книги / Физика

ЛЕКЦИЯ 6.КОЛЕБАНИЯ

Колебания – движения или состояния, обладающие свойством повторяемости во времени. «Устройство мира» можно представить в виде сложнейшей совокупности колебаний частиц

иполей. Колебания плотности и давления воздуха воспринимаются нами как звук.

Колебания электрических и магнитных полей в пространствевремени воспринимаются как свет. Существует теория колебаний

иволн, которая рассматривает общие свойства колебательных процессов вфизическихиматематическихмоделяхреальныхсистем.

Впериодических колебаниях любое значение повторяется за одинаковый промежуток времени:

u t u t T .

Период T – время одного полного колебания.

Частота – число полных колебаний, происходящих за единицу времени, T1 .

Размерность частоты [ ] 1с 1 Гц.

Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина изменяется во времени по закону синуса.

u t Asin Asin( t 0),

42

u t Reu t i Imu t Acos( t 0 ) iAsin( t 0),

Гармонические колебания не искажаются, проходя через любую линейную систему. Любое негармоническое колебание можно представить в виде суммы или интеграла гармонических колебаний различных частот.

Спектр – совокупность частот колебаний.

Свободные колебания

Свободные колебания – движения системы без внешних воздействий. Принцип суперпозиции: сумма двух произвольных колебаний линейной системы также является допустимым колебанием этой системы.

Линейный гармонический осциллятор – система (или мате-

риальная точка), которая совершает колебательное периодическое движение около положения устойчивого равновесия. Это основная модель движения частиц в атомах, ядрах, молекулах, твёрдых телах. Шарик на пружинке колеблется по оси х (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Модель «шарик на пружинке»

43

Начальные условия:

1-й тип x t 0 x0 – начальное смещение. 2-й тип v t 0 v0 – начальная скорость.

Подставляя пробную функцию x t Aei t в дифференци-

альное уравнение (1.10), получаем .

Общее решение уравнения (1.10) с этим значением имеет вид

x t Ae i t Be i t ,

или x t Acos t Bsin t,

или x t Acos( t 0 ) – смещение,

v t dx t A sin( t 0) – скорость. dt

Ускорение осциллятора

w t A 2 cos t 0 .

Потенциальная энергия осциллятора

Wп kA22 cos2 t 0 .

Кинетическая энергия осциллятора

Wk mA22 2 sin2 t 0 .

Полная энергия осциллятора

W Wп Wk mA22 2 const.

Импульс осциллятора

p t mv t m Acos( t 0 2).

44

Физический маятник – абсолютно твёрдое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести.

Из основного закона динамики вращательного движения J K mg tg d mg d для малых колебаний tg

получаем дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника:

mgdJ 0.

Для угла отклонения оси от положения равновесия решение имеет вид

t Acos t,

где Т – период физического маятника.

T 2 2 mgdJ ,

где J – момент инерции маятника; d – расстояние между точкой подвеса и центром тяжести т. С физического маятника

(рис. 1.22, а).

Математический маятник – тяжёлая материальная точка, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нити длиной l. Колебания массы на малый угол происходят по оси х под действием возвращающей силы, результирующей силы тяжести и силы натяжения нити (рис. 1.22, б).

Дифференциальное уравнение:

mx ml Fx mg tg mg .

45

2.При 1 2 частицаописывает фигурыЛиссажу(рис.1.27).

Рис. 1.27. Фигуры Лиссажу. Отношение числа точек касания кривой в прямоугольнике равно отношению частот ортогональных колебаний: а – = 0;

б– А1 = А2, = /8; в – 1 = 3 2/2, = /4;

г– = 2 – 1, = 3 /8; д – = /2; е – = 5 /8

Свободные затухающие колебания

Модель «шарик на пружинках» колеблется в вязкой среде. Второй закон Ньютона

mx F kx rx.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

49

Решение уравнения (1.11) принимает вид (рис. 1.28):

x t A0e t cos( t 0).

Рис. 1.28. Выражение для свободного затухающего колебания

Циклическая частота затухающих колебаний

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодической силы. Второй закон Ньютона: на шарик на пружинке в вязкой среде действует внешняя сила

mx kx rx F0 cos t.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний x 2 x 02x f0 cos t.

50