книги / Физика
..pdfМатематическое приложение
Интегральные теоремы векторного анализа
Теорема Остроградского – Гаусса:
|
E |
dS divE dV , |
(2.16) |
||||
S |
|
|
|
V |
|
||
divE r lim |
dS E r1 |
|
|||||
S1 |
|
|
– скалярная функция. |
||||
|
|
||||||
0 |
dV |
|
|||||
|
|
|
|
V1 |
|
||
Теорема Стокса: |
|
|
|
|
|||
|
|
||||||
E dl |
rotE ds. |
(2.17) |
|||||
l |
|
|
|
S |
|
||
rotE r lim |
dS E r1 |
|
|||||
|
S1 |
|
|
– векторная функция. |
|||
|
|
|
|
||||
0 |
dV |
|
|||||
|
|
|
|
V1 |
|
Линейный дифференциальный векторный оператор набла-
вектор
x i y j z k .
Градиент скалярного потенциала – вектор
grad x i y j z k.
Дивергенция (расходимость) – «поток из точки» – скаляр
divE E Ex Ey Ez .x y z
131
Ротор (вихрь) вихревая точка – вектор |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
rotE E |
|
|
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
(2.18) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
Ey |
|
|
Ez |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
E |
z |
|
Ey |
|
E |
x |
|
|
E |
z |
|
|
|
|
|
Ey |
|
E |
x |
|
||||
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
y |
z |
|
z |
x |
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||
Дифференциальные операции второго порядка |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
div rot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A A |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot grad 0.
ЛЕКЦИЯ 22.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Электромагнитные волны – это переменное электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве и времени.
Из уравнений Максвелла следует существование электромагнитного поля в виде электромагнитной волны, как решения этих уравнений в вакууме.
Применим операцию ротор к уравнениям для вихрей электрического и магнитного полей в вакууме:
|
rotE |
B |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
rotB |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2E |
|
|
|||||
rot rotE grad divE |
E |
|
|
|
rotB |
|
|
|
|
, |
|
||||||||
t |
c2 |
t2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2B |
. |
||||||
rot rotB grad divB |
|
B |
|
|
|
rotE |
|
|
|||||||||||
t |
c2 |
t2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132
divB |
Поскольку в вакууме нет зарядов |
и токов divE 0, |
|||||||
0, получаем два уравнения для электромагнитной волны: |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
2E |
0, |
|
(2.19) |
|
|
|
E |
|
|
|
|
||
|
|
c2 |
t2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
1 |
2B |
0, |
|
(2.20) |
|
|
|
B |
|
|
|
|||
|
|
c2 |
t2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2E |
E 2Exi |
2Ey j |
2Ez k , |
см. формулу (2.18) приложения.
Решение уравнений (2.19)–(2.20) имеет вид единой поперечной электромагнитной гармонической волны (E,B):
E(r ,t) E0e i( t k r ) E0 r exp i t ik r , B(r ,t) B0e i( t k r ) B0 r exp i t ik r .
Если волна плоская и распространяется, например, в направлении оси X, то уравнения имеют вид:
2Ez 1 2Ez 0,
x2 c2 t2
2By 1 2By 0,
x2 c2 t2
а их решения (рис. 2.37):
Ez (x,t) E0cos( t kx), By (x,t) B0cos( t kx),
133
где – циклическая частота, 2 v 2T ; k – волновое число,
k |
2 |
; |
|
– длина электромагнитной волны, |
cT |
c |
; |
|
|
v |
|||||||
|
|
|
|
|
|
С – скорость света в вакууме.
Рис. 2.37. Плоская электромагнитная волна
В среде скорость электромагнитных волн меньше, чем скорость света в вакууме:
|
c |
. |
|
||
|
|
Энергия электромагнитной волны
Электромагнитная волна имеет объёмную плотность энергии, которую можно записать в виде
w dWm |
|
|
|
|
DE |
|
BH . |
||
m |
dV |
2 |
|
2 |
Вектор Умова – Пойнтинга в вакууме (мгновенная плот-
ность потока энергии)
P E H.
Уравнение непрерывности для объёмной плотности энергии divP wt 0.
134
Вместе с энергией электромагнитного поля переносится
импульс электромагнитного поля, плотность импульса g P D B.
c2
Электромагнитные волны открыл Г. Герц в 1888 г., что подтвердило теорию Максвелла. Свет оказался электромагнитной волной. Оптика соединилась с электромагнетизмом.
Шкала электромагнитных волн состоит из радиоволн
8 порядков, оптический диапазон 7 порядков, рентгеновский диапазон 3 порядка, гамма-диапазон 4 порядка, табл. 2.2.
|
|
Таблица 2.2 |
|
Шкала электромагнитных волн |
|
|
|
|
Волны |
Диапазон (длина волны) |
Источник |
Радиоволны |
Длинные волны (ДВ) 10–1 км, |
Переменные токи |
|
Средниеволны (СВ) 1 км – 100 м |
в проводниках, |
|
Короткие волны (КВ) 100–10 м |
электронные потоки |
|
Ультракороткие (УКВ) 10–1 м |
|
|
Дециметровые 1 3 10 1 м |
|
|
Сантиметровые 3 10 1 3 10 2 м |
|
|
Миллиметровые 3 10 2 3 10 3 м |
|
Инфракрасное |
ИК 3 10 3 8 10 7 м |
Излучение нагретых |
излучение |
|
атомов |
Видимый свет |
ВС 7,2 10 7 3,8 10 7 м |
Излучение внешних элек- |
|
|
тронных оболочек атомов |
Ультрафиолетовые |
УФ 4 10 7 10 9 м |
Излучение атомов, возбуж- |
лучи |
|
денных электронами |
Рентгеновские |
Рентген 10 8 10 11 м |
Атомные процессы, элек- |
лучи |
|
тронные пучки |
Гамма- |
Гамма 10 11 3 10 15 м |
Ядерные процессы, |
излучение |
|
космические процессы |
Излучение электромагнитных волн осуществляется электрическими зарядами, движущимися с ускорением.
Пример 1. В случае гармонических колебаний заряда с циклической частотой и амплитудой мощность излучения пропорциональна 4-й степени частоты
N 0q2 A2 4 sin2 t.
6 c
135
Пример 2. Вибратор (диполь) Герца – короткий провод с одинаково сосредоточенными ёмкостями на концах (металлические шары) и искровым промежутком посередине (рис. 2.38). К проводу подводится переменное напряжение от индуктора I. Ток в вибраторе I I0 sin t – квазистационарный (одинаковый
во всей цепи, так как длина вибратора l много меньше длины волны), длина волны излучения – несколько десятков сантиметров. Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробойного значения, вибратор замыкался искрой. В нем возникали затухающие собственные электрические колебания высокой частоты с узлами тока на концах вибратора. Дроссели D (катушки) задерживали уход токов вибратора в индуктор. Приёмником электромагнитных волн, излучаемых вибратором, служил прямой открытый резонатор. В нём электромагнитная волна возбуждала высокочастотные электрические токи, которые вызывали свечение малой газоразрядной трубки, включённой между половинами резонатора.
Рис. 2.38. Вибратор Герца
Мгновенная мощность дипольного излучения по всем направлениям
N 6 0c pe 2 ,
136
где pe l ddIt , pe – электрический дипольный момент пары за-
рядов, pe qr.
Средняя мощность излучения за период
N 0l2 2 I02.
12 c
Открытие радиосвязи А.С. Поповым в 1895–1899 гг. на длинах волн 1 200м. Радиоволны применяются для передачи
информации без проводов на различные расстояния. Состав радиолинии: передатчик, антенна для излучения радиоволн, среда распространения радиоволн, антенна для приема радиоволн, приёмник.
Математическое приложение
Оператор Лапласа (лапласиан) действует на скалярную функцию Ex x,y,z,t :
2Ex 2Ex 2Ex 2Ex .
x2 y2 z2
Оператор Лапласа действует на векторную функцию
2E E 2Exi 2Ey j 2Ez k.
Уравнение Лапласа
2Ex 2Ex 2Ex 0.x2 y2 z2
137
РАЗДЕЛ 3. ОПТИКА. АТОМНАЯ ФИЗИКА. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА. ФИЗИКА ЧАСТИЦ
ЛЕКЦИЯ 23.ОПТИКА.ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ
Оптика – раздел физики, в котором изучают оптическое излучение (свет), его распространение и взаимодействие света с веществом.
Оптическое излучение – электромагнитные волны с длинами волн от 3 нм до 0,1 мм, частоты 3 1017 3 1011 Гц. Это ультрафиолетовое излучение, видимый свет (0,76 0,38 мкм), инфракрасное излучение (1 ангстрем – 10–10 м).
Спектральный состав видимого света |
o |
Длина волны света, A |
|
|
|
Красный |
7600–6200 |
Оранжевый |
6200–5850 |
Жёлтый |
5850–5750 |
Жёлто-зелёный |
5750–5500 |
Зелёный |
5500–5100 |
Голубой |
5100–4800 |
Синий |
4800–4500 |
Фиолетовый |
4500–3800 |
Фазовая скорость электромагнитных волн в веществе
c .
Вобласти оптических частот 1.
Отражение и преломление света диэлектриками. При па-
дении световой волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков с разными значениями диэлектрической проницаемости волна частично отражается и частично преломляется.
138
Абсолютный показатель преломления среды
|
n |
c |
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
В газах n 1, |
в алмазе n 2,4. |
|
Относительный показатель преломления
n21 n2 .
n1
Закон преломления Снеллиуса: отношение синуса угла па-
дения к синусу угола преломления равно относительному показателю преломления двух сред.
sin n2 . sin n1
Геометрическая оптика – оптика с длиной волны 0.
Свет – совокупность световых лучей – линий распространения световой энергии. В оптически изотропной среде световые лучи ортогональны к волновым поверхностям. Пучки световых лучей пересекаются и не интерферируют.
Принцип Ферма – реальный луч света распространяется от одной точки к другой точке по линии, вдоль которой свету требуется экстремальное время, по сравнению с любыми другими мысленными путями, соединяющими эти точки.
S B ndl 0,
A
где S – оптическая длина пути для неоднородной среды, всегда
больше реально проходимого расстояния, S B ndl.
A
Из принципа Ферма следует прямолинейное распространения света для оптически однородной среды и обратимость световых лучей (луч, пущенный обратно, пройдёт по тому же самому пути).
139
Волновая оптика рассматривает свет как поперечную электромагнитную волну.
Интерференция волн – взаимное усиление или ослабление двух волн при их наложении и распространении в пространстве.
Для двух гармонических волн A1 a1 sin( t 1), A2 a2 sin( t 2) квадрат амплитуды результирующей волны
a2 a12 a22 2a1a2 cos 1 2 ,
amax a1 a2 при 1 2 2 m,
amin |
a1 a2 |
при 1 2 (2m 1) , |
где m 0, 1, 2,....
Для интенсивности результирующей волны (I = A2):
I I1 I2 2 |
I1I2 cos t . |
Стационарная интерференция света возникает в случае когерентных световых волн, когда их разности фаз не зависят от времени, а частоты одинаковые.
По способам создания когернтных пучков света разделяются схемы с делением волного фронта и схемы с делением амплитуды.
Опыт Юнга (схема с делением волнового фронта). Свет от точечного источника расщепляется на два источника, дающих две системы когерентных волн. Расстояние между источниками 2b D много меньше расстояния от них до экрана. Расстояние D от середины между источниками до точки M на экране (рис. 3.1).
Расстояние от 1-го источника до точки N на экране
d12 D2 h b 2 .
140