусоч- |
|||||||||||
ао-гдедкими. |
Начало "координат. плоскости Я- выберем |
внутри |
||||||||||||
1С и Lf (рио. 5.16). |
|
|
|
|
|
|
S |
с вноиней 1а |
||||||
|
Иввеотво, |
что лвбая |
двухсвяввая |
область |
||||||||||
и внутренней L1границей |
мовет быть конформно |
преобразована |
||||||||||||
аа кольцо jo «с / -^ / ^ / |
о определенным |
соотношением ради |
||||||||||||
у с о в ^ : / ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Белы нормировать |
отображение |
так, |
чтобы |
выбранной точ |
|||||||||
ке Ат на границе |
/*<f/ |
* I кольца |
Jf ^ |
/$1 соответство |
||||||||||
вала |
|
определенна^ |
точка |
Мт на граница |
/,а , |
то |
функции |
|||||||
.£ - |
aJ(•% ), |
|
осуществившая |
вто |
отображение, |
будет |
опре |
|||||||
делена |
единственным обрами |
■ ее можно |
записать |
так: |
||||||||||
|
|
|
|
Z = |
|
/С--оо |
|
|
■ |
|
|
(5,56) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Положим, что соответствие |
точек граннц / 0 иL1облаоти |
||||||||||||
ц границ ^ |
ш |
кольца |
известно |
в т |
точках ( 2 # |
делится |
||||||||
н& т равных |
частей). |
Тогда |
можно |
достроить |
интерполяцион |
|||||||||
ный |
поляной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 164 -
K s m - t
Z ‘ o S .( < ) = |
(5.57) |
совпадагцжй в m точках
|
<5>=^j =e |
' |
(j = f, ..., |
m), |
||
границы J^f s i и m |
точках |
|
|
|
||
|
|
|
^ |
( j = < , |
|
|
гранты |
№ != J°< |
co |
значением |
функции |
||
|
|
|
roe |
ej = |
~ |
J |
Обозначим значение |
|
функции %=сС(^)ъ точках границы |
||||
LQ черва |
|
|
|
|
|
N |
а в точках |
границы |
- |
черев |
|
|
|
|
|
* |
* |
. * |
|
|
|
*/ |
= xj |
+%■ |
|
|
|
Тогда, иопоньауя оцойства интерполяционных полиномов Лагран жа, формулу (5.57) можем переписать
- 185 -
где _коэффициенты по формулам
|
|
<5-58) |
С |
[к=-т |
-tn< тJ rttTTW„ |
* |
( ^ ■> ■■•'-■', <-'.1, ■■-,/п-fjопределяются |
|
с ~ щ |
г г |
j f К у * ? ^ j stn j r |
ki - |
h |
a ,s -'n |
fy'4, SinY r 4 V ifly -M |
|r-k j - |
■/■su’^ |
h |
f |
|
|
|
v ; £-■4 j]}; |
|||
|
|
|
( * |
= 0 ,1 ,2 , ... , |
' w - l ) i |
|
(5.59) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c-*‘ ^ |
f ) |
p |
|'/ ( * jcos % ~ kJ -у |
sin ¥ o |
h |
||||
у ( y |
os у |
ч |
- у |
о ,Уг. ч |
У 1 [jflk -cos~%rkY |
||||
■■ *jsin УгчУяУу03УгЧ *y in^-.L■• |
|
||||||||
|
|
|
|
( k = |
1,2, ... , m ) . |
|
|
|
|
Внутренний |
радиус |
кольцаjo |
находится |
по известным коор- |
|||||
динатам х-. и |
у * |
ц*о помоцью формулы Б.Ф.Шилова |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
* |
2Х |
■ * . |
2Z Л |
Л* . r - 4 - L ------ |
J ^ |
f y n |
— |
t+ U j |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
f t |
- |
^ |
-iOt. |
|
|
|
|
2 Z _ jj (5.60) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J--< |
J |
1=1 (Y |
|
i - l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
186 - |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
наиболее часто встречающийся случай отобрала- - |
|||||||||||||
н и кругового |
кольца |
j> ^ /-47<s- / |
на область S, имеющую £ |
|||||||||||||
осей симметрии. Одну |
на |
осей |
будем |
считать совмещенной с |
||||||||||||
осью |
х |
, а начало |
координат - с точкой пересечения |
осей |
||||||||||||
симметрии. |
Положи, |
что |
соответствие |
граничных |
точек коль- |
|||||||||||
ца j> ^ |
щ /« '/ я области S |
в секторе |
с |
у ГОЛОМ |
Os> |
|||||||||||
известно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Обозначи |
комплексные |
координаты |
узлов |
интарподяцш |
|||||||||||
на наружном |
контуре кольца через |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- х- |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
я е |
|
|
|
’ |
( * т0- |
>т, ) ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а на |
внутреннем |
контуре |
кольца - через |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
*■ |
|
: |
Jt-- / |
,. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 ат1d* |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
О ,’ **-- |
|
|
|
||
|
Комплексные |
координаты |
соответствующих |
точек |
границы |
|||||||||||
Z G |
обозначи |
через |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а границы / |
W |
|
, * |
4 |
> |
|
|
|
|
' |
т' ) ’ |
|
||||
- через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
* /г=х/ У % |
> |
0 , |
|
|
,m t ). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
■Тогда искомая -отображающая |
функция no Е.А'.Кодчановой |
|||||||||||||||
[ » ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гт,‘!-/ |
к |
_л |
||
|
|
■г*ап ( < ; ) = Т 1 |
|
CKJ Y +t— |
10., |
|
|
■<5.61) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
<=/ |
|
|
|
к*}-/ |
|
|
|
||
|
Внутренний |
|
радиус |
кольца |
|
|
|
|
|
|
||||||
'187 •
щ * £ Х Е Г Сх , С ' * У“ Ц“ ( 5 *6 Ц ■ * « ' - . « * » -
2ы > - / н fe°
|
|
|
|
Ы , у + / , 2 у + / , . . . , |
(2mr !)f<-/-, |
|
||||||||
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ev/ |
(5.63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-к 2,7$, № |
* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
rrif-f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хЛк/соф Л |
|
Мл^Ш]+[/*>к*Л) |
|||||||||||
*2r~l— ,(x- cos~-г ki -у* sin |
№ |
jcj)} \ ; |
|
|||||||||||
|
j=f |
.л |
9Л |
*< |
V/ |
|
|
г,/!] |
|
|||||
|
|
|
|
^ = 7 ^/ - 2 f 2 m |
|
f t p- f . |
|
|
||||||
|
Подставляя |
к Скв внракение (5.61), |
получим отображаю |
|||||||||||
щую функцию, |
которая совпадет |
о контуром |
|
отображаемой' |
облас |
|||||||||
ти тодыкГв т}основных уэловых топках. |
Если |
бя при ломот |
||||||||||||
эдектромоделпрования узловые тбчки |
-были |
|
найдены точно, |
то |
||||||||||
-при достаточных |
mf все промежуточные |
точен |
тоже практически- |
|||||||||||
уместились |
бы |
на кривой контура; |
|
Но иэ-за неодинаковой элек |
||||||||||
тропроводности |
бумаги |
и по другим техническим причинам иско |
||||||||||||
нно |
условно |
точки обычно • не |
могут |
бить |
найдены точно. |
|||||||||
Поэтому при |
использовании |
этого |
метода |
отроится итерацион |
||||||||||
ный |
вроцесо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо подчеркнуть , что . в различной начертании вы |
||||||||||||||||
ражения отображающей |
функции |
(5.61) |
и выражения, |
приведен |
|||||||||||||
ного в работе |
|
А.Г.Угодчикова [23] , существует |
принципиаль |
||||||||||||||
ное |
отличие. |
|
Дело |
в |
том, |
что, |
если строить |
отображение по |
|||||||||
формуле, |
приведенной |
в работе [23] , то |
для |
сложных областей |
|||||||||||||
конформно-отображающую функцию будет |
невозможно записать. |
||||||||||||||||
Для больших |
|
значений |
К |
коэффициенты |
|
С_к будут вследст |
|||||||||||
вие |
умножения |
их |
на |
yj |
|
|
|
величинами |
.пренебрежимо |
||||||||
малыми |
по |
сравнению |
с единицей , и |
члены |
полинома, |
начиная |
|||||||||||
с некоторых |
|
А' , обратятся |
в нуль, |
в |
то время |
как |
в |
выра |
|||||||||
жении (5.61) |
произведение |
C_K[fik будет |
|
величиной, |
'отличной |
||||||||||||
от |
нуля, если |
коэффициент |
' ‘С к |
не |
.будет |
равен |
пуло. |
||||||||||
|
Дальнейшее |
уточнение |
коэффициентов |
отображающей функ |
|||||||||||||
ции- |
проводят |
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I. Подстановкой в функцию |
(5.61), |
найденную |
в |
нулевой |
||||||||||||
приближении, |
|
соответствующих |
углов |
& * |
находят координа |
||||||||||||
ты |
промежуточных |
точек |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|||||
где
^----- , (О)IU) |
|
---- 1 С - "9 |
(5.65) |
(5-< |
Полином (5.65) должен совпасть с контуром отображаемой области в промежуточных узлах интерполяции
|
|
- 169 - |
|
|
|
|
|
|
■£; -* =е |
се* ■ |
* |
* |
|
|
|
|
” |
|
|
|
|
|
|
3. |
Определяют |
коэффициенты |
С * , С |
t |
|
|
|
диус р- по формулам: |
|
|
|
|
|
||
- - |
- ' - |
~ ~ к • LOS |
t U. , S in ---- |
|
|||
|
|
■ |
2qrnf |
Ji |
Ч |
т, |
- I - |
|
|
|
|
|
|
||
|
- i f , |
. x ( ij ,< ? } |
. |
* ( z j , + i ) |
J f |
|
|
|
. Л |
Ц !П, |
*' |
2i m, |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
(5.66) |
|
|
В работе А.Г.Угодчикова [25] показано, |
что |
дальнейшее |
|||
построение |
отображения |
ведется |
так же, как |
и для односвяв- |
||
ных |
областей, т.е. теперь при |
помощи (5.65) |
находят коорди |
|||
наты |
основных узловых |
точек, |
по ник строят основной полином |
|||
в первом |
приближении |
и т.д. до |
тех. пор, |
пока'отклонения |
||
|
|
|
- |
190 - |
|
|
|
|
промежуточных точек |
от контуров |
a L 1 не будут делать в |
||||||
допустимых пределах. |
|
|
|
|
|
|
||
Однако опыт построения конформно |
отображающих функций |
|||||||
для двухсвязных областей |
сложной |
геометрии |
показал, |
чт о' |
||||
можно |
не строить итерационный |
процесс |
полностью. Тогда даль |
|||||
нейшее |
вычисление |
Ск и |
Ск ведут |
следующим |
образом' |
[ 33 ] : |
||
4.Берут, среднеарифметическое коэффициентов полиномов
(5.61) |
и |
(5.65): |
|
|
|
|
к |
(о} |
* j o ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
'•>С |
•+ р |
С |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
J |
° Cu |
|
= |
' ’ |
~ |
2 ' |
|
— |
|
|
|
(5-69) |
|
кривая, |
которая описывается полиномом |
(5.61), пройдет |
|||||||||||||||
через |
все |
основные |
узловые |
точки |
ж |
будет несимметрична от |
|||||||||||
носительно |
5 С и L1 ; |
кривая, |
описываемая выражением |
(5.65), |
|||||||||||||
пройдет через все промежуточные узловые .точки |
тоже несиммет |
||||||||||||||||
рично |
относительно |
L0 |
и |
L f |
• |
|
|
|
|
|
|
||||||
Если теперь |
при поыощн коэффициентов, |
подученных |
из (5*59), |
||||||||||||||
построим |
|
новую кривую, |
она |
не пройдет |
ни через |
основные, ни |
|||||||||||
через |
промежуточные |
точка. Но |
эта |
кривая |
будет |
симметричной |
|||||||||||
относительно |
контуров |
L 0 |
н L i в отклонения ее |
|
от указанных |
||||||||||||
контуров |
|
будут |
симметричными. |
|
|
|
|
|
|
С±<с |
|||||||
5. |
"Спрямляют" |
|
кривую, |
построенную |
при |
помощи |
|||||||||||
(5.69), применяя при этом "весовые множители затухания* К.Лан-
цоша jz8] , |
sin |
к |
Л |
|
|
|
|
|
2 q m f |
|
|
|
|||
<Ь |
~— |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(5,70) |
||
|
|
|
2 <£/■ |
|
|
|
|
Приведем видотображающей |
функции, |
построенной по при-, |
|||||
веденной выше иетодикв, |
для сложной |
везввздчатой |
двухсвязной |
||||
области (рис. 5.17). |
|
|
|
|
|
|
|
Z =-39r 5 S S jъ -ц |
+ 5 ,2 |
9 ^ / ^ |
3- |
/5 3 |
р щ |
+ |
|
'”- 2 |
, 0 5 |
9 |
/ / + |
/,If. 9 |
5 j d |
~ |
'9~— |
|
0 , в 5 з / / - 0 , 6 1 9 / 4 * + |
||||||