книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

- 82 -

<h

Подставив это в (3.88), найдем

(№)<**<&--ffe*'<&<&•

Если применим аналогичное пре­ образование ко второму члену правой части (3.87),то получим тот хе результат, поэтому (3.87 можно записать так:

щая действительному распределению напряжений при кручении, со­ ответствовала минимуму интеграла, стоящего в фигурных скобках.

- 83 -

при условии на контуре Ф -'О , Это можно показать. Действитель­ но, выполнив варьирование в (3.89), получим

Применяя интегрирование по частям и взаимно меняя порядок варьирования и дифференцирования, будем иметь

ffi,

Аналогично получим

j / i

Подставим это выражение в (3.91) и вынесем за скобку сРф', будем иметь

Но вариация ^^произвольна, значит интеграл левой части этого равенства может обратиться в нуль только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю во всех точках области интегрирования, т.е. во всех точках поперечного сече­ ния. Значит, для всех точек сечения

найти в крайне редких случаях; между тем вариационное уравненш (3.89) дает возможность найти для случая односвязного сечения приближенное реиение с достаточной точностью.^

Действительно, пусть контур поперечного сечения выраяает-

- Поскольку оечение предполагается односвязным, то функция f~(x.y) не должна обращаться в нуль внутри сечения. Зададим функцию напряжений в виде

функции.

Функция ф ' при этом удовлетворяет граничному условию задачи, так как обращается в нуль на контуре сечения. Вариа­

найдем, что интеграл левой части его выразится в виде квадра­ тичной функции, *.е. многочлена второй степени относительно постоянных С'с :

Ф (Cff ^ 2 Г 'Ф> С п )~ А н С, ^^22С г * • '•

Jafer +/>аг сг + Л -- (3,94

Для приближенного решения задачи следует найти минимум этой функции,.т.е. приравнять нулю, частные производные ее по

При втом получим алгебраическую систему ли­

Л.С.Лейбенэон, пользуясь этим методом, дал решение ряда задач о кручении стержней с различными поперечными сечениями.

Отметим, что основные формулы Сен-Венана можно получить

-85 -

ииз вариационного уравнения Лагранжа*- В этом случав возможные упругие Неренете нжл обуславливаются исключительно вариацией $& (*/{/} Функции .кручения Сер.-Венана, которая совериенно про­ извольна н не подчинена никаким условиям* Напряжения сдвига выражаются черас эту функцию:

Прачек o < f(X ,y ) совершенно произвольна внутри контура по­ перечного сечении и па самом контуре. Учитывая значения переме­ щений, имеем

Выполняя соответствующе преобразования вариационного'уравнения Лагранжа, получают основные формулы Сен-Венана:

Необходимо заметить, что приближенное рощенже, основанное на применений вариационного уравнения Лагранжа, будет давать верхнюю оценку для величины крутящего момента.

§3.9. Приложение вариационного уравнения Лагранжа

>СжКаотндьяио) к проблема Сен-Венана об изгибе консольного бруса

Возможные упругие перемещения обусдавливаются здесь исключительно вариациями функции кручения у я функции изгиба ус , которые произвольны и на подчинены никаким условиям. Поэтому из <3.49) имеем

du-- О, <dir=o, Jw - tSg>--6 dd> (3.97)

причем вариации */*^ и djC совершенно произвольны как внутри кон­ тура поперечного оечения, так к на саном контура. Ооскоиьщу по­ верхность призматического бруса свободна от вненних поверхност­ ных сил, то при вычислении элементарной работы внешни оил мы

- 86 -

правтаем во вникание только вневние поверхностные силы, прило­ женные к обоим концевым сечениям бруса (объемных с м нет). На свободном -конце бруса действуют только касательные напряхения

• К0*°Рыв эквивалентны силе Р , параллельной оси <^r =0» условия на поверх

подставим аначееля напряжений иэ (3.21), то получим.

- 89 •

Поскольку <^V и S j соверионно црощзводьвы BBjxpi 1 на контуре поперечного сечения, to из (3.105) следует

о кручении призматического бруоя. Вариационное уравнение Лагран­ жа для изгиба призматического консольного бруса имеет ви^

ствием вариационного уравнения и удовлетворяются автоматически

канию второй функцжи изгшба jcf (х,у) , введенсой Сен-Веванои и удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Для приближенного реиения задачи, об изгибе можно применить также варкацконное уравнение Кастждьяно. В атом случае варируютоа вапрякевжя

<?<$Х = <&у - 4 s s ° ’ (3.109)

b < ie>’ a -iv

где F'(Ку ) - функция жапряхевай С.П.Тиможенко.

Вариацжш d f(x ,y ) выбярфг так, чтобы боковая поверхность бруоа, свободжая от поверлоствнх гневное o il , оставалась овободщой ж вря варжацжж напряхеиного, ооотоянжя. Пожученное урав­ нение нагиба совпадает с уравнением изгиба фвмоиеико.