книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости

- 5 1 - Следовательна, объем, заключающийся между деформированной

поверхностью мембраны I и плоскостью ее опорного контура, приб­ лиженно равен сумме аналогичных объемов трех прямоугольных мем­ бран (и притом будет несколько больше этой суммы). Если вспом­ нить теперь формулу (2.107), то на языке терминов теории круче­ ния полученный результат означает, что-жесткость на кручение стержня двутаврового профиля должна быть приближенно равна сум­ ме жесткостей на кручепие его полок и стенки, рассматриваемых по отдельности* Ко контуры полок и стенок - длинные прямоуголь­ ники, и к ним применима формула (2.102).

Поэтому

( i *1*2).

Данный результат может быть распространен путем аналогич­ ных рассуждений на любой односвязный стержень, составленный из прямоугольных полос, Жесткость на кручение такого стержня выра­ жается следующей приближенной формулой:

Напряжения, возникающие в стержнях такого рода, за исклю­ чением районов сопряжения полос друг о*другом, будут близки к напряжениям в соответствующих точках полос, рассматриваемых независимо одна от друтой (при одной щ той же степени круче­ ния *Г). Это прямо следует из мембранной аналогии.

Однако в районах сопряжения полос друг с другом возника­ ют дополнительные касательные напряжения концентрационного ха­ рактера, которые не влияют существенно на величину жесткости на кручение ввиду малости тех областей, в которых они действуют

по сравнению со всей площадью профиля. Определение величины кон­ центрации напряжений выходит за рамки тех простых рассуждений, которые были применены выше, и требует специального исследова­ ния.

Из форыулы (2.И З ) следует, что тонкостенные стержни одноовязногб (открытого) профиля, составленные из прямоугольных по­

- 52 -

лос, столь хе невыгодны при кручении, как и длинная прямоуголь­ ная полоса, поскольку их жесткость' значительно уступает жест­ кости стержня с круговым поперечным сечением той не площади* Но это заключение нельзя рассматривать как окончательное» Оказыва­ ется тонкостенные стержни открытого профиля обладают (по срав­ нению со стержнями иных профилей)' дополнительными ресурсами в отношении сопротивления на кручение» Дело, в том, что максималь­ ный характерный размер торца стержня - высота профиля, в данном случае намногс превосходит наименьший характерный размер .стерж­ ня -гтолщину полок или стенки профиля. Соответственно две стати­ чески эквивалентные нагрузки, приложенные к его торцам, могут ^вызвать существенно разные поля напряжений, причей различив' это не будет носить локальный характер. В частности, если решить для тонноотенного профиля задачу о кручении, предположив (в отличие от постановки этой задачи по Сен-Венану), что депланация на тор­ цах устранена, то жесткость на^вручение получится гораздо боль­ шей, чем по формуле ( 2 . Ш ) . На практике же условия закрепления торцов скручиваемых стержней всегда (в большей или меньшей сте- ,пени) "запрещают" депланацию. Для толстостенных стержней это

несущественно, поскольку здесь действует принцип Сен-Венана. Для тонкостенных же стержней стеснение депланацни (на торцах) оказы­ вает решающее влияние на величину жесткости на кручение» Поэтому для таких стержней большой интерес представляет задача о их :' ■стеснениом" кручении. Репенне этой задачи проведено В»3.Власо­ вым и рассматривается в курсе пластин и оболочек.

§ 2.11» Кручение, д в у у в яаннт тоякоотянинт птяпжняр

Применяя мембранную аналогию к стержням такого вида, мы должны наложить на мембрану, опорный контур которой идентичен внешней границе профиля, абсолютно жесткий плоский диск, имеющий форму внутренней границы профиля» Далее, необходимо нагрузить как сво­ бодную от диска поверхность мембраны, так и диск, одинаковым равномерным давлением, обеспечив, кроме Того, свободу перемеще­ нии диска только в направлении, перпендикулярном его плоскости. Деформация такой мембраны будет определяться в основном нагруз­ кой, передаваемой на нее со отороны диска. Влиянием нагрузки, действующей на мембрану непосредственно, иожпо пренебречь, по-

'.'(2.П5)

т.е. величина результирующего касательного напряжения обратно пропорциональна толщине профиля. Значение /<1 определяется из равенства (2.48), которое в данном случае принимает вид

где под 5 можно подразумевать как площадь, ограниченную внеш­ ним контуром профиля, так и площадь, ограниченную его внутрен­ ним контуром, поскольку погрешность излагаемой теории такая же

как и погрешность приближенного равенства ^ с-/

‘■V

Последнее вытекает из того, что еоли нельзя пользоваться этим равенством, то согласно (2,.48) нельзя считать, что и ре­ зультирующее касательное напряжение в соответствующих точках внешней и внутренней границы профиля одинаково.

Из (2.116)

2 s

(2.II7)

« ' - - - . - г г ’

Хл в )

Остается вычислить жесткость на кручение. Воспользовавшись для 3101*0 выражениям*' (2.28) и (2.114), получаем

Подставив оюда найденное выие значение Л7 , приходим к следующей'Окончательной формуле для жесткости на кручение тру­ бы дрошольного поперечного сечения с произвольным законом ■вменения толщины профиля - формуле Бредта:

- 55 -

4 6 s *■

(2.120)

: f A .

Изложенная выше теория может быть перенесена и на тонко­ стенные стержни сс степенью связности /? '? 2 . На основании мем­ бранной аналогии можно считать, что Ф есть функция, линейно изменяющаяся по толщине профиля. Использовав данное обстоятель­ ство, а также граничные условия для Ф на воех контурах, огра­ ничивающих профиль, модно установить'формулы, аналогичные (2 . Ш), Их будет столько, сколько внутренних границ профиля.

Следует отметить, что изложенная вниз приближенная теория не может учесть закона распределения напряжений в районах резко­ го изменения кривизны профиля.

Проблема стесненного кручения для.тонкостенных отержней, замкнутого профиля хотя и ставится, однако имеет гораздо мень- ■ее значение, чем для тонкостенных стержней открытого профиля. Объясняется зто тем, что стеснение депданации на торцах не при­ водит в данном случае к существенному увеличению Жесткости стерж­ ня при кручеяип. Следовательно, между тонкостенными стержнями

чину, но и одинаковый знак* Яоно, что прж одной и той же вели­ чине макоммальных напряжений и одинаковой площади сечения про­ филя вторая система напряжений будет создавать значительно бель-

- 56 -

шмй крутящий момент, нежели первая. Иожно сказать и обратное, что. при равной площади сечения профиля и одинаковой величине крутящего момента максимальное результирующее напряжение, воз­ никающее в тонкостенном стержне открытого профиля, будет значи­ тельно превосходить таковое в тонкостенном стержне замкнутого профиля.

Следовательно,с точки зрения "свободного” кручения тонко­ стенные стержни замкнутого профиля более выгодны, чем тонкостен­ ные стержни открытого профиля.