книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

Рис. 1.1. Область грунтового массива, выпираемого из-под фундамента

а — контур идеальной поверхности скольжения; б — направление главных осей напря­ жений и ориентации площадки скольжения; / — нагрузка; 2 — площадка скольжения

В формулу (1.2) не входит промежуточное главное напряжение 02 (в дальнейшем считаем, что сжимающие напряжения положи­ тельны).

Другим используемым на практике для грунтов условием прочности является условие Боткина [5]. Оно представляет естественное обобщение применительно к грунтам условия прочности Губера—Мизеса [43] и имеет следующий вид:

Очевидно, что вследствйе своей полной симметрии относи­ тельно напряжений, условие (1.4) не нуждается в дополнительном соотношении типа (1.3). В нем характеристиками прочности слу­ жат докт и kOKTt равные по Боткину [5]:

Уместно отметить, что Боткин при описании своего пред­ ложения широко использовал понятие об октаэдрических, т. е. равнонаклонных к главным осям, площадках. Действительно, условие (1.4) совершенно равноценно следующему выражению:

Между условиями (1.4) и (1.2) имеется принципиальная разница. Она заключается в том, что при выводе зависимости

21

(1.2) используется условие отыскания максимума, т\ е. отыски­ вается наиболее опасная площадка, на которой сопротивление сдвигу оказывается полностью мобилизованным, а на всех осталь­ ных площадках предельное сопротивление сдвигу больше дей­ ствующего касательного напряжения.

При записи условия (1.4) отыскание максимума не произво­ дится, условие записывается формально и физический смысл в нем приходится искать уже иной. Во всяком случае октаэдрическая площадка — это не наиболее опасная площадка, поэтому можно говорить о том, что предельное состояние по Боткину наступает тогда, когда касательное и нормальное напряжения на октаэдри­ ческой площадке удовлетворяют зависимости (1.3). Но при этом могут быть площадки, где левая часть зависимости (1.6) отри­ цательна, т. е. более «опасные» площадки, в то время как функция F1 по разности (1.1) при использовании условия Мора нигде не может быть отрицательной.

Говоря о физических трактовках, нельзя не остановиться на предложениях для второго инварианта девиатора напряжений В. В. Новожилова [23] и С. Д. Пономарева (1953). Кроме того, есть и другие толкования [30]. Согласно В. В. Новожилову, разыскивается среднее касательное напряжение в точке, которое является результатом интегрирования по сфере малого радиуса. Это среднее касательное напряжение определяется формулой

Для того чтобы исключить знак касательного напряжения, В. В. Новожилов интегрирование т„, как видно из формулы (1.8), заменяет интегрированием квадрата касательного напря­ жения. Таким образом, физически оправданное интегрирование силы тnd£i заменяется интегрированием функции тidQ. Поскольку напряжения на всех площадках он считает при этом равноправ­ ными, интегрирование производится по сферической, а не по ка­ кой-либо другой поверхности. Для получения в итоге напряжения, а не квадрата его, из результату извлекается корень. Вследствие

с величиной, равной корню квадратному из минимального среднеквадратичного отклонения главных напряжений oi, ai, 03 от среднего напряжения оокт, выражающегося формулой (1.7).

Использование В. В. Новожиловым квадрата касательного напряжения избавило от необходимости учета знака касательного напряжения, однако принесло ущерб физическому смыслу сред­ него напряжения, так как в данном случае оперирование средне­ арифметическими величинами без «веса» величин более оправда­ но, чем оперирование средними значениями, взятыми с «весом», равным ординате. Среднее напряжение, вычисленное через

22

и

Рис. 1.2. Поверхность скольжения а — расположение идеальной 1 и реальной 2 поверхностей скольжения в плоскости аг,

перпендикулярной идеальной поверхности сдвига а|Оз; б — элемент статистически равновероятной поверхности скольжения (/ — сечение плоскостью 0|Оз)

квадраты величин, будет большим, чем среднее напряжение, определенное простым интегрированием выражения, содержащего напряжения в первой степени. Поэтому фактическое касательное напряжение оказывается меньше, чем установленное по предло­ жению В. В. Новожилова. Вместе с тем интегрирование квадрата напряжения является простым, так как все интегралы оказываются берущимися, в то время как при интегрировании касательного напряжения в первой степени подынтегральная функция оказывается иррациональной.

Рассмотрим теперь механическую теорию прочности, с по­ мощью которой представляется возможным выявить влияние изменения напряженного состояния грунта на его прочность при практически неизменном физическом состоянии.

В теории предельного равновесия обычно принимается одно­ родность сыпучей среды и тем самым предполагается, что скольжение кинематически возможно именно по той площадке, длц которой выполняется условие (1.1) при Fi = 0. В действи­ тельности сыпучая среда является однородной лишь в том смысле, что сдвиг в ней возможен вдоль контактов частиц, без среза самих частиц (рис. 1.2, а).

При срезе в условиях плоской деформации теоретические поверхности скольжения принимаются цилиндрическими с прямо­ линейной образующей, параллельной оси главных напряжений 02 (рис. 1.2, б). Практически же это будет не прямая, а ломаная линия, так как ее слёдует проводить огибая частицы по контактам, а не пересекая их. Площадки сдвига отклоняются рт средней линии на различные углы, значения которых в каждом ртдедодрм случае, естественно, цецз^естцы. Можно, например, считать (МадьццеДг }963)> что. угол наклона А равновероятен в интервале от —Ai до Ai (где itAi — наибольшие углы отклонения) и, таким образом, все промежуточные значения углов заключены в преде­ лах —'A i< ;A < ;A |. Такую равновероятность можно допустить лишь в первоначальный момент др начала сдвига, так как э

23

дальнейшем произойдет переориентирование частиц и равноверо­ ятность наклона уже не будет иметь места, а функция распределе­ ния этих углов в процессе сдвига будет меняться. Естественно предположить, что значения углов отклонения частиц вследствие переориентации уменьшаются. Это будет соответствовать раз­ уплотнению грунта при сдвиге.

Если обозначить произвольный угол наклона площадки А, то в случае равновероятности наклона получим дугу окружности (см. рис. 1.2,6). В последующем при сдвиге число площадок с малыми значениями А будет увеличиваться, а с большими — уменьшаться. Таким образом функция распределения окажется зависящей от деформации, от перемещения, которое будет реали­ зовываться к рассматриваемому моменту. Зависимость Мора (1.2) можно получить, считая, что для всех площадок, имеющих наклон А = О, вероятность равна единице, а для случая А Ф О она равна нулю. Если ввести в данном случае функцию распре­ деления площадок /(А), то среднее значение квадрата направ­ ляющего косинуса

При введении функции распределения /(А) нет необходимости ограничиваться пределами интегрирования ± А , можно считать их изменяющимися от —я /2 до я /2, так как А| войдет в функцию f(А). Отыскание функции распределения сведется к решению интегрального уравнения [76], т. е. к задаче достаточно сложной. Здесь следует отметить, что ранее вопрос о совпадаемости отдельных площадок скольжения и осредненной линии скольже­ ния обсуждался В. Кьельманом (1955). Функция f(А) представ­ ляется неопределенной. В дальнейшем будем пользоваться осредненными значениями направляющих косинусов, и сам по себе вид функции /(А) не будет влиять на конечный результат, хотя отыскание его для построения стройной логической модели грунта может иметь самостоятельный интерес.

Для того чтобы провести необходимые осреднения направляю­ щих косинусов, следует записать выражения для касательного

Между косинусами имеет место известное соотношение

24

Рис. 1.3. Расположение реальных / и идеальных 2 площадок скольжения в плоскостях

0|0Э И 0102

Зависимость (1.11) может быть представлена также в еле-. дующем, удобном для дальнейших преобразований виде:

следующие выражения для направляющих косинусов, соответ­ ствующих площадкам скольжения:

Д/ реальной площадки скольжения в направлении усилия сдвига, действующего по .направлению скольжения (рис. 1.3), и Дт в направлении, перпендикулярном этому усилию, то вместо выра­ жения (1.19) получим:

25

Величина s в этом случае определится из выражения (1.13). Будем считать, что значения направляющих косинусов, опре­ деляемые формулами (1-20) и (1.21) , соответствуют некоторым их средним значениям. Вообще, единственного подхода для опре­

деления среднего значения не имеется.

Перейдем к непосредственному выводу условия прочности, используя выражение (1.1) и предварительно несколько пре­ образуя его следующим образом. Сначала введем значения приведенных напряжений, которые позволяют в дальнейшем не записывать слагаемые, включающие сцепление

Как известно, в предельном, состоянии F\ = 0, поэтому для освобождения от радикала, получающегося при подстановке выра­ жения (124) в формулу (1.25), лучше воспользоваться функцией F3 в следующем виде:

(1.26) получим после преобразований уравнение второй степени

Если идти обычным путем, т. е. так, как принято в теории предельного равновесия сыпучей среды, то следует взять от вы­ ражения (1.27) частные производные по I и т, как от неявной функции с учетом (М 3 ), и приравнять их нулю, что даст зависи­ мости (1.20) и (121), а для s получить следующее выражение:

В силу условия (1,13), величины Дц Дан, Д* не являются про­ извольными, а связаны между собой

В дальнейшем можно обойтись без этой формулы, поэтому будем учитывать лишь зависимости (1.20) и (1.2 1),

В условие (1.27) входит промежуточное главное напряже­ ние. Поскольку принимаем условие (1.3), удобна ввести либо параметр Лоде [35]

= (202 — OI — аз)/(а| — аз) = (2ог — oi — аз)/(о1 — оз)» (1-30)

либо связанный с ним параметр

После существенных преобразований, в том числе потребовавших

Возвратимся к направляющим косинусам / и т , понимая под ними некоторые их средние значения, приближающиеся к точным, т. е. к тем, которые определяются зависимостями (М 9). Если за средние принять значения, определяемые формулами (МО) и (1.21), то вместо выражения (1.15) получим::

Если обратиться к зависимости (МО) при функции распре­ деления /(Д) = 1 (Малышев, 1963), то

" • ' ■ - i O - T f ) - ! 11- * *

(1,36)

где А* ц Да ~ значения угда А, в пределах которых ведется осреднение-

Следовательно, из выражений (1.3.3) и (1.36) вытекает, что

sin <рг = У sin ф. (I.a7)t

Далее следует зависимости (1.35) и (1.36) подставить в выражение (1.32). Зависимость (1.32) может быть упрошена, В левой части имеем

(а ( — 5 э)/(а1 + а з )= sin ф(.. (l.asy

Воли обозначим

(2!2 + 2ц?от* - »)/■ ~ 1 > = «п Ч*, (1.391

27

то получим

Таким образом, находим связь между углом внутреннего трения по Мору—Кулону ф при разных значениях параметра Лоде р0 или pi, обозначенным срИ1, и углом внутреннего трения при трехосном сжатии, обозначенным фо. Отсюда следует, что предложенная концепция приводит к выводу о том, что угол внутреннего трения по Мору не является величиной, инвари­ антной по отношению к виду напряженного состояния, характе­ ризуемому параметром pi, а зависит от него. В качестве пара­ метров, не зависящих от напряженного состояния, в результа­ тивных формулах (1.46) и (1.47) введены ф, X и У, т. е. имеются три параметра вместо одного. Естественно, что пользуясь тремя параметрами вместо одного, можно значительно лучше удовлет­ ворить экспериментальным данным.

28

Вместе с тем видим, что при постоянном \ц в пределах какой-либо рассматриваемой задачи значение ср^, оказывается также постоянным. Например, это относится к случаю плоской деформации, где, полагая pi постоянным, т. е. не зависящим от напряженного состояния для всей рассматриваемой области, можно воспользоваться имеющимся аппаратом теории предельно­ го равновесия сыпучей среды без переработки его в целях приближения к реальным условиям разрушения грунтов [66]. Этот вывод имеет большое практическое значение.

3. СОПОСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИИ ПРОЧНОСТИ ГРУНТОВ

Для описания напряженного состояния грунтовых массивов обычно используются зависимости механики сплошной среды. Приведем ниже ряд формул, необходимых для дальнейшего изложения.

В любой точке сплошной среды напряженное состояние опре­ деляется с помощью симметричного тензора второго ранга [23]:

О х Тху Тхг Оу ъ* Тхг Туг О ,

где с*, оу, <TZ — нормальные, хяу, хуг, т*д — касательные компоненты напряжений.

Напряжения считаются приложенными к площадкам, плоско­ сти которых перпендикулярны соответствующим координатным осям х, у , г.

Если имеется площадка с нормалью я, проведенная через точку %М (рис. 1.4), то полное напряжение р, действующее на эту площадку, представляет собой вектор, проекции которого на координатную оси следующие:

В каждой точке существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения оказываются равными нулю. Нормальные напряжения, действующие на эти

29

У

площадки, называются главными. Трехгранник х,у-9г (см. рис. 1.4) всегда можно повернуть таким образом, чтобы новые направле­ ния * \ у \ £ стали направлениями главных осей. Обозначим главные напряжения -ои Ог, сгз, причем для них характерно соотно­

Нормальные оп и касательные тл напряжения, очевидно, не могут зависеть от выбора системы координат, изменяясь только с изменением рассматриваемой площадки. Следует отме­ тить, что главные напряжения oi, 02, 03 в рассматриваемой точке инвариантны по отношению к избранной системе координат, т. е. не зависят от ее поворота. Для отыскания инвариантов

где oi — корень рассматриваемого уравнения.

Раскрывая определитель (1.54), получаем кубическое уравне­ ние относительно а,:'

называются инвариантами тензора напряжений и обозначаются:

(1.56)

30