книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

как легко убедиться, имеет максимум при у0кт = Ую а далее значения т0КТ падают. Это отвечает экспериментальным данным [3]. Вопрос только о количественном значении падения сопро­ тивления сдвигу, связанному с дилатансией.

Два частных случая приведенной обобщенной зависимости рассмотрены нами в литературе [321. Если принять л = 1, полу­ чим:

Go = А (сУокг^"Н Н)/Вц\ — А ((Такт “Ь Я )/Go;

Однако в ряде случаев целесообразно выразить их через напря­ жения. Для непосредственных зависимостей А. И. Боткина это сделать сравнительно просто. Разрешая относительно у0Кт зависимость (11.84) и учитывая выражение (11.89), находим:

. ТоктВ

А (войт"Ъ Я) -- Токт

________________ Т ОКТ___________________ Токт

Разрешая зависимость (11.52) относительно деформации у01СТ, получим следующее выражение:

Переходим к модулю объемного сжатия. Здесь необходимо наметить связь между первыми инвариантами тензоров напря­ жений и деформаций. Возвращаясь к принятым обозначениям, имеем

где К — модуль объемного сжатия.

Боткин предлагал в первом приближении этот модуль считать постоянным. При существенных величинах изменения напряже­ ний очевидно, что модуль будет увеличиваться, а деформируе­ мость уменьшаться, что характерно для грунтов. Предлагалась степенная связь между этими величинами или иная. Переходя к средним напряжениям, введенным ранее, перепишем зависи­ мость (II.93):

В первом приближении можно считать К линейной функцией

81

Сюда входит дополнительный опытный параметр си. Объем­ ная деформация

модуль объемного сжатия. Касательный модуль объемного сжа­ тия в данном случае будет

Касательный и секущий модули объемного сжатия позволяют установить величину объемного сжатия в зависимости от увели­ чивающегося среднего напряжения. Однако многочисленные исследования, проведенные с грунтами, показали, что им присуще свойство дилатансии. Понятие это было введено еще Рейнольдсом [35].

Дилатансия — это изменение объема (увеличение объема) при сдвиге. Большинству грунтов в той или иной степени при­ суще это свойство. Грунты достаточно плотного сложения при сдвиге начинают увеличиваться в объеме, грунты рыхлого сло­ жения, обладающие большой начальной пористостью, уменьша­ ются в объеме при сдвиге. Таким образом, объемная дефор­ мация оказывается функцией деформации сдвига. Особо четко эта связь устанавливается с помощью пластического потенциала, позволяющего установить зависимость между скоростями дефор­ мирования и напряжениями в предельно напряженной сыпучей среде. Однако, если находиться в рамках жесткопластичной среды, то скорости деформации и сами деформации прямо пропорциональны, а абсолютные величины последних за­ висят лишь от времени действия напряжений. В теории пластического потенциала получено [32], что для сыпучей среды, для которой в предельном состоянии согласно предыду­ щему (Н = 0) f = 1,

соотношение между скоростями деформации изменения объема дилатансии и деформаций сдвига следующее:

Разрушение грунта при сдвиге обусловлено разрушением междучастичных связей, носящим при возрастании касательных

82

напряжений прогрессирующий характер. Разрушение между-ч частичных связей начинается практически с момента приложения сдвигающих усилий и достигает глобального характера при на­ ступлении предельного состояния. Если ввести коэффициент дилатансии ct2, являющийся безразмерной положительной величиной, то можно записать для дилатантной части объемной деформации соотношение

6д = <*2 YOKT* (11.103)

В случае отмеченного пластического потенциала получим а2= Л, а общая деформация в будет слагаться суммой дилатантной деформации ед и деформации объемного сжатия еу:

отличаться от Л, быть менее, чем А. Если учесть, что предельное состояние развивается с увеличением значения f, которое при наступлении этого состояния оказывается равным единице, причем началу дилатансии может соответствовать начальное

Большой интерес представляет случай плоской деформации. Рассмотрим его особо. Сначала проанализируем связь между напряжениями и деформациями, поставив условие, чтобы в пре­ дельном случае был переход к условию прочности Мора. Из теории предельного равновесия сыпучей среды [42] известно, что по площадке сдвига действуют касательное т„ и нормальное <т„ напряжения:

2

Отсюда видно, что касательное напряжение есть функция разности главных напряжений, а нормальное напряжение, действующее по площадке сдвига, является функцией суммы главных напряжений.

Обратимся снова к выражению (11.84) для связи октаэдри­ ческого касательного напряжения т0К и деформации сдвига УоКТ, данному Боткиным.

Очевидно, если принять, что для плоской деформации роль токт играет a i— аз, роль а окг выполняет ai + аз, а роль А осу­ ществляет sin ср, произведение AN должно перейти в 2c*ctg9. Наконец, роль уокт выполняет разность г\ — ез. Поэтому можно записать:

а, — а3 = (ai + 2с ctg ф) sin ф (ei — ез)/[В + (si — ез)]. (11.107)

83

Таким образом, здесь получены формулы, позволяющие определить значения модулей сдвига — секущего и касательного.

В заключение приведем для инвариантов напряжений / |,л /2.г и для параметра Лоде ц„ следующие зависимости:

85

Далее следует связать напряжения с деформациями. Для этой цели воспользуемся следующими зависимостями:

Соотношения между деформационными параметрами (модулем ’деформации Е, коэффициентом Пуассона р, модулем сдвига G и модулем объемной деформации К) следующие:

Основываясь на этих зависимостях, в публикации [32] рас­ смотрена задача о цилиндре, находящемся в условиях ограни­ ченного бокового расширения при нелинейной зависимости между деформациями и напряжениями (где р — вертикальное давление и q — боковое давление). Полученные в этом решении результаты свидетельствуют о том, что с увеличением давления сжимаемость уменьшается и это хорошо известный факт, наблюдаемый при проведении опытов о грунтами в одометрах.

8. МЕТОД РАСЧЕТА ОСАДОК ФУНДАМЕНТОВ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ

Для расчета осадок сооружений Н. А. Цытовичем [53] был предложен метод, названный автором методом эквивалентного слоя. Целью этого предложения является замена трехмерной задачи одномерной с учетом того, что последняя позволяет

86

получить относительно просто требуемое решение. Однако такая замена ведет к сравнению двух задач, в которых внутри рас­ сматриваемого массива имеет место различное напряженное состояние.

Предполагается, что внешний эффект в данном случае должен быть одинаковым и, исходя из этого, выявляется соотношение геометрических размеров областей, которые сопоставляются на

в пределах прямоугольной площадки действует нагрузка, распре­

Толщина слоя подбирается таким образом, чтобы осадки поверхности в том и другом случае были одинаковы. Для полу­ пространства приравнивается максимальная осадка, которая про­ исходит в центре загруженной площадки, а если рассматрива­ ется абсолютно жесткий штамп, то берется осадка этого штампа. Возможно также приравнивание средней осадки, получаемой делением объема эпюры осадки на площадь, по которой дей­ ствует нагрузка. Естественно, что принимается в одном (полу­ пространство) и в другом (слой) случаях линейно-деформиру- емый грунт. После приравнивания осадок из одного и другого ре­ шения получаем толщину слоя Лэ, в пределах которого по­ лучается та же осадка. Совершенно естественно, что, если бы мы, пользуясь моделью слоя и величиной Лэ, вычисляли осадку для однородного слоя, то получили бы ее в точности такой же, как и при расчете для полупространства. Разница в осадках будет лишь при наличии разнородных слоев, чего мы здесь касаться не будем. Укажем лишь, что для этого случая прямо­ угольная эпюра предварительно заменяется на треугольную той же площади с целью приближения ее по очертанию к эпюре для линейно-деформируемого полупространства. Замену однород­ ной сжимаемой толщи слоистой по этому способу следует рассматривать как инженерный прием, не более.

Таким образом, если согласно решению теории упругости — теории линейно-деформируемой среды [53]

получим после преобразований выражение для йэ в следующем виде:

87

Если развить далее идею такого эквивалента и заменить, например, полупространство эквивалентным столбом (идея такой замены была высказана М. Н. Гольдштейном [14]), то можно в этом случае получить

устойчивой по отношению к изменению ц, чем А,. Наконец, имеем, что с увеличением ц значение Л, неограниченно воз­ растает, в то время как значение AJ снижается. Пользуясь

88

Рис. 11.12. Идеальные диаграммы зависимости осадки от нагрузки

формулами теории упругости, можно получить выражение для й* определяя Л" применительно к случаю, когда кроме верти­ кального давления действует боковое давление q. Производя ана­ логичное приравнивание осадок, получим:

связывающим напряжения и деформации, можно получить для

невозможности бокового расширения. При ограниченном боковом расширении будем иметь промежуточное значение высоты столба.

Выше рассматривался столб грунта. Невозможность бокового расширения является частным случаем такого столба, а не слоя с безграничной шириной для грунта, который деформируется линейно.

Для линейно-деформируемого грунта зависимость осадки s от нагрузки р представлена на рис. 11.12, где прямая / — соответ­ ствует невозможности бокового расширения, прямая 2 — воз­ можности свободного бокового расширения и прямая 3 — разру­ шению, потере несущей способности. В этом случае высота столба й принята одинаковой.

Если принять ее различной, в соответствии с формулами

89

хованная часть на рис. 11.12, а получается лишь за счет возмож­

который сначала находится в условиях невозможности бокового расширения, а потом, начиная с некоторого момента (точка Я), имеет возможность свободно расшириться в сторону и затем в точке К разрушается, то получится зависимость, представленная на рис. 11.12, а. Если столб состоит из нелинейно-деформируе- мого материала, то на участках 1 и 2 будут иметь место отрезки прямых. Перелом в графике в точке Н вызван обеспечением

модели столба для расчета осадки с учетом нелинейной деформируемости грунта. Для этого введем допущения, основан­ ные на следующих предположениях.

1. Если считать нагрузку на фундаменты равномерно рас­ пределенной, то известно, что образование области пластической деформации, точнее ее зарождение, начинается при давлении /?, именуемом краевой критической нагрузкой и определяемом при коэффициенте бокового давления грунта в условиях естествен­ ного залегания £о, равном единице, по формуле Пузыревского—

Герсеванова—Фрелиха [53]:

рождается позднее, чем во всех остальных случаях. Зарождение пластической области начинается в точках А и В (см. рис. 11.13). Будем считать так же, как это принято в методе эквивалентного слоя, что до нагрузки р', т. е. при р <. р' эквивалентный столб грунта, дающий ту же осадку, что и полупространство, находится в условиях бокового расширения. Одновременно, так же как и в практически используемых расчетных столбах, будем считать, что при давлениях р < рпр осадка практически не происходит, так как грунт был уже ранее обжат природным давлением и деформации от него произошли ранее. Следова­ тельно, на кривой «осадка— нагрузка» имеем начальный участок (рис. 11.14).

2. При дальнейшем увеличении нагрузки на участке р > р„р переходим к условиям ограниченного бокового расширения, Когда'будет достигнута нагрузка р", соответствующая исчерпанию несущей способности основания, осадка возрастет до бесконеч­ ности. Следовательно, боковое давление q" должно быть определе­

но из условия разрушения эквивалентного столба грунта.

90