книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений
..pdfсвязностью, то напряжения не моделируются и должны быть одинаковыми в модели и натуре. Отсюда следует также по системе (III.2), что должно быть и ас = 1, следовательно все должно воспроизводиться в натуральную величину. При грунте, не обла дающем сцеплением (например, песок), моделирование оказы вается возможным, причем имеем:
<хф= 1; о ^ = 1; аь = a i.
Нелинейные процессы моделировать не удается вовсе и следует их воспроизводить в натуральную величину.
Изучение тех или иных процессов бывает удобно характери зовать безразмерными комплексами.
Согласно ПИ-теореме, если имеется п\ размерных параметров, для измерения которых использовано пг основных единиц физи ческих величин, то всякое соотношение между этими п\ размер ными параметрами можно представить в виде п\ — пг безраз мерных комбинации. Так, например, имеем параметры: b — ши рина фундамента; с — удельное сцепление; у — удельный вес грунта; q — пригрузка; р — давление под фундаментом; т — ка сательная компонента напряжения под фундаментом. Следова
тельно, /2| = 6 и П2 = |
2 |
(так как основные единицы физических |
|||
величин — длина, м, |
и |
сила, Н). |
Теперь |
можно |
составить |
п\ — П2 безразмерных комплекса из этих параметров: |
|
||||
|
|
ЛГз = |
4* ; лг4 = |
4 * |
(III.5) |
|
|
|
уb |
yb |
|
Любая комбинация из этих комплексов будет также безраз мерным числом, характеризующим рассматриваемый процесс. Можно, например, указать на то, что большое значение в пред ставлении результатов определения несущей способности имеет комплекс N\.
В частности, известную формулу по определению несущей способности основания при вертикальной нагрузке можно пред ставить следующим образом:
p = |
Ntfb + N4q + N * t |
|
|
а в безразмерных комплексах |
|
|
|
|
|
с |
|
уЬ |
' УЬ |
v yb |
|
или |
|
|
|
Ni = |
м + NqN 2 + |
NeNi |
(III.6) |
при наличии также и горизонтальной |
составляющей N\ = |
f(Nз) |
или Nz = f (N |, N2, NA).
Удобно для решения задач пользоваться безразмерными координатами, которые можно ввести, основываясь на приведен ных безразмерных комплексах. Так, например, если воспользо
111
ваться четвертым комплексом (III.5), то можно ввести безразмер ные координаты х' — ух/с\ у ' = уу/с и проводить решение, а да лее перейти обратно к абсолютным координатам по этим формулам. Такая возможность значительно расширит круг ис пользования полученных решений. В особенности это удобно при необходимости численного решения задач, так как одно по лученное решение позволяет использовать его для ряда практи ческих случаев. Эта возможность широко используется в теории предельного равновесия сыпучей среды [42].
Обычно эпюра реактивных давлений, получаемая по теории предельного равновесия сыпучей среды, обладающей собственным весом, при наличии постоянной нагрузки считается линейной функцией координаты у (рис. III.1, а) и увеличивается при уда лении от особой точки по линейному закону. В действительности же, как показывают расчеты, эта эпюра имеет слабую нели нейность вблизи особой точки, а в дальнейшем становится линейной. Практического значения эта весьма малая нелиней ность не имеет.
Большое значение в решении задач по теории предельного равновесия имеет особая точка, в которую сходятся характери стики одного из семейств линий скольжения, чем и обеспечивается скачок в эпюре напряжений. В. В. Соколовский [42] предпо ложил, что одна из характеристик в особой точке имеет посто янное значение, а характеристики другого семейства сходятся в нее. В связи с этим особая точка 0 (см. рис. III. 1, а) разверты вается на плоскости характеристик в отрезок. Очень важным обстоятельством является то, что собственный вес грунта не влияет на развертку особой точки.
Другими словами, углы, под которыми подходят линии сколь жения (характеристики) к особой точке 0 при весомой и невесо мой среде, одинаковы. Убедительное доказательство этому поло жению дал В. А. Флорин [52], который рассмотрел небольшую область вокруг особой точки, а затем устремил размер этой области к нулю. Он отметил более быстрое уменьшение объема этой области (на один порядок), чем ее поверхности (в плоской задаче — площадь уменьшается быстрее, чем длина ограничи вающей линии, так как площадь содержит квадрат длины), поэтому при достаточно малом размере выделенной области действующий на нее собственный вес грунта становится пренебре жимо малым по сравнению с напряжениями от внешней нагрузки. Это очень важное заключение, так как распределение напряже ний по дуге вокруг особой точки при отсутствии веса среды нам известно — интегралы уравнений получены для этого случая в конечном виде.
Следует отметить также интересную возможность использо вания решения для зоны Прандтля в случае, когда удается «поднять» особую точку. Эта возможность отмечена В. В. Соко ловским [42]. При этом уже не будет скачка в эпюрах напряже-
П2
Рнс. III.I. Расчетная нагрузка на поверх
ность основания
ний р и пригрузки <7, будет плавный переход от одной к другой. Кроме того, в пределах участка O1O2 (рис. III. 1, б) будут действо
вать касательные напряжения, закон распределения которых будет вполне определенным, отвечающим решению для клина, и варьи ровать его нельзя. Положение полюса 0 будет также определенным
ибудет зависеть от длины участка O1O2.
Втеории предельного равновесия сыпучей среды для решения задач о несущей способности оснований, заглубленных в грунт фундаментов, действие грунта, расположенного выше подошвы фундамента, обычно заменяется действием эквивалентной по весу пригрузки. Тем самым предполагается, что вдоль линии ОВ (рис. III.2, а) касательные напряжения должны отсутствовать.
из
В действительности же выше линии ОВ находится грунт, и касательные напряжения вдоль этой линии могут развиваться. Вследствие действия нагрузки р смещение грунта в основании в зоне II будет происходить влево (рис. III.2, б), а расположен ный в зоне / грунт будет этому препятствовать. Таким образом, вдоль линии ОВ возможно возникновение касательных напряже ний в направлении, показанном на рис. III.2, б. Эти касательные напряжения, если их учесть в расчете, увеличат предельную нагрузку р, что и было учтено В. Г Березанцевым [2] в его схеме, приближающей обычно принимаемую схему только с вертикальной пригрузкой к действительности.
Говоря о пригрузке, следует отметить ее фактическое не постоянство в связи с тем, что фундамент при увеличении нагрузки дает осадку, в то время как свободная поверхность грунта OiSi (см. рис. III.2, б) остается в прежнем положении. Следовательно, если осадка фундамента будет равна s, а заглубление его в грунт Л = 00i, то пригрузку правильнее считать q = у (А + s), а не yht как это обычно делается. В от дельных случаях, в особенности при узких фундаментах и песча ном грунте, это обстоятельство может оказаться немаловажным. Особенно его следует учитывать при обработке результатов экспериментов, проведенных с моделями фундаментов в лабора торных условиях.
3. РЕШЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОБ ОБРАЗОВАНИИ И РАЗВИТИИ
ВОСНОВАНИИ ПОД КРАЕМ ФУНДАМЕНТА ОБЛАСТИ ГРУНТА
СПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЕМ
Если в основании фундамента или полностью отсутствуют зоны, в которых нарушена прочность грунта и он находится в предельном состоянии, или они незначительны по своим размерам, то напряженное состояние определяется с использованием ре шений теории линейно-деформируемой среды. При развитии зоны с предельным состоянием вокруг нее в непредельной области возникает перераспределение напряжений, влияющее на величину образующейся пластической области. Таким образом возникает необходимость решения смешанной упругопластической -задачи.
Для определения размеров подошвы фундамента необходимо знать давление* при котором под краями фундамента в грунте начинает образовываться предельная зона, а также расширение этой зоны по. мере увеличения нагрузки на. фундамент вплоть до максимального размера, соответствующего потере основанием несущей способности.
Давление /?кр, соответствующее началу возникновения области пластической деформации и названное начальной критической нагрузкой [53], было сначала установлено Н. П. Пузыревским
114
(1934) |
для несвязного |
грунта, у |
которого с = 0, |
потом |
Н. М. |
Герсевановым [10] |
и, наконец, |
О. К. Фрелихом |
(1938). |
Формулы оказались идентичными в связи с одинаковыми исход ными предпосылками, они лишь дополнены предыдущими.
Эти авторы рассматривали случай, когда распределение напря жений от собственного веса в грунте было гидростатическим, т. е. коэффициент бокового давления в условиях естественного залегания go = 1. Согласно обоснованному утверждению, выска занному В. А. Флориным [51], этот коэффициент может изме няться в широких пределах и быть более или менее единицы. Коэффициент go является отношением бокового давления к вер тикальному в естественном массиве грунта и зависит от условий формирования грунта, а также изменения напряженного состоя ния вследствие выемки грунта из котлована, в котором уста навливается фундамент. Определение коэффициента go в полевых условиях затруднительно, однако, как показывает полученное решение задачи, он оказывает существенное влияние и на на чальную критическую нагрузку, и на размеры пластической области.
По данным экспериментальных исследований, проведенных для глинистых грунтов естественного сложения в полевых условиях (Бьеррум, 1972), коэффициент go колеблется для глин текучей консистенции в пределах 0,4—0,5, а для менее пластичных глин 0,5—0,6 т. е. оказывается менее единицы. В то же время в грунтах, уплотненных трамбованием, он составляет более единицы. Если рассматривать грунты как вязкопластические тела, то с течением времени этот коэффи циент должен стремиться к единице.
Кроме решения для случая g o = l , Н. М. Герсевановым были получены зависимости для вычисления ркр путем подбора
для go = |
р,о/(1 — |А оХ 1 |
и с = |
0 (где |
ро — коэффициент |
Пуас |
|
сона грунта). |
В связи |
с |
тем что |
ограничивать среднее |
||
давление |
под |
фундаментом |
таким |
низким пределом, |
как |
рКр» оказалось нерациональным, в настоящее время вводится устанавливаемое для фундаментов, имеющих одинаковую при грузку по бокам, ограничение, соответствующее образованию незначительных областей пластической деформации, по глубине не превосходящих одной четверти ширины подошвы фундамента'. Размер этих областей устанавливался из условия, что фунда мент имеет конечную ширину и go = 1, в предположении чисто упругого распределения напряжений в упругой и пластической областях. В связи с этимвнутри пластической области оказы вается такое напряженное состояние, при котором угол наиболь шего отклонения равнодействующей от нормали к площадке в несвязном грунте превышает угол внутреннего трения грунта.
Построение границ пластических областей конечных размеров на основе теории упругости было обстоятельно рассмотрено в ра-
115
боте-М. И. Горбунова-Посадова (1949), где показано, что та кие области возникают либо под краями фундамента, либо при |о < 1 на оси симметрии на некоторой глубине и потом расши ряются с увеличением нагрузки, занимая все больший объем.
В действительности же внутри пластической области возни кает другое, отличающееся от чисто упругого, напряженное со стояние, которое определяется решением теории предельного равновесия сыпучей среды. Это обстоятельство обусловливает, в свою очередь, перераспределение напряжений в упругих областях, очевидно сказывающееся в меньшей степени в отда лении от пластических областей. Такое перераспределение на пряжений может в большей степени влиять на изменение очертания пластических областей, полученных на основе только упругого распределения напряжений в основании.
Здесь рассматривается поведение грунта под краем фунда мента такой ширины, когда влиянием другого края можно пре небречь. Исследуется условие образования пластической области под краем фундамента в случае, когда go может иметь любое значение и быть как менее единицы, так и более нее, а влияние веса вышележащей толщи грунта, как это обычно делается, заменено пригрузкой ро. Далее приходится вводить
предположение, что фундамент заложен относительно глубоко и вес вышележащей толщи, замененный пригрузкой ро, намного
больше веса грунта в области, переходящей в предельное состояние. Это позволяет считать боковое давление <70 не увели чивающимся в этой предельной области с глубиной. В такой постановке задачу удалось решить точно в элементарных функциях.
Расчетная схема представлена на рис. Ш .З, где рассматри вается, как и в теории предельного равновесия сыпучей среды, полубесконечная нагрузка. До момента, пока р невелико, в полу
плоскости наблюдается чисто упругое состояние, |
а при |
р = р«р |
||||||
происходит |
зарождение |
пластической |
области. |
Как |
показал |
|||
И. В. Федоров (1958, [32]), зарождение |
пластической |
области |
||||||
начинается |
вдоль луча, |
имеющего |
угол |
наклона |
к |
вертикали |
||
0 = —ф. Разделим полуплоскость |
на |
три клина: |
I — АОАи |
П 6
II — Ai$B и III — Л1ОЛ2. На их границах поставим следующие условия:
ВДОЛЬ |
АО(0 = |
—я/2), О = Р0; т,0= 0; |
|
||
ВДОЛЬ |
ОВ (0 = |
л/2), |
CF0= р 4 |
Ро ; тг0 = |
0; |
ВДОЛЬ |
0i41 (0 == Gt|) |
и 0А2 (0 = |
а2), 0/ = |
его ( I 4 sin2 <p)/cos2 Ф 4 |
|
|
4 2с ctg ф; |
T,Q= —(оо tg ф 4 с). |
|
Условия вдоль границ OAi и ОЛг получены исходя из того» что они являются линиями скольжения и вдоль них удовлетво ряется условие прочности
(рг— а0)2 4 4т2 = (аг 4 |
<г0 4 |
2с ctg ф)2 sin2 ф ; |
(ш -7) |
|
|т,0| = |
ф + |
с, |
|
(Ш-8) |
т. е. система уравнений (III.7) |
и (III.8) |
разрешена относитель |
||
но аг. |
|
|
|
|
Знак перед тг0 взят в соответствии с избранной системой |
||||
координат. Для компонент напряжений |
в областях I |
и I I |
использованы выражения» удовлетворяющие основным уравне ниям теории упругости:
о, — с\ — С220 |
+ D\ sin 20 — 02 cos 20; |
| |
|
|
оо = |
ci — С220 |
— 0 , cos 20 4 £>2 cos 20; |
r |
(III.9) |
Tro = |
C2 4- Di cos 20 -4 £>2sin 20. |
J |
|
Для пластической области III использовано решение Прандтля для клина [11], в котором произведены упрощающие дальнейшие выкладки преобразования (ав при 0 = сц обозначено ag1):
«то = (oj1+ с ctg ф ) *2(о |
_ с c t g % \ |
|
|
Or = |
O o-Li-H lis + 2с tg ф; |
> |
(ШЛО) |
|
COS ф |
I |
|
*г0 = |
“ (сто tg Ф 4- С). |
) |
|
Дальнейшие выкладки связаны с определением коэффициентов в зависимостях (111.9) исходя из принятых граничных условий. Для области I они оказываются:
Ci = |
ро — (ро sin ф 4- сcos ф ) [sin (2сп 4 ф) 4 sin ф — л cos(2a, 4 ф)]М;| |
|||
С2 = |
0, = — (ро sin ф4- с cos ф) [cos(2a14- ф)] М; |
I |
||
02 = |
-(p a sin ф 4 с cos ф) [sin (2a 1 4 ф) 4 sin ф] М ; |
Г(111.11) |
||
М = |
{[cos ф 4 cos (2a1 4 |
Ф) - |
(л - 2a,) sin ф] cos (2а, 4 ф) 4 |
I |
|
4fsin (2а, 4 |
ф) 4 |
sin ф]2)-"1. |
J |
Полученные зависимости позволяют найти значение |
о0 при |
|||
0 = |
он: |
|
|
|
о?' = ро — (ро*sin ф4 сcos ф)
_______sin (2a, 4ф)4(24со82а|)5Шф—(n42aQcos(2ai 4ф)______
14 cosфсоз(2а14 Ф)4 s ^ [ s i^ 4 2$in(2a,4 ф)—(я4 2a,)cos(2a,4 ф)]
(111.12)
117
Затем рассматривается область //, для которой справедливы зависимости (III.9), но коэффициенты имеют уже другие зна чения:
C 'l^po + p + nD't + D'r, |
= |
(III.I3) |
Далее производится, приравнийание действующих справа и слева напряжений <то и тгв вдоль луча ОЛ2 при 0 = аг, которое при 0 = 0,2 дает:
_________—(po+p)sin2a2-bgQ tgy62(aa~a,)t^(l +cos2a2+sin2a2Ctg<p)
[(я—2a2—sin2a2)+ctg(p(l+cos2a2)]sin2a2—(1+cos2a2)(l +cos2a2+sin 2a2 ctg<p)'
|
^>2 = - |
W tgq>e2(ei“ “l)tg4’ + |
D[( 1 . + cos2ai)]/sin 2a, |
(111.14) |
||
и после |
подстановки |
уравнений |
(ШЛЗ) |
и (III. 14) |
в формулу |
|
(III.9) |
получаем |
при |
значении |
0 = я /2 |
искомую зависимость |
для нагрузки pi, выраженную через си и а%. После громоздких преобразований будем окончательно иметь следующее выра жение:
ро + с Ctgф
{ \ -f cos2aiX 1 +co$2a2+sin<p[siny-hsin(2a24-<p)-K«—2a2)cos(2a2+9)])g2(tt,"fl,)tCT
(1 + cos2a2){ 1+ co s2 a i+ в 1пф[$тф-|-$1п(2а 1+ ф )—{n+2ai)cos(2ai+T )3}
(II1.15)
Зависимость <ШЛ5) аналогична полученной ранее Й* В* Фе доровым <1958, (32]). В нее входят углы ai и аз в качестве параметров, связь между которыми будет установлена далее.
Исследуем сначала наиболее простой, но требующий особого рассмотрения случай идеально связной среды, для которой <р = 0 и с^ = 0 . В этом случаев зоне III выражения для напряжений будут следующими (Малышев, 1975):
°0 — arr = 2с (0 - си) + oj}'; хл = —с\ |
(Ш.16) |
вместо выражения (III. 15) получим:
cos 2ai — sin 2a, — 2aiL+ |
я cos 2a2 + |
sin 2a2 + 2 a2' |
(H I.17) |
1 + cos 2ai |
1 + |
cos 2a2 |
|
Установим начальную критическую нагрузку, соответствую щую зарождению пластической области. В этом случае ai = = а.2 = 0,ар. Воспользуемся упругим решением задачи, которое дается формулами (III.9) при значениях коэффициентов (индекс «у» — упругое)
a = (p + <?« + po)/2; |
Ci = |
—р/(2я); |
О Т = - р /( 2 п ) ; |
Dl = |
(?„ - |
ро)/2, |
(III.18) |
и удовлетворяет поставленным граничным условиям, в частности, при 0 = 0 имеем:
118
Or— р/2 + Po; (Jo= p/2 + go. |
(Ш .1 9 ) |
Очевидно, что зарождение пластической области будет про исходить вдоль луча, для которого тго достигает максимального значения, и, поскольку вдоль него возникает предельное состояние, для него будет |тг0| = с. Отыскивая максимум, найдем, что он имеет место вдоль луча, для которого
tg 203ар -= |
я*) ■ 8зар = 4 - arctg Я (р° ~ qo) . |
(III.20) |
|
Р |
2 |
р |
|
Подставляя зависимости (III.20) в формулу (III.16) и учиты вая, что в рассматриваемом случае 0зар = си = аг, получим выражение для критической нагрузки:
|
|
|
Ркр = пс |
я (ро — <7о)г |
|
|
|
|
|
|
(111.21) |
|||
|
|
|
|
4с |
|
п [ с - ^ 0 ~ Ь П |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после чего, подставив выражение (III.21) |
в зависимость |
(III.20), |
||||||||||||
найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где £о |
Яо/ро■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
po = q0 или |
to = |
1 |
формула |
(111.21) |
преобразуется |
||||||||
а хорошо |
известную |
|
[43], |
причем |
по |
выражению |
(Ш .22) |
|||||||
03ар = |
'О |
и |
формула |
(111.17) |
совпадает |
|
с |
полученной ранее |
||||||
[43]. |
Характерным’ является |
то, что при |
to = |
1 |
нагрузка р кр |
|||||||||
оказывается наибольшей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Более сложными, чем выражения |
(III.20) |
и |
(111.21), получа |
|||||||||||
ются зависимости, если |
грунт |
обладает трением |
й сцеплением, |
|||||||||||
т. е. <р Ф 0 |
и с Ф 0. |
В |
этом |
случае |
зарождение |
пластической |
||||||||
области |
будет происходить вдоль луча, для которого величина |
|||||||||||||
|
|
|
[(а, - |
ао)2 + |
4т2„)/(о, + |
о, + |
2с ctg <tf |
|
(111.23) |
достигает максимального значения, причем это максимальное значение, в свою очередь, равно sin2 (р. Подставляя в выражение (111.23) зависимости (III.9), соответствующие упругому реше
нию— при |
коэффициентах, даваемых |
зависимостями |
(III.18), |
||||||
отыскивая |
затем |
производную |
по 0 |
и |
приравнивая |
ее нулю, |
|||
а также приравнивая для этого же луча 0зар = |
см = |
аа выражение |
|||||||
(111.23) к |
sin2 tp, |
получим после существенных преобразований |
|||||||
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin фо |
ро — да |
- |
__ |
|
|
|
|
|
|
— —г— т--------- |
|
|
|
||||
|
|
|
•ро + |
|
Ф |
|
|
|
|
___________ sin <р [sin q> + sin (29ЭПр + |
ф)1_________^ |
s|n |
(111.24) |
||||||
|
1 + cos 20эар — (п 4- 20эаР) Sin ф cos (20айр + |
ф) ^ |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
я (ро — до) cos (203цр + |
ф) |
|
|
(111.25) |
||
|
|
^кр |
sin Ф + |
sin (20зар + |
ф) |
|
|
||
|
|
|
|
|
119
Формула (Ш .25) требует раскрытия неопределенности, полу
чающейся при £ о = 1 , |
так как в |
этом |
случае из выражения |
(III.24) следует, что |
0зар — —ф. |
Если |
эту неопределенность |
раскрыть, то получаем вместо формулы (III.25) известную фор мулу Герсеванова—Фрелиха
|
|
п(ро + с ctg у) |
|
|
(II 1.26) |
|
|
ctg ф— я/ 2 + ф |
Вместе |
с тем |
из формул (III.24) и (III.25) следует, что |
случай Ео = |
1, 0зар = —ф соответствует максимуму ркр* определя |
|
емому по формуле |
(II 1.26). |
|
Таким образом оказывается возможным с помощью зависи |
||
мостей (III.20), |
(Ш .21), (III.24) — (III.26) установить угол |
0зар, определяющий положение зарождающейся пластической об ласти и нагрузку, при которой это зарождение происходит. Дальнейшее повышение нагрузки вызывает увеличение пласти ческой области, а связь между ними для идеально-связной среды дается зависимостью (III. 17) и для общего случая среды, облада ющей трением и сцеплением, зависимостью (III.15). ‘Для того чтобы воспользоваться этими зависимостями, необходимо знать
связь |
между |
ai |
и |
аг. |
В. В. Соколовский [43] рассматривал |
задачу |
при |
£о = |
1 |
и в |
этом случае из-за симметрии считал |
ai = —02. И. В. Федоров (1958) воспользовался, зная предельные значения ai и аг при зарождении и при полном раскрытии пластической области, линейной интерполяционной формулой, имеющей следующий вид:
a . - — |
<111.27) |
Для связи между ai и аг воспользуемся экстремальным принципом, согласно которому зона предельного состояния будет располагаться таким образом, чтобы иметь минимальный возможный размер при одном и том же внешнем усилии. Послед нее равносильно тому, что одному и тому же размеру пласти ческой области должно соответствовать такое возможное ее поло жение, когда внешняя нагрузка будет наибольшей, т. е. по сути дела тем же принципом, которым мы воспользовались при отыска нии начальной критической нагрузки ркр. соответствующей за рождению пластической области. Наложим также очевидное условие, что. с увеличением нагрузки абсолютные значения углов ai и аг не должны уменьшаться. Кроме того, у нас имеются зна
чения начальные ai = |
аг = |
0за„ и конечные для полного раскрытия |
||
области III |
ai = —(я/4 + |
ф/2); |
аг = (л/4 — <р/2), когда фор |
|
мула (III.15) |
обращается в формулу Прандтля |
|||
|
|
Р_____^ , _ |
i + sin<pf „ ,„ |
|
|
Ро + |
ectg<p |
(111.28) |
|
|
1 — sin ф |
Для того чтобы найти недостающую связь между си и аг, следует приравнять нулю производную д р /д (а \ -+* аг) при at —
120