книги / Физика

Работа силы на конечном участке перемещения

A 0s F dr.

Размерность работы [A] Н м Дж.

Работа сил торможения всегда отрицательна.

Мощность силы – отношение элементарной работы к интервалу времени, за который она совершена:

энергии.

Движение в поле центральных сил

Сила называется центральной, если линия её действия всё время проходит через одну точку, называемую центром силы.

Пример 1. Силы тяготения и силы электростатического взаимодействия являются центральными. Они обратно пропорциональны квадрату расстояния между частицами:

Потенциальная энергия притяжения двух тел

Момент центральной силы, действующей на частицу, равен нулю. Проекция момента импульса на любую ось, проходящую через центр, постоянна:

dL

K r F r er 0 dt L const,

31

L mr v const, L mr2 const.

Из постоянства направления вектора L следует, что радиус-

вектор частицы лежит в плоскости, перпендикулярной вектору L. Орбиты частиц в центральном поле лежат в плоскостях, проходящих через центр силы.

Полная энергия частицы в центральном поле сохраняется:

где r – радиальная компонента скорости; L – момент импульса частицы, L mr2 mr2 const.

Пример 2. Движение планет в гравитационном поле Солнца: W 0, движение планет финитное (ограниченное).

Справедливы законы Кеплера:

–1-й закон: планеты движутся по эллиптическим орбитам,

водном из фокусов эллипса находится Солнце;

–2-й закон: квадраты времен обращения (периоды) планет относятся друг к другу как кубы больших осей орбит:

T12 :T22 :T32... r12 :r22 :r32...,

т.е. их отношение – это постоянная величина для всех планет:

Ti32 const; ri

– 3-й закон: радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете в равные времена, описывает равные площади.

Пример 3. Движение тел в гравитационном поле Земли.

Первая космическая скорость – наименьшая начальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли. Она равна скорости кругового движения на расстоянии r от центра Земли:

32

которую нужно сообщить телу, чтобы оно преодолело притяжение Земли и стало спутником Солнца:

Это движение тела по параболической тректории (рис. 1.16).

Третья космическая скорость – наименьшая скорость, ко-

торую необходимо сообщить телу для преодоления притяжения Земли, затем притяжения Солнца и покидания Солнечной сис-

темы. v3 16,7 км/с с поверхности Земли.

Рис. 1.16. Движение тела в поле центральной силы

Земля уже имеет скорость 29,8 км/с относительно Солнца, вторая космическая для Солнца – 42,1 км/с. Выход с орбиты Земли по направлению вращения без притяжения Земли: 42,1км/с 29,8км/с 12,3км/с.

33

Работа по перемещению тела в поле сил тяготения равна разности потенциальных энергий тела в двух положениях:

A U r1 U r2 , см. (1.7).

Законы сохранения

Замкнутая система – система материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами.

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется (остается постоянным).

ddPt F , если F 0 P const.

Закон сохранения импульса соответствует однородности пространства: пространство во всех точках одинаково.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется:

ddLt K , если K 0 L const.

Закон сохранения момента импульса соответствует изотропности пространства: пространство одинаково относительно поворотов.

Закон сохранения энергии: энергия замкнутой системы сохраняется.

Закон сохранения энергии соответствует однородности времени: различные моменты времени являются эквивалентными.

34

Столкновения тел

Столкновения – процессы взаимодействия между телами. Тела, сталкивающиеся на бесконечности, считаются свободными.

Упругие столкновения – столкновения, при которых тела после сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния.

Неупругие столкновения сопровождаются изменением внутреннего состояния тел.

Неупругий удар (рис. 1.17). После неупругого соударения двух тел они движутся как целое с одинаковой скоростью. Справедлив закон сохранения импульса системы двух тел:

m1v1 m2v2 (m1 m2)v

и закон сохранения полной энергии

m12v12 m22v22 (m1 2m2)v2 Wвнут.

Закон сохранения кинетической энергии не выполняется при неупругом ударе. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию, и окончательно – в тепловую энергию.

Упругий удар (рис. 1.18). После упругого центрального удара двух тел с массой m1 и m2 они имеют новые скорости v1 и v2 и новые направления движения.

Рис. 1.17. Неупругий удар двух шаров Рис. 1.18. Упругий удар шаров

Справедлив закон сохранения общего импульса двух тел до соударения и после соударения:

p1 p2 p1 p2.

35

Закон сохранения полной энергии сводится к закону сохранения кинетической энергии системы:

p12 p22 p12 p22 .

2m1 2m2 2m1 2m2

Пример 4. Легкая частица налетает на неподвижную тяжёлую частицу, m2 m1:

Пример 5. Прямой удар частицы 1 по неподвижной частице 2, m2 m1:

v12 v12 v22,

v1 v1 v2 .

Частицы одинаковой массы разлетаются под прямым углом. Пример 6. Прямой центральный удар двух частиц. Первая

частица налетает на вторую неподвижную частицу. Поделим два равенства

m2v22 m1 v12 v12 m1 v1 v1 v1 v1 ,

m2v2 m1 v1 v1 ,

При одинаковых массах (m2 m1 ) после столкновения первая частица становится на место второй, v1 0. Вторая приобретает скорость v2 v1 и направление первой частицы.

В столкновениях молекул газов этот процесс столкновения называется «перезарядкой».

36

ЛЕКЦИЯ 5.ГИДРОМЕХАНИКА

Гидромеханика изучает равновесие и движение несжимаемых жидкостей и их взаимодействие с твёрдыми телами. Гидростатика изучает равновесие несжимаемых жидкостей.

Закон Паскаля: давление, производимое на жидкость внешними силами, передается ею по всем направлениям равномерно. Р const.

Размерность давления [Р] мН2 Па. Внесистемная еди-

ница 1 атм 105 Па.

Основное уравнение гидростатики для несжимаемой жидкости в поле силы тяжести:

P0 gz P,

где P0 – давление на уровне z 0.

Сила Архимеда: на всякое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная к центру тяжести объёма погруженной части тела: FA ж gVж.

Гидродинамика изучает движение несжимаемых жидкостей. Основные свойства жидкостей – текучесть (способность перемещаться в пространстве) и вязкость (свойство сопротив-

ляться при движении внутри жидкости).

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости: вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении жидкости величина полной энергии единицы массы и работы сил

давления P при перемещении единицы массы остаётся по-

стоянной:

P const.

37

Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости (рис. 1.19):

gh 2v2 P const gh1 v212 P1 gh2 v222 P2 ,

где gh – гидростатическое давление за счет подъема жидкости на высоту h ( gh – потенциальная энергия единицы массы жидко-

сти); 2v2 – скоростной напор – давление жидкости за счет дви-

жения её со скоростью v ( v2 – кинетическая энергия единицы

2

массы жидкости); P – внешнее статическое давление на жид-

кость ( P – работа внешних сил по перемещению единицы массы жидкости на расстояние s).

Рис. 1.19. Трубка тока жидкости под давлением

Уравнение Эйлера для движения частицы идеальной жидкости (аналог второго закона Ньютона для жидкостей):

dv F gradP. dt

Пример 1. Уравнение Эйлера для движения жидкой частицы по оси X

ddvtx Fx Px .

38

Формула Стокса для силы сопротивления движению шарика в вязкой жидкости

F 6 Rv ,

где – коэффициент внутреннего трения (вязкости) жидкости;

v – cкорость шарика; R – радиус шарика.

Уравнение Навье – Стокса движения несжимаемой вязкой жидкости

dv F gradP v, dt

где v – векторный дифференциальный оператор Лапласа для

скорости, v 2v 2v 2v .

x2 y2 z2

Пример 2. Уравнение Навье – Стокса для движения вязкой жидкой частицы по оси X

Формула Пуазейля для массы m вязкой жидкости, протекающей через поперечное сечение S трубы в единицу времени t,

Уравнение неразрывности (закон сохранения массы) в гидродинамике:

ddt div v 0.

При установившемся движении несжимаемой жидкости

1v1dS1 2v2dS2.

39

Твёрдые тела

Твёрдые тела отличаются постоянством формы и объёма. Твёрдые тела подразделяются на кристаллы и аморфные. Под действием приложенных сил тела меняют свою форму или объём.

Упругие свойства твёрдых тел

Деформацией твёрдого тела называется изменение его размеров и объёма, что меняет форму тела. Смещению частиц, находящихся в узлах кристаллической решётки, препятствуют силы взаимодействия между частицами. Это приводит к появлению упругих сил,которыеуравновешиваютвнешние силы,приложенныектелу.

Упругая деформация исчезает после прекращения действия внешней силы. Мерой деформации тела является относи-

тельная деформация xx (рис. 1.20).

Механическое напряжение равно упругой силе, приходящейся на единицу площади сечения тела:

ddFSупр , FSупр kxS .

Закон Гука: напряжение при упругой деформации тела пропорционально относительной деформации:

K xx E ll ,

где K – модуль упругости, численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице.

При продольном растяжении (сжатии) модуль упругости называется модулем Юнга Е = K. Для легированной стали

E (107 Н/м2) 20600.

Объём твёрдого тела постоянен, поэтому относительное

40