книги / Физика

Общее решение этого неоднородного уравнения следующее:

x t A0e t cos( t 0) Bcos( t ).

При t T остаётся только частное решение: x t B cos( t ).

Амплитудно-частотнаяхарактеристика (АЧХ) (рис. 1.29):

Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) (рис. 1.30):

Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте системы p 0.

Добротность

Q 20 .

51

Добротность показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при резонансе превышает амплитуду вынужденных колебаний вдали от резонанса.

ЛЕКЦИЯ 8.ВОЛНЫ

Волна – возмущение состояния вещества или поля, которое распространяется в веществе или поле. Волна – это колебание, которое распространяется в пространстве и времени. Существуют волны только в пространстве. Например, бархан в пустыне или волны песка на дне при мелкой воде.

Упругая волна – механическое возмущение (деформация), которое распространяется в упругой среде. В упругой волне происходит перенос энергии. Но переноса вещества, как в ударной волне, не происходит.

Впоперечной упругой волне частицы среды колеблются

вплоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Эти волны возникают в средах, обладающих упругостью формы, например в твёрдых телах. В газах и жидкостях поперечных упругих волн нет, так как они обладают только объём-

ной упругостью.

Впродольной упругой волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды. Они наблюдаются в твёрдых телах, жидкостях и газах.

Поверхностные волны образуются на свободной поверхности жидкости или поверхности раздела несмешивающихся жидкостей. Частицы жидкости совершают одновременно продольные и поперечные колебания, описывая сложные траектории.

Звуковые волны (звук) – механические колебания, распространяющиеся в упругой среде.

Скорость звука идеальном газе

52

адиабаты для воздуха, 1,4; – молекулярная масса для воздуха, 29.

В воздухе скорость звука с = 332 м/с при 0 °С. В воде

с = 1450 м/с.

Скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях, в жидкостях – меньше, чем в твёрдых телах. В твёрдых телах скорость продольных волн меньше, чем скорость поперечных волн. Например, в бетоне скорость продольных волн 4200–5300 м/с.

Волновое уравнение для продольной плоской волны

2 x,t 1 2 x,t 0.

x2 c2 t2

Бегущая гармоническая волна – это плоская синусоидальная волна, идущая вдоль положительного направления оси Ох.

x,t Asin Asin t kx 0 ,

где А – амплитуда; Ф – полная фаза; – угловая частота,

2T ; k – волновое число, k 2 ; – длина волны, cT.

Фазовая скорость волны

vf k .

Групповая скорость группы, или цуга, волн vгр ddk .

Волновые возмущения распространяются по характеристикам t k r.

Волновое уравнение для трёхмерных возмущений имеет вид

53

c12 2t2 0,

или

Решение уравнения (1.12) в комплексной форме – это бегущая гармоническая волна, распространяется в произвольном направлении по радиус-вектору r.

r ,t Aei t ikr Aexp i t ikr ,

где «+» означает опережающую волну, «–» означает запаздывающую волну.

e i cos isin – формула Эйлера.

Звуковые волны в жидкости

При прохождении звуковой волны в каждом месте жидкости происходит попеременное сжатие и разрежение. Плотность

и давление меняются относительно равновесных значений: p p0 p , 0 .

Скорость волны c связана со звуковым давлением p над равновесным давлением p0.

Скорость движения частиц в волне много меньше скоро-

сти звука v c,

v pc .

Давление в волне над равновесным p0 связано с изменением плотности:

p c2 .

54

Энергия акустических волн. Объёмная плотность энергии

акустических волн в жидкости равна разности между объёмной плотностью энергии жидкости в возмущённом состоянии и невозмущённом состоянии:

w dW v 2 c2 2 v 2, dV 2 2

где первое слагаемое – объёмная плотность кинетической энергии частиц жидкости; второе – объёмная плотность потенциальной энергии частиц жидкости.

Акустические волны в жидкостях и газах характеризуются скалярнымпотенциаломскоростейколебательногодвижениясреды:

v grad x i y j z k ,

где волна

x,t Asin Asin t kx 0 .

Давление – избыточное над равновесным давлением –

Объёмная плотность энергии продольной плоской волны w v 2 k2 A2cos2 t kx 0 ,

где k2 A2 c22A2 .

Закон сохранения энергии для акустической волны

wt divU 0,

где U – вектор плотности потока энергии акустических волн (вектор Умова), U p v .

55

Для плоской волны

U wc v 2c ,

где c – вектор скорости распространения волны.

Интенсивность акустической волны (сила звука) – количест-

во энергии, переносимое волной за единицу времени сквозь единицу площади,нормальнойкнаправлениюраспространенияволны:

I U T1 0T p v dt .

Интенсивность плоской синусоидальной волны

I1 2 A2 . 2 c

Размерность интенсивности звука [I ] 1 Втм2 – реактивный двигатель на расстоянии 5 м, гром.

Интерференция волн. Стоячие волны

При наложении двух бегущих внаправлении хгармонических волн 1 x,t Asin t kx 1 и 2 x,t Asin t kx 2

возникает интерференция волн – перераспределение интенсивности волнвразличныхточках.

Амплитуда результирующей волны

1 x,t 2 x,t x,t Asin t kx ,

в рассматриваемой точке волнового поля определяется соотношением

A2 A12 A22 2A1 A2 cos 2 1 ,

Aмакс A1 A2 , при 2m ,

56

Стоячая волна возникает при наложении двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Частоты волн должны быть одинаковы, амплитуды являются одинаковыми функциями координат. В случае поперечных волн необходима одинаковая поляризация обеих волн. На рис. 1.31 показана стоячая волна в открытой трубе, когда на концах трубы наблюдаются пучности.

Рис. 1.31. Стоячая волна в открытой трубе. С двух сторон пучности

Выражение для плоской продольной синусоидальной стоячей волны получается при наложении прямой волны 1 x,t

Asin t kx 1 и обратной волны 2 x,t Asin t kx 2 :

Амплитуда плоской стоячей волны не зависит от времени:

Узел стоячей волны – точка, в которой амплитуда волны равна 0:

Пучность стоячей волны – точка, в которой амплитуда волны равна 2А:

57

1 2 kx 2m 0, ,....

2 2

Длина стоячей волны в два раза короче длины бегущей волны.

В стоячей волне не происходит переноса энергии, в отличие от бегущей волны.

ЛЕКЦИЯ 9.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Молекулярная физика – раздел физики, в котором изучаются физические свойства и агрегатные состояния макроскопических тел на основе рассмотрения их молекулярного строения.

Статистический метод изучает свойства макроскопических тел на основе физической статистики, описывающей тепловое движение огромного числа молекул, образующих эти тела.

Термодинамический метод изучает свойства системы взаимодействующих тел путём рассмотрения превращения энергии, происходящей в системе.

Термодинамическая система – совокупность тел и полей,

которые обмениваются работой и теплотой между собой и с внешней средой.

Параметрами состояния термодинамической системы являются температура T, объём V, давление P.

Температура – физическая величина, которая характеризует степень нагретости тела.

В условия термодинамического равновесия температура всех тел, образующих систему, одинакова.

Шкала Цельсия (стоградусная) начинается с нормальной точки плавления льда и кончается нормальной точкой кипения воды.

Шкала Кельвина для абсолютной температуры

T K t C 273,15 C.

Объём – часть пространства, занимаемая телом.

58

Удельный объём, м3/кг, равен отношению объёма к массе

тела:

Vм MV 1,

где – плотность тела.

Молярный объём – объём одного моля вещества:

V Vм .

Моль – количество химически однородного вещества, масса которого, выраженная в граммах, численно равна его молекулярному весу .

Число Авогадро – число молекул в моле для всех веществ одинаково:

NA 6,023 1023 моль1 .

Общее число частиц в массе вещества

N m NA .

Давление – физическая величина, равная отношению нормальной силы к поверхности тела:

P ddFSп .

Размерность давления [P] мН2 Па, 1 атм 105 Па.

В идеальном газе отсутствуют силы полевого межмолекулярного взаимодействия, действует только механизм столкновений.

Уравнение состояния идеального газа: PV m RT.

59

Универсальная газовая постоянная

Основноеуравнениемолекулярно-кинетическойтеориигазов:

Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул:

На каждую степень свободы поступательного или вращательного движения молекулы приходится энергия, равная

12kBT. На одну колебательную степень свободы приходится

энергия, равная kBT 12kBT 12kBT .

Закон распределения молекул по скоростям Максвелла

описывает стационарное распределение молекул одноатомного

Абсолютное значение квадрата скорости молекулы

v2 vx2 vy2 vz2.

Условие нормировки для функции распределения

60