книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 31 - Подставив (2*59) в (2.30), приходим к следующей формуле,
определяющей жесткость на кручение стержня эллиптического се чения:
Ц . * 2 5 А [ % + |
j r - S |
i ] > |
<г -62> |
|
поскольку |
|
|
|
|
J f x ' c t x c t y n J ^ |
J Z SQ * . |
|
||
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
f f y 2M ( / = Jx |
|
J T a S 3 . |
|
|
|
‘ 4 |
' |
|
|
|
|
|
||
f f d x d y = £ |
=JTQ £> |
|
||
Введя эти значения, а также |
значение А ' согласно |
(2.61) в |
||
(2.62), приходим к окончательному |
выражению |
|
||
|
я а 36 3 |
(2.63) |
||
|
a |
* s |
6 * |
|
|
|
|||
Зта формула была получена Сен-Венаном. Подставив функцию ^ ( х , у ) (2,59) в уравнения напряжений (2.18), будем иметь для касательных напряжений
сх* = 2бМ-р ; = - 2GcAр г * (2.64)
Отсюда для суммарного касательного напряжения получается выра жение
-■26*\А\ |
/ <*•«) |
которое на" границе профиля имеет вид_______ |
|
16л \ =2 в ' с \ А \ ^ / + у г §ъ £ * |
( на ^ J ;(2.66) |
где
.- 32 - Иэ уравнения (2.66) следует, что наибольшее значение
7’=|<£? | соответствует значению у - 6
L,„,=2Gr\A\-l-=2et У 4 г |
< 2 , S ? ) |
||
max |
I ig |
а г т& |
|
Перемещение W |
можно вычислить, |
подставив Ф (*?(/)в ш у у ы |
|
д(/>
дх
УФ_
~дх~
и найдя затем функпию кручения Сен-Венана по ее полному дифферен циалу. После интегрирования получим
а £- 6 |
£ |
(2. 68) |
U f = .---- т—Т г СХУ ' |
||
а г+ 6 |
г |
|
Как видно, депланация скрученного эллиптического стерзня отлич на от нуля. Из (2.68) следует, что линии равных значений пере мещения 2 ^ для такого стержня - суть гиперболы (рис. 2.2).
Итак, согласно теории кру чения, данной Кулоном в конце ХУШ века, деформация стержня состоит в том; что плоские поперечные сечения стержня, не претерпевая каких-либо искажений,' вращаются относительно друг друга; во всех точках сечения возникают только касательные напряжения
Т * направленные нормально к радиусам-векторам точек. Предполагается, что эти касательные напряжения распределены одинаково во всех сечениях (в том чис
ле и на основаниях цилиндра). Система |
сил, |
действующих в сече- |
н и круглого стержня, сводится к крутящему |
моменту |
|
м у / т п о С Я , |
|
(2.69) |
где о1Я - элементарная |
площадка, |
выделенная |
в |
сечении. |
Точное решение.задачи |
о кручении круглого вала, |
как показано |
||
выше, получено из предположения, что |
сечения вала |
остаются плоски |
||
ми и поворачиваются при скручивании без какого-либо искажения. Эта теория, предложенная Кулоном, позднее была применена
Навье к призматическим стержням некруглого поперечного сечения. Основываясь на упомянутом выше предположении, Навье пришел к ошибочному.выводу, что при данной величине крутящего момента улол скручивания стержней обратно пропорционален центральному'по
лярному моменту инерции поперечного сечения и что наибольшее ка- - нательное напряжение имеет место в точках, наиболее удаленных от центра тякести сечения.
Однако опыты па кручение'с прямоугольным стержнем показыва ют, что поперечные сечения стержня не остаются плоскимй при кру чении и что искажения прямоугольных элементов, которые наносятся на боковые грани прямоугольного стержня, больше всего у середин сторон стержня, т.е. в -точках, ближайших к оси стержня.
Правильное решение задачи о кручении призматически стерж ней парами сил, приложенными к концам, было дзяо Сен-Венаном. ' Он применил так называемый полуобратный метода, вначале он считал некоторые составляющие напряжения равными нулю и доказывал, что остальные составляющие напряжения можно подобрать таким образом, чтобы'удовлетворялись условия равновесия, условия на поверхности и уравнения совместности. Тогда из однозначности решения урав нений упругости он пришел к.заключению, что начальное предполо жение относительно составляющих напряжения правильно, а получен ное решение является точным решением задачи о кручении.
Одна из весьма важных характеристик профиля - жесткость его
по отн^ению |
к кручению, |
под какою принято, как показано выше, |
|||
понимать коэффициент |
пропорциональности в формуле |
||||
|
'M ~ D v c', |
|
|
(2.?0) |
|
где М - скручивающий момент; |
|
|
|
||
t - угол закручивания на |
единицу длины. |
- |
|||
Формулу |
(2.69) можно переписать: |
|
|
||
|
2 G V |
а 26 3 |
'V* |
■§* |
(2.7I) |
|
а 2+62 |
|
а г |
||
s
- 34 -
Здесь интегрирование ведется по всей* площади эллипса» Лег деть, что взятый по площади эринса интеграл
Поэтому в рассматриваемом случае |
|
|
|
|||
|
|
M - G f |
jzra363 |
(2.V-- |
||
|
|
|
а г + 6 г |
|
|
|
|
Из^ формул (2.64) следует, |
что отношение между |
составляем |
|||
ый |
напряжений |
пропорционально у |
■х |
и, следовательно, оно ос*ае!:-~ |
||
сй |
постоянным |
по длине радиуса, |
йаприывр, радиуса <34 (рис. |
2 ,3 ;, |
||
|
|
|
|
Следовательно, |
реанодейст- |
|
|
|
|
вущая касательных; напряжений по |
|||
|
|
|
любому радиусу <34имеет постони- |
|||
|
|
х нов |
направление, которое очевяд-- |
|||
|
|
но совпадает с направлением пасо |
||||
|
|
тельной к контуру в точке А |
, |
|||
|
|
По вертикальной .осп 0 8 составляю |
||||
|
|
щая |
непряке •• $ v |
рав;:а н;;л;с, |
||
|
|
а равнодвйот^-.ющ ч; чатш^еоиЕ |
||||
|
|
|
* Q * • По ;-OTOvs.:r?.m;3 ось: |
|||
Рис. 2.5
р а в н о д е н с тв и и *.:
пряжение равно VLJ »
Таким образом, расчетными формулами пн. ческих стержней являются:
М - ц ? |
= G |
|
a * + 6 z |
М
^гпсгх ~ W ;
о 36 3
Z L = GJ C
а г +Зг 7
к ь -
(S.7J)
J ta S '
- 35 -
При эти* формула (2.75) цокет быть заменена приближенной зависи мостью
полученной такг-s Сек-Венанон, который заметил, что с довольно хорсяей точностью эта формула применима не только к эллипсу, но и :;о многяы односзязнам профилям. Поэтому формулу (2.77) принимают
.иногда за цраблизениоа выражение для жесткости по отношения к кру ченою для всякого односзязного профиля.
Пз изложенного легко получить известные из сопротивления ма териалов формулы кручения круглого стержня, положив a = S .
2,6. Кручение к р уг лог о вала с выточкой
Рассмотрим функции)
(2.'78)
которая (это. ценно проверить непосредственной подстановкой) удов- * летзоряет уравнению Лапласа, и выясним, какой задаче теории кру чения данная функция соответствует. На границе сечения стержня эта функция должна яодчиняться краевому условию (2.31), поэтому
Выражение (2.79) устанавливает.взаимосвязь между г,< / и,' еле- * Довательно, определяет некоторый вполне определенный контур. Пе- . Рвходя в (2,79) от декартовых к полярным координатам ( х *j> cos y j
J /'J ? sin у |
)5 получаем |
|
(2.80) |
После |
некоторых преобразований имеем: |
(2.81)
- 36 -
откуда следует, что профиль рассматриваемого стержня образуется дугами двух окружностей
J> = T a c o s c f . |
(2.82) |
|||||
Таким образом функция (2.78) решает задачу о кручении |
|
|||||
стержня, имеющего малую выкружку |
(рис. |
2 Л ) .‘ Воспользовавшись |
||||
далее формулой (2.3,2) |
|
|
|
|
|
|
ф = |
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
<Р(*,У)= a ( * - e ? g p ) |
+ j - |
j ( x |
■ (2.83) |
|||
|
Теперь |
на основании |
(2.18) |
|||
|
|
можно записать |
|
|
||
|
|
|
2 а 6 гх |
|
|
|
|
Гх^ ' 6 Ч/ Ъ 3^ |
г; г] у ? |
£(2.34) |
|||
|
‘L^^-S'cja-xj |
|
|
|
||
|
|
|
(х 2 |
|
|
|
Последование данных выражений (их удобнее представить |
также |
|||||
л полярных координатах) показывает, что суммарное касательное |
||||||
гапряжение достигает наибольшего |
значения в |
точке А |
(см. |
|
||
рис. 2.4), которой соответствуют |
координаты |
х = 6 , у = 0 |
, |
|
||
При этом |
|
|
|
|
|
|
Х пах = /^ ? / = 2 G t a |
) * |
(2.85) |
- 37 -
Сопоставив этот результат о (2.56), видим, что наличие на стерж не кругового поперечного сечения налой круговой веточки ( б « О . ) приводит к удвоению максимального касательного напряжения, воз никающего приНвучеда^;; й*йДола£йЛ TfnMTiMIIIИМИГПГТШ— 1 Д Р ных п других выточек должно учитываться при проверке прочности вала, если даже эти выточки по объему незначительны по сравне нию с валок.
SecTicocTb на кручение у стержня рассмотренного выше профи
ля можно найти, подставив (2.83) в формулу |
|
|||
|
ЛС ~ Т = |
> |
(2.86) |
|
тогда получим |
|
|
|
|
|
3fGJfi[f-0(g)] > |
|
(2-87) |
|
где |
Jp |
- полярный момент инерции |
круга радиуса а |
(отно- |
|
|
сительно его центра тянести); |
|
|
|
@ ('а г) |
- "члены порядка —z • |
|
|
Таким образом, наличие малых выкружек сильно влияет на зна чение максимального напряжения и мало - на кесткость при круче нии. Отсюда ясно, что дополнительные напряжения, обусловленные малой выкружкой, носят лекальный характер, концентрируясь в не посредственной к ней близости. По мере удаления от выкружки поде напряжений, как видно из (2.84-), стремится к полю напряжений в стержне кругового поперечного сечений радиуса Q. , т.е.
?х х ■— - е г у ;
?у<г — -есСа-х).
Заметим, что в рассмотренном примере (в отличие от принеров двух предыдущих параграфов) начало системы координат не
.совпадало с центром тяжести торцевого сечения и даже было рас положено вне профиля стержня. В задаче о кручении указанное допустимо, в чем можно убедиться, проследив радсуждения в § 2.1 и 2.2., В них использовалось только предположение, что ось.? параллельна оси стержня, и не было необходимости в том, чтобы
- 38 -
начало координат находилось б центре тяжести площади торца (по скольку нигде не требовалось равенство нулю статических моментов площади относительно координатных осей). Это позволяет при реше т а здвазд &опи$.ярудевая выбирать как направления оаей.х,*/,- тгвги‘положение иач&аа координат, сообразуясь с удобствами вы-*4 кладок, что а было использовано г настоящей параграфе«
На основании проведенных исследований Сен-Венан пришел к некоторый общин, важный для практических приложений заключениям. Он показал, что в случае односвязннх контуров при одной и той хе площади поперечного сечения жесткость на кручение увеличи
вается, если полярный момент инерции сечения уменьшается (2.77). Таким образом, из валов с одинаковым количеством затраченного на них материала круглый вал дает наибольшую жёсткость на кручение.
К подобным же заключениям можно прийти и относительно наи большего значения касательных напряжений. п >и данной величине скручивающего момента я данной площади поперечного сечения мак— симальные напряжения будут наименьшими для сечения с наименьшим полярным моментом инерции. -
Сравнивая различные поперечные сечения с односвязньши кон турани, Сея-Венан навел, что. жесткость при кручении можно опре делить приближенно по формуле (2.77), т.е. заменяя данный вал валом .эллиптического поперечного сечения (эти валы имеют одина ковые площади сечения и полярные моменты Инерции).
Наибольшие напряжения во всех случаях, рассмотренных СенВенаном, были получены им на контуре в точках, ближе всего наг* годящихся от центра тяжести сечения.;
§'2.7. Кручение стержня прямоугольного сечения
Чтобы найтя ревете задачи о кручении стержня, поперечное сече ние которого показано на рис. 2.5, представим правую часть урав нения Пуассона
-2; [г'О* |
з*() |
£а*(П 1 |
дх2 |
Jy |
|
в виде ряда Фурье (в интервале - ~ |
" |
S . ) |
2 |
2 ' ' |
- 39 -
При этой будем иметь |
|
|
|
где |
|
|
|
Подставим (2.88) в уравнение |
ъ |
■к |
|
Пуассона и будем искать решение |
|||
данного уравнения в виде ряде |
|
|
|
Ф (х,</)=2 <P„((/)cos^ n x ' |
(2.89) |
|
|
п-0 |
|
Рис. |
2.5 |
|
|
||
Некоторое представление о виде |
функции |
Ф ^удовлетворяющей |
|
указанным выше условиям, дает нам аналогия Правдтля. Поскольку провисание равномерно натянутой на прямоугольник мембраны (и равномерно нагруженной) должно быть оимметрично относительно обеих осей этого прямоугольника, то функция Ф должна быть чет
ной как относительно |
х |
, так и относительно у |
• В выражении |
|||
(2.В9) положено, что Ф |
является четной относительно X . |
|||||
Нетрудно заметить, |
что пропустив в (2.89) |
члены с. четны |
||||
ми А , не нарушим общности решения, |
так как в ряд вида |
|||||
Ф (х, у ) = £ а * co s |
Л х х |
|
||||
а |
|
|
||||
|
|
А |
|
_ |
а. |
|
|
|
аи. |
до |
|||
можно разложить в пределах от х = |
х - ж |
— — всякую |
||||
четную функцию от X |
, удовлетворяющую условиям.Дирихле. |
|||||
для коэффициентов |
этого ряда |
|
( у ) |
получаются дифферен |
||
циальные уразнения |
|
|
|
|
|
|
Отсюда
(2.91)
|
|
|
|
|
- а д |
- |
|
|
|
Ряд (2.89) удовлетворяет граничному |
условию Ф ~ 0 |
при " = - ?"• |
|||||||
Чтобы об удовлетворял граничному условию и при у |
- 1 £ |
v не |
|||||||
обходимо и достаточно выполнение условия |
Фп (~ § |
) ~ |
Под-- |
||||||
чиняя (2.91) атому требованию, получим |
|
|
|
||||||
|
* |
|
\ |
. . ± ± - М 1 . |
! |
|
|
||
|
°п~и > |
|
я |
я* 2п +1 С |
|
|
|||
Таким образом, функция кручения для стержня прямоугольно |
|||||||||
го поперечного сечения имеет вид |
|
|
|
|
|||||
^ |
, |
с/ |
тгf? |
'■f ~ |
1(-~/)Г‘'/° [* |
7 |
|
|
|
|
|
■ Я * - 1' ' |
|
|
'созЛ „х = |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8а |
^ |
f-r) |
ЧШ |
(2*92) |
||||
|
. |
|
|
|
|
||||
|
Л ' |
У |
; |
- г<созлп |
|
|
|
||
|
п=0 |
(Zr7 * / / |
|
|
|
|
|
||
что можно установить как разложением правой части в ряд Фурье, так и двукратным интегрированием равенства (2.88). С учетом этого и замечая, что в интервале
|
S o2 У |
f ~ 0 ° |
, |
Q Z |
г |
(2.93) |
|
|
—г |
У |
--------ттСОзЛх^-— X > |
||||
|
Я 3 |
h o |
(2 n + t)3 |
п |
4 |
|
|
можно написать * |
|
|
|
|
|
||
УУ |
4 |
|
? s h o - tУСe n + t f ch A n & cosJ-* |
' |
|||
Входящий 2 |
(2.94) весконечаый ряд (прй|у|4 |
) сходится |
|||||
и притом весьма быстро. Он допускает двукраткое дифференциро вание. Теперь, имея функцию напряжений Ф(х,у)уможно сразу написать формулы для касательных напряжений:
Sa |
(~Г)Пз к Л пу |
^-СО ЗЛ „х,\ъ (2.95)