книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

и аналогичные выражения для d&2 и с1ез. Подставляя все это в зависимость (11.20), получим следующее выражение для с\А:

Перейдем теперь к частному, но часто встречающемуся случаю плоской деформации, когда деформация вдоль оси z отсутствует, т. е. сое = 0 и все производные перемещений по z также равны нулю.

Из формул (П.1) имеем:

Из выражений (11.2) и (II.3) для этого случая получим:

'®jr =

Очевидно, что формулы (11.26) и (11.27) недостаточно удоб­ ны для дальнейших выкладок, и более удобно воспользоваться такими:

61

Таким образом,, в зависимости от а и а,- меняется и <оа. Если ж е мы имеем дело с простым нагружением, то тогда оказывается, что в условиях плоской деформации <о0 = const.

Так как в условиях плоской деформации перемещения вдоль оси z отсутствуют, то из зависимости (11.18) получим:

следующие соотношения:

(11.33)

(11.34)

Условие приращения работ будет таким же, как и в формуле (11.22) с той разницей, что сое определится из выражения (11.31) и в явном виде входить в уравнение приращения работы не будет. Очевидно, что при простом нагружении а)е будет величиной постоянной, следовательно do)e = 0 и останутся лишь два сла­ гаемых

d/4 = 3ode -f 2a,de,cos + л/3 — arccos ( (П.35)

Так как обычно (off — постоянная величина, то не изменяется и значение косинуса во втором члене. В частности, если среда

к — любое целое число).

3. НАГРУЗКА И РАЗГРУЗКА

Нагружением тела в теории пластичности [43] называется процесс, в ходе которого во всех точках тела существенно возрастает интенсивность деформации сдвига в,-. В противопо­ ложность этому процесс, при котором во всех точках тела одновременно происходит уменьшение интенсивности деформаций сдвига, именуется разгрузкой или разгружением. В теории пластичности, применительно к которой сформулированы эти определения, введены дополнительные условия. Согласно этим условиям материал считается объемно несжимаемым, а следова­ тельно, процесс разграничивается исключительно состоянием деформации сдвига. Однако целесообразно выразить эти условия применительно к напряжениям.

62

Если воспользоваться формулами Генки [43], то получим,

что

В то же время нагружение, следуя сказанному, определяется условием

Поскольку зависимости между напряжениями и деформа­ циями нелинейны, в общем случае считаем <?=£? (о/, а, о>а), т. е. модуль сдвига является функцией всех трех инвариантов напряжения. Из соотношений (11.37) после дифференцирования имеем

de,=tt^i"i(Sdoi+lfrfa+-&d4*”)]>о- <,и,>

Отсюда следует, что положительным должно быть выражение в квадратных скобках илн, другими словами, нагружение имеет место при

G dG dG d<i)0

da а/ da/ дш da,

(11.42)

da/ dG/да

Частным видом нагружения является простое нагружение. Оно характеризуется возрастанием компонентов напряжения пропорционально одному параметру. В связи с этим при простом нагружении направления главных осей не изменяются в ходе нагружения.

Совершенно очевидно, что простое нагружение в механике грунтов реализуется очень редко. В теории пластичности [23] формулируется также положение о простом нагружении в несколь­ ко ослабленной форме — компоненты не полного тензора напря­ жений, а девиатора напряжений должны возрастать пропорци­ онально одному параметру, чтобы нагружение было простым. При этом требовании главные оси девиатора не изменяют своих направлений, сохраняет свое значение и параметр Лоде (х„, т. е. и угол <а„ также постоянен, а среднее напряжение а может изменяться произвольно. Такое ослабленное требование в теории пластичности допустимо в связи с тем, что объектом

63

изучения в основном являются металлы, на деформируемость и разрушение которых изменение среднего давления влияет достаточно незначительно и им можно пренебрегать. В грунтах изменение среднего давления сказывается значительно сильнее и тем больше его влияние, чем меньше связность грунта, его удельное сцепление.

Испытания образцов грунтов в лабораторных условиях обычно выполняются при их начальном гидростатическом обжатии. Примером тому трехосное испытание сплошных образцов, круче­ ние полых образцов и др. Поэтому их можно рассматривать как испытания, проводящиеся при простом (в ослабленном смысле) нагружении. Рассматривая, например, поведение грунта в осно­ вании сооружения, следует считать, что по мере возрастания нагрузки он претерпевает сложное нагружение, так как до воз­ ведения сооружения он испытывал напряжения только от соб­ ственного веса. Вопрос о том, насколько напряжения в грунтовом массиве близки к гидростатическим, т. е. насколько коэффи­ циент бокового давления грунта в условиях его естественного залегания близок к единице, решается особо. Существуют обо­ снованные мнения, что он действительно в ряде случаев близок к единице, однако имеются экспериментальные исследования, указывающие на отличие и притом существенное этого коэффи­ циента от единицы (Бьеррум, 1972).

4. ПРИМЁНЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Рассмотрим теперь некоторые положения теории пластичности, а также в несколько иной постановке, чем в п. 3, вопрос о нагрузке и разгрузке [30]. В теории пластичности принимается, что в на­ чальной стадии нагружения, когда еще не достигнуто предель­ ное состояние, деформирование тела происходит упруго, а диа­ граммы нагрузки и разгрузки совпадают, поэтому после полной разгрузки тело восстанавливает свои начальные форму и Объем.

До наступления предельного состояния связь между напряже­ ниями и деформациями описывается законом Гука'(см. п. 2), в котором как модуль упругости £ , так и коэффициент Пуассона р являются величинами постоянными. Напряженное состояние определяется тензором напряжений cty. После достижения напря­ жениями некоторой гиперповерхности /т(сг4/) начинают возникать пластические необратимые деформации, причем деформирование может происходить как с упрочнением, так и без него. В последнем случае сразу же возникает пластическое течение.

Вид функции fT(cfij) определяется экспериментально, а по­ скольку рассматриваемая "среда считается изотропной, то вид функции /т не должен изменяться при повороте осей координат. Поэтому условие пластичности записывается в виде функции инвариантов тензора напряжений. В общем виде могут быть введены все три инварианта тензора напряжений:

64

Далее, поскольку всестороннее сжатие не приводит к раз­ рушению материала, то условие пластичности связывается с девиаторами напряжений и вместо выражения (11.43) записыва­ ется условие

и /з (Та) и девиатора напряжений h (D a) и h (D a) зависят от главных

нии напряжениями таких величин, которые соответствуют условию прочности, деформации будут пластическими, необратимыми и, если в какой-то момент деформирование будет приостановлено за счет производимой частично или полностью разгрузки,

впервоначальное состояние тело уже не придет.

Вусловия (11.43) и (11.44), а также в условие прочности

входят прочностные характеристики, т. е. параметры, которые должны быть инвариантными относительно напряженного состоя­ ния. Более сложным будет случай, когда эти характеристики будут функциями деформированного состояния. В теории пластич­ ности в качестве таких характеристик могут быть приняты пределы текучести при одноосных растяжении и сжатии. Этими же характеристиками оперировал и А. И. Боткин, предлагавший

рии пластичности за такую меру принимают обычно работу пластической деформации или параметры Одквиста [36], т. е. работу, связанную с необратимой деформацией.

Для геометрического истолкования условия начала пласти­ ческого течения используется шестимерное пространство компо­ нентов напряжений, в котором каждая точка отображает напря­ женное состояние. В этом пространстве рассматривается тензор напряжений оц, компоненты которого равны компонентам тензора

является уравнением гиперповерхности 2 Т, от которой начинается проявление пластичности. Если точка Л4, отображающая данное напряженное состояние, лежйт внутри контура 2Т, то материал считается деформирующимся упруго, а если эта точка займет

65

М2 Рис. 11.2. Гиперповерхность текучести

положение М\ и разместится на поверхности, то возникнут пластические деформации. Если дальнейшее деформирование бу­ дет идти с упрочнением, то текущая точка М может выйти за пределы контура 2 Т и занять положение М2.

Размеры, а также форма и положение поверхности пластич­ ности зависят не только от конечного деформированного состоя­ ния, но и от всей истории загружения. Чтобы не усложнять рассуждений далее не будет рассматриваться случай упрочняю­ щейся среды.

В теории пластичности* формулируется так называемый по­ стулат Дракера, свидетельствующий о том, что поверхность пластичности должна быть выпуклой. Поэтому если изобразить так называемую октаэдрическую плоскость, перпендикулярную главной диагонали тетраэдра, оси которого совпадают с направ­ лением главных напряжений (рис. П.З), то в этой плоскости поверхность текучести очерчивается любым замкнутым контуром, но он должен быть расположен между двумя шестиугольниками Л И И И И И б и A'tA'sA'aAiA'sA^

Лучи /, 2 и 3 представляют собой проекции осей главных напряжений на октаэдрическую плоскость. Многоугольник А хА 2А ъА\АьАь соответствует условию прочности Треска, а второй многоугольник — условию прочности Хилла. Вписанная по отно­ шению к нему и описанная по отношению к внутреннему шестиугольнику окружность соответствует условию прочности Губера—Мизеса.

В теории пластичности указывается, что если тензор напря­ жений о,у (рис. II.4) получает приращение da*/, то это приращение может приводить либо к разгрузке, если вектор dац направлен внутрь выпуклой, а другой она и не может быть, поверхности нагружения, либо к нагрузке и образованию по достижении этой поверхности пластических деформаций, если вектор направлен в сторону поверхности нагружения и-затем по касательной к ней. Когда вектор da,у оказывается направленным по касательной

66

Рнс. 11.3. Главный тетраэдр и октаэдрическая плоскость

а — сечение тетраэдра октаэдрической плоскостью В1В2В3; б — след сечения предельной

поверхности октаэдрической плоскостью

Рнс. 11.4. Интерпретация нагрузки и разгрузки

с — разгрузка (если do,; < 0); б — нагрузка (если do// > 0); М1М2— нейтральное

нагружение

к поверхности нагружения, то наблюдается случай так называе­ мого нейтрального нагружения.

Вопрос о нагрузке и разгрузке легче рассмотреть сначала в наиболее простом случае одноосного сжатия, при котором подразумевается отсутствие продольного изгиба (рис. II.5). Такая же диаграмма может быть отнесена и к случаю трехосного сжатия образца грунта, предварительно обжатого гидростати­ ческим давлением сто, а затем нагруженного вертикальной на­

67

Рис. 11.5. Напряжения и деформации при трехосном сжатии

произойдет разгрузка и деформации останутся соответствующи­ ми величине ео. Если же мы, начиная от давления of произведем догружение на величину dai, а затем разгрузку до величины о{, то, далее в случае, если ветви нагрузки и разгрузки совпадают, возникнут остаточные деформации. При неупругом поведении тела ветви нагрузки и разгрузки не совпадут.

Затраченная на деформирование работа, отнесенная к объему образца, т. е. равная работе, приходящейся на единичный объем, соответствует площади, заштрихованной на рис. II.5, б. Следовательно получим, что

Так как def > 0, то должно быть d cn /d e? > 0 . Это условие соответствует увеличению oi, т. е. упрочняющемуся материалу.

daidftf < 0;

(11.49)

(о " — a',) de? < 0.

68

Во всех случаях имеем def > 0.

Рассмотрим теперь общий случай напряженного состояния, для чего вернемся к тензору напряжений сг,у и соответствующему ему шестимерному гиперпространству (см. рис. II.4). Нагруже­ ние идет по ОМ, причем до точки М, лежащей_на поверхности 2, которой соответствует напряженное состояние оц. Затем произво­ дится разгружение до точки Mi, которая лежит внутри поверх­ ности пластичности 2 (см. рис. II.4, а). В частном же случае точка Mi может располагаться и на поверхности пластичности (см. рис. 11*4, б). Точке Мi соответствует напряженное состояние вЦ'Мг Таким образом, если из точки Mi идти к точке М, то дефор­ мирование на участке М\М будет упругим.

Далее произведем догрузку до точки Мг, чему будет соответ­ ствовать увеличение тензора напряжений на da<;, которое вызовет, изменение упругой и пластической — обратимой и необратимой деформаций соответственно на deg и deg, после чего произведем разгрузку до точки Mi по какому-либо избранному пути, возможно и не соответствующему пути нагружения.

По постулату Дракера работа добавочных напряжений на возникающих при действии приращениях деформаций за цикл нагружения и разгрузки должна быть положительной:

Здесь тензор напряжений afj соответствует состоянию выхода на предельную гипер­ поверхность. а off, есть тензор, описывающий допредельное состояние.

Работа добавочных напряжений на упругих обратимых

Зависимость (И.52) представляет собой математическую формулировку принципа максимума работы пластической деформации.г Согласно последнему при любом заданном значении компонентов приращения пластической деформации приращение работы пластической деформации a<; deg имеет наибольшее зна­ чение для действительного напряженного состояния по сравнению с любыми другими напряженными состояниями, где не достигнуто предельное состояние, а следовательно f(o,y) < 0.

Далее рассмотрим так называемый в теории пластичности ассоциированный закон течения. В основу этого закона положено совпадение двух поверхностей — поверхности, соответствующей предельному, состоянию и поверхности начала проявления

69

Рис. II.в. Ассоциированный закон пластического течения

свойства текучести материала. До достижения напряжениями предельного состояния деформации являются упругими, после достижения предельного состояния они сразу же становятся пластическими. На компоненты напряжений, следовательно, накладываются условия предельного состояния, т. е. выполня­ ется зависимость (11.45). Кроме того, выполняется только что приводившееся условие максимума функции приращения пласти­ ческой работы d j defy, которое может быть записано в виде

где d& — множитель Лагранжа.

Поэтому получим для det/* следующую зависимость:

Выражение (11.54) есть математическое выражение закона пластического течения ассоциированного (совмещенного) с усло­ вием прочности (пластичности). Из зависимости (11.51) следует, что скалярное произведение двух векторов o/f — aft и deft поло­ жительно, поэтому между ними должен быть острый угол (рис. II.6). Точка М' может быть взята как слева, как показано на рисунке, так и справа от вектора ОМ, поэтому поверхность должна быть выпуклой, а вектор deft направлен вне этой по­ верхности и нормален к ней. Только при выполнении этих двух условий угол между векторами aft — aft и deft будет острым, а следовательно их произведение положительным. Если же вектор deft будет не перпендикулярен к поверхности, то можно всегда найти вектор aft — aft, который подходил бы к нему, под тупым углом.

Известно, что направляющие косинусы нормали к поверх­

70