книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

ности, совпадающей в нашем случае с вектором defy, пропор­ циональны частным производным уравнения поверхности по со­ ответствующим координатам, поэтому имеет место уравнение (11.54). При ассоциированном законе пластического течения по­ верхность течения / т совпадает с поверхностью [, которая входит

в условие (11.54). В теории пластичности, в которой принимается, что прочность материалов можно считать не зависящей от среднего напряжения, функция fr не включает первого инварианта тензора напряжений а/,. Вследствие этого в процессе пластического деформирования получается отсутствующим изменение объема

Поэтому тензор приращения пластической деформации рас­ сматривается уже как девиатор. Входящая в условие (И.54) величина dA. положительна, поэтому для материалов с упрочне­ нием имеем:

o<J(j

Когда имеет место разгрузка, для тех же материалов с упроч-' нением получим:

причем конец вектора напряжения перемещается по поверхности пластичности и наблюдается так называемое нейтральное нагру­ жение. Для нейтрального нагружения, что особенно важно, закономерности пластичности и упругости должны совпадать, т. е. вследствие соблюдения условия непрерывности при нейтральном нагружении должны возникать только упругие деформации.

В практически важном случае отсутствия упрочнения, когда поведение материала описывается идеальной диаграммой Прандтля, поверхность пластичности совпадает с поверхностью начала пластичности и нейтральное нагружение представляется основным способом нагружения, при котором нарастают пласти­ ческие деформации. При нагружении имеют место зависимости (11.58), а при разгрузке (11.57). Если, поверхность зависимости является гладкой, регулярной, т. е. касательная к ней плоскость непрерывно и плавно поворачивается, то в каждой точке имеется единственная нормаль к поверхности пластичности. Если же по­ верхность пластичности сингулярна, имеет ребра или вершины, то единственной нормали в месте излома поверхности провести нельзя.

71

б)

Это обстоятельство можно иллюстрировать применением призматических поверхностей Треска— Сен-Венана или Хилла [30]. Использование этих условий прочности, являющихся достаточно простыми, позволяет получить сравнительно простые решения практически важных задач. Условие (11.54) в этом случае должно быть дополнено условиями течения на ребрах призмы. Доказывается, что пластическое течение на ребрах определя­ ется линейной комбинацией течений на плоскостях, следами се­ чения которых являются эти ребра. Если ребро образуется пересе­ чением двух поверхностей пластичности с уравнениями

fi(a,/)= 0; /2(ст17) = 0,

то для ребра условие относительного максимума функции приращения пластической работы a*/ defy будет следующим:

(11.59)

ИЛИ

(И.60)

Течение на этом ребре развивается по направлению внутри угла, образованного нормалями к обеим смежным граням (рис. II.7, а). Рассмотрим течение для точек, лежащих на ребре шестигранной призмы Треска— Сен-Венана без упрочнения, след сечения которой на девиаторной плоскости представляется пра­ вильным шестиугольником ABCDEN (рис. 11,7,6). Если рас­ смотреть точку N, лежащую на пересечении A N и|EN, то уравне­ ния соответствующих граней призмы будут:

M<J| — Оз — от) = 0; f2(o2— аз — ат) = 0.

72

Далее для одной грани по условию (11.54) имёем:

def : def : de§ = I : 0 : — 1; de? = dXi,

а для другой грани получим:

def : de§ : de§ = 0 :1 : - l ; de§ = dX2.

Следовательно, для угловой точки будем иметь:

def = dXi; de& = dX2; de§ = -(d X , + dX2).

Для различных принимаемых законов изменения поверхности пластичности предложены разные теории пластичности, которые подробно описаны в курсах теории пластичности {30], а также у Надаи [35, 36] и здесь не приводятся.

5. МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ

Определим, следуя М. Рейнеру [40], понятия мёры деформа­ ции. Единой меры деформации не существует, однако мы обычно используем определение деформации .по Коши. Разберем в ка­ честве основного случай сжатия кубика, имевшего 1первоначальную высоту Ао, при свободном его боковом | расширении. В результате деформирования кубика верхний его ррец опуска­ ется на величину s (осадка), после чего высота ег*о уменьшается до величины h (рис. II.8). Обозначим относительную деформацию по Коши как

ния материалов деформации сжатия принято считать положи­ тельными, величину s будем считать положительной}

В качестве меры деформации можно принять любую функцию от Хз, лишь бы она обращалась в нуль, когда А,з=1. Мера деформации должна быть обязательно безразмерно^ величиной. Таким образом, если относительную деформацию обозначить е, то'отмеченные условия дают:

(11.62) может быть предложено достаточно много, поэтому тре­ буется введение логических обоснований и соблюдение удобства для дальнейшего использования. Простейший случай линейной функции (11.61) дает меру деформации по Коши. Хотя и сложной, но логически обоснованной будет мера деформации по Генки:

Обоснованием применения меры по Коши служит ее просто­ та и удобство. У Генки выражение более сложное, однако оно по­ лучено из следующих соображений. Он считал, что для получе-

73

Рис. 11.8. Сжатие столба грунта

ния относительной деформации следует приращение длины (в нашем случае укорочение) относить не к первоначальной длине, а к текущей и затем взять интеграл. Таким образом получим:

т. е. выражение (11.63). Показано [40], что по Генки относитель­ ные деформации образуют группу, в то время как по Коши такой группы не образуется. Действительно, если мы деформи­ руем наш кубик с первоначальной длиной Ло сначала на величину As, а затем снова на As, то относительная деформация по Коши составит:

Если бы мы деформировали кубик сразу на суммарную величину 2As, то получили бы

так как (Ло — s/2 ) / (Ло — s) Ф 1.

Следовательно, здесь группа не образуется, в то время как при определении деформации по Генки она имеет место. Действи­

74

Кроме указанных мер деформации предложены и другие: Свайнгером ес, Грином еГр, Альманси еА. Они определяются следующим образом [40]:

(11.70)

_ __(2 — ек) ек

2(1 - е к)2'

Во всех случаях выполняются условия (11.62). При малых деформациях, когда ек мало, разница между всеми методами деформации незначительна:

Ч « «с » 8Гр * Ч при е* -*■0.

Приведем связь между деформацией по Коши, по Генки и по другим авторам в зависимости от ек (табл: 11.1).

Таким образом, деформация по Генки численно больше, чем по Коши, и, например, когда деформация по Коши составляет

6. КОЭФФИЦИЕНТ БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТОВ

Коэффициент бокового давления |, под которым часто понимается отношение главных напряжений, и коэффициент по­ перечных деформаций, именуемый коэффициентом Пуассона р, связаны следующей зависимостью [53]:

Эта формула справедлива для случая, когда две главные ■Деформации равны нулю, что, например, наблюдается при испы­ тании грунта в одометре.

Рассмотрим случай, когда грунт имеет возможность дефор­ мироваться не только в одном направлении (вертикальном), а в двух или трех направлениях. Под коэффициентом бокового давления более правильно понимать не отношение главных на-

75

пряжений, а отношение их приращений, как было предложено Герсевановым [10]. При использовании модели линейно-дефор- мируемого грунта и простом нагружении отношения главных напряжений и отношение их приращений одинаковы.

Выясним далее, каким образом будут связаны отношения главных напряжений или их приращений, если возможны боковые деформации. Законом Гука [49] воспользуемся в сле­ дующей записи:

где G — модуль сдвига.

Полагаем, что напряжения или их приращения связаны между собой условием <Ji > аз ^ оз или dai > da2^ da3. Далее введем коэффициенты бокового давления следующим образом:

Разделив в правой части зависимостей (11.72) все члены на ei, получим с учетом выражения (11.73):

ь-[* +т ^ '+ 5 )]/['+т^<5 +5 >Ь

(11.74)

ь-[?+тЬ<,+5 )]/[,+т^(г+5 )]

Формулы (11.74) являются достаточно общими и показывают изменение коэффициентов бокового давления или деформации, возможной во всех трех направлениях (Малышев, 1958). Если рассмотреть случай плоской деформации, когда одна из деформаций невозможна, например &2 = 0, то из формул (11.74) получим:

И - [ ? + т Ь М ‘ + Т ^

(11.75)

■ - [ т ^ т О + е М ' + т + г г ] )

Если в формулах (11.75) положить ез = 0, то получим хорошо известную зависимость (11.71). На рис. II.9, а представлены кри­ вые зависимости U и £з от отношений главных деформаций ег/ei для случая .плоской деформации.

76

Рис* 11.9. Зависимость коэффициентов Ы, IS и ^ от вз/ei

1 — ц = 0,2; 2 — §i = 0,3; 3 — ц = 0,4; сплошные линии — для IS и gft штриховые —

для |э

^ = iy = r _ J _ ii + _ iL _ l/r i + 2- ~ ——1 =

построены для значений р, изменяющегося от 0 до 0,5. Поскольку направления деформаций ei и е3) как правило, различ­

формаций должно быть отрицательным или нулевым.

Из кривых рис. II.9 следует, что коэффициент бокового давле­ ния с увеличением деформации в горизонтальном направлении резко уменьшается. Эти результаты могут быть применены при обработке данных испытаний грунтов в приборах трехосного сжатия, а также при расчете давления на подпорные стены и в других случаях, где имеет место ограниченное расширение грунта. Полученные выше формулы пригодны также и для грунтов с нелинейной деформируемостью, но обладающих изотропными свойствами.

77

7. ЭМПИРИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ

А. И. Боткин сформулировал свое условие прочности [5], являющееся обобщением условия прочности Мизеса— Шлейхера и связывающее с помощью линейной функции касательное и нормальное напряжения, действующие на октаэдрической площадке в предельном состоянии. Другими словами, он считал, что в предельном состоянии должно выполняться условие

Зависимость (11.77) можно представить через инварианты напряжений / \tT и 1%D, определяющиеся зависимостями:

Таким образом условие (11.77), как и обычно в большинстве теорий прочности [35], формулируется в напряжениях. А. И. Бот­ кин кроме условия прочности, т. е. предела, связывающего напряжения между собой, рассматривал вопросы деформирова­ ния грунтов и предложил нелинейные зависимости, связывающие напряжения и деформации и имеющие вполне конкретный вид. Предложения Боткина были сделаны в рамках зависимостей Генки и конкретизировали их.

Боткин предполагал для грунтов справедливым условие со­ осности главных осей напряжений и деформаций. Зависимости между напряжениями и деформациями обычно устанавлива­ ются экспериментальным путем. Боткин не располагал большим экспериментальным материалом и аппаратурой для проведения опытов, где можно было бы создавать любое напряженное состояние. Приборы с независимым регулированием главных напряжений появились намного позже (Ломизе, Крыжановский, 1966). Однако Боткин, располагая данными испытаний грунтов на приборах трехосного сжатия, предложил зависимость между сдвиговыми напряжениями и деформациями в виде дробно-ли­ нейной функции. Таким образом, им было дано довольно простое выражение для модуля сдвига грунта, а модуль объемного сжатия он предлагал считать постоянным, что в первом приближении может быть оправдано.

К большой заслуге Боткина относится то, что он связал деформирование с прочностью, так как нарушению прочности в грунте предшествует значительное деформирование. Поскольку главным видом разрушения грунтов является сдвиг, то разруше­ ние от сдвига оказывается зависящим от развития сдвиговых деформаций и тесно связано с ним.

Рассмотрим здесь зависимость для модуля сдвига, предла­ гавшуюся А. И. Боткиным. По-прежнему считаем:

78

Если рассматривается линейная зависимость между напряже­ ниями и деформациями (рис. 11.10), то секущий и касательный модули сдвига совпадают между собой, т. е. Осе* = £?кас- В том

случае, когда эта зависимость криволинейна, они будут разли­ чаться между собой, так как

Это обстоятельство является весьма важным, так как оно связы­ вает деформационные и прочностные условия, причем параметр А представляет собой тангенс «октаэдрического угла внутрен-

79

Рис. 11.10. Линейная зааисимость между

Токт И у окт

Рис. 11.11. Нелинейная зависимость между

Токт И YoiCT

а — угол наклона хорды; р — угол наклона касательной

него трения», а произведение АН — «октаэдрическое сцепление». Следует повторить, что эти величины являются только параметра­ ми, так как октаэдрическая площадка не является наиболее опасной, о чем говорилось в гл. I.

Необходимо обратить внимание на величину у0кт. В теории деформаций принимается условие ее малости по сравнению с единицей. Формулами Коши (II. 1) допускается пользоваться лишь в том случае, когда деформации малы, в противном слу­ чае следует обращаться к конечным деформациям, что сущест­ венно осложняет.дело. Особая сложность возникает, если мы бу­ дем пользоваться логарифмическими деформациями и другими определениями деформаций (см. гл. 11х п. 5). Поэтому всегда желательно, если это позволительно по условиям рассматрива­ емой задачи, пользоваться теорией малых деформаций и мерой деформаций по Коши.

В связи со сказанным представляется недостаточно удачной запись для модуля сдвига GceK, данная Боткиным. Она нужда­ ется в обобщении в том смысле, что разрушение следует полагать происходящим не при Уокт'-^ а при каком-то конеч­ ном значении уокт, которое обозначим через ук. В принципе воспользуемся также дробно-линейной функцией и поставим условие, чтобы в частном случае при ук->-оо она обращалась бы в зависимость Боткина. Тогда вместо формулы (11.84) за­ пишем

>4 ((Токт 4“ Н) Токт

(H.9I)

Вгп( I — t / y u f " + Т.кг '

В зависимость Боткина эта формула превращается не только при у н= оо, но и при п = 0.

Коэффициенты Bin являются безразмерными и подбираются исходя из того, чтобы кривая т0К1(у) наилучшим образом отве­ чала экспериментальным данным. Предельное условие (11.90) получим, положив в выражении (11.91) у0кт = УкЭта функция,

80