книги / Физика

Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории от точки на кривой. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории в точке приложе-

ния (рис. 1.2).

Кинематика вращательного движения

Вращение материальной точки вокруг оси z – это движение с одной степенью свободы ( – угловая переменная).

Для малых углов поворота

sind d drs ,

где ds – элемент длины окружности (рис. 1.3). Угловая скорость

d v . dt r

Размерность угловой скорости рад/с, 2 n, n – чис-

лооборотоввсекунду. Угловое ускорение

ddt dd2t2 .

11

Размерность углового ускорения рад/с2 . Пример 2. Вращение с постоянной угловой скоростью

const, t.

Пример 3. Вращение с постоянным угловым ускорением:

0 t (угловая скорость),

0t t2 (угловой путь), 2

где 2 N, где N – число оборотов; 2 n, n – число оборо-

тов в секунду, 2T , Т – время одного оборота (период).

Вращение тела в общем случае – это движение с тремя степенями свободы.

Вектор угловой скорости

x , y , z ,

где x – угловая скорость вращения относительно оси х (рис. 1.4).

Линейная скорость тела равна векторному произведения вектора угловой скорости и радиус-вектора (рис. 1.5):

v r ,r .

12

13

ЛЕКЦИЯ 2.ДИНАМИКА

Пусть система (частица, тело) движется (перемещается) в пространстве и времени. Одновременное задание всех координат и всех скоростей полностью определяет механическое состояние системы и позволяет предсказать дальнейшее движение системы в следующие моменты времени.

Уравнения движения – соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями. По отношению к координатам уравнения движения – это дифференциальные уравнения второго порядка по времени. Интегрируя эти уравнения, получаем траектории движения системы в параметрическом (зависимом от времени) виде.

Закон инерции Галилея: тело (материальная точка) находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие тела. Свободное движение тела – это движение тела по инерции.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) – это система от-

счёта, в которой справедлив закон инерции. Существует бесконечное число инерциальных систем отсчёта, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно.

Система отсчёта, движущаяся с ускорением по отношению к инерциальной системе отсчёта, является неинерциальной, и закон инерции в ней не выполняется.

Принцип относительности Галилея: во всех инерциаль-

ных системах отсчёта свойства пространства (однородность и изотропность) и времени (однородность) одинаковы и одинаковы все законы механики.

Преобразования Галилея. Пусть система отсчёта K движется относительно неподвижной системы K с постоянной скоро-

стью V в направлении оси х, тогда координаты одной точки в этих системах связаны соотношением (рис. 1.6)

t t .

14

Для сложения двух сил справедлива формула

F 2 F12 F22 2F1F2 cos .

Примеры сил: сила тяжести F mg, сила упругости F kx, сила Стокса вязкого трения F 6 rv.

Размерность силы F Н кгс·2м – Ньютон.

Масса

Масса – мера инерционных и гравитационных свойств тела. В классической механике масса – величина аддитивная.

Масса изолированной системы равна сумме масс тел, составляющих эту систему:

m A B m A m B .

Закон сохранения массы: масса изолированной системы есть величина постоянная. Этот закон точный в классической физике и приближённый в ядерной физике.

Плотность тела, кг/м3:

ddVm .

Центр инерции (центр масс) – геометрическая точка, по-

ложение которой характеризует распределение масс в механической системе.

Координаты центра масс

Центр инерции не связан ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой механической системы.

16

Импульс тела (количество движения) – мера механического движения. Векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость.

p mv.

Размерность импульса p кгсм.

Законы Ньютона

Первый закон Ньютона – это закон инерции Галилея: (тело) материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, если на неё не действуют другие тела.

Второй закон Ньютона: изменение импульса пропорциональноприложеннойсиле ипроисходитпонаправлениюэтойсилы:

dp F. dt

Третий закон Ньютона – действие равно противодействию, или иначе: взаимодействие двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны:

F12 F21.

Третий закон – приближённый. Силы приложены к разным точкам 1 и 2 и уравновешиваются только в абсолютно твёрдом теле (рис. 1.8).

Рис. 1.8. F12 F21

17

Теорема о движении центра масс

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе системы, а действующая сила равна геометрической сумме всех внешних сил и приложена к центру масс системы.

Доказательство:

Продифференцируем по времени центр масс системы (1.1) ddrti ri vi ,

18

зящая сила; V2 – относительная скорость присоединяющихся частиц; dMdt 2 – секундный приход массы.

получаем

v v0 lnM lnM0 .

V1

Окончательно формула Циолковского принимает вид

Рис. 1.9. Частица малой массы dM со скоростью V1 отделяется от большой массы и заставляет её двигаться в противоположную сторону

19

Скорость ракеты может стать больше скорости отделяющихся частиц.

Если начальная скорость ракеты не равна нулю, то получаем формулу Циолковского (1.3) для движения тела в безвоздушном пространстве.

v

M (t) M0e V1

где M0 – начальная масса ракеты >> конечной массы ракеты.

Реактивное движение ракет – единственный способ управляемого передвижения тел в пустом пространстве.

В СССР существовала реактивная технология бурения твёрдых пород.

Уравнение Мещерского можно использовать для реактивного движения тел в жидкой мантии Земли путём создания реактивного двигателя типа водомёта для магмы.

Математическое приложение

Дифференцирование функций:

где n 1.

20