книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

Тензор, у которого первый инвариант равен нулю, носит название девиатора. Инвариантами девиатора1 напряжений Ь<, являются величины:

т„, действующего в октаэдрической плоскости, Т. е. в плоскости, равнонаклоненйой к главным осям. Угол

31

Отсюда следует также, что

Таким^образом, условие прочности Мора (1.66), включающее в себя только максимальное ai и миниальное аз главные напряже­ ния и не включающее промежуточное главное напряжение аг,

(1.61) может быть введено значение угла со, выражаемое, в свою

в виде формулы (1.4). Подставляя в эту формулу зависимости (1.62) , получим

Отсюда видно, что в условие прочности Боткина третий инвариант не входит и, следовательно, оно не включает в себя параметр Лоде.

Приравнивая тождественно коэффициенты при Yh. D бодные члены в зависимостях (1.67) и (1.68), имеем:

]/2 (3 Н- Цд) sin ф

tg Q*кг =

3 \ia sin ф

Смысл такого приравнивания заключается в следующем. Теория предельного равновесия сыпучей среды получила свое значительное развитие для плоской [42] и осесимметричной [1] задач, и в основе ее лежит условие прочности (1.66). Однако эксперименты указывают на то, что угол внутреннего трения ср зависит от вида напряженного состояния, т. е. па­ раметра ца или, другими словами, от промежуточного главного напряжения аг. Поэтому, если определение угла внутреннего трения и удельного сцепления проводится при том же виде напряженного состояния, при котором они будут использоваться

32

в расчетах (\ха в опыте w расчете имеет одинаковое значение), то полученные величины характеристик прочности могут непо­ средственно, без всякого пересчета, использоваться в расчетах. Если же характеристики прочности определяются не при том зна­ чении ра, при котором будет производиться расчет (например, определение характеристик прочности производится на трехосном приборе, а расчет будет выполняться для условий плоской деформации), то потребуется пересчитать характеристики проч­ ности для условий плоской деформации (для уже другого зна­ чения рст). И обратно, если характеристика прочности определена в условиях плоской деформации, а расчет будет вестись приме­ нительно к осесимметричной задаче, то также потребуется произвести пересчет.

Необходимость такого пересчета может, на первый взгляд, показаться странной. Однако она вызвана тем, что используемое в теории предельного равновесия сыпучей среды условие проч­ ности Мора—Ренкина не отвечает в полной мере разрушению реальных грунтов. Если бы оно ему отвечало, то характеристики прочности ф и с были бы полностью инвариантны относительно напряженного состояния, т. е. какой бы ни была комбинация главных напряжений при разрушении, характеристики прочности Ф и с должны получаться одними и теми же.

Если этого не получается, то тогда может быть сделан вывод о том, что условие прочности не описывает в необходимой мере поведения реального тела, не отвечает ему и, следовательно, оно нуждается либо в уточнении, либо в замене другим условием. Однако если заменить условие прочности другим, изменится основная система уравнений теории предельного равновесия сы­ пучей среды, и, следовательно, будет необходимо перестраивать всю теорию предельного равновесия применительно к новой системе исходных уравнений.

Возникает вопрос, при любом ли изменении условия проч­ ности потребуется переработка аппарата решения исходных уравнений или будут случаи, когда все прежние результаты и решения могут быть использованы? Поскольку теория пре­ дельного равновесия разработана применительно к двум частным видам напряженного состояния — плоской деформации и осесим­ метричному напряженному состоянию, промежуточное главное на­ пряжение 0 2 получается связанным линейным образом с двумя другими главными напряжениями. При плоской деформации ока­ зывается, что можно принять

При осесимметричной деформации

33

видов напряженного состояния может быть записано только через два главных напряжения — наибольшее <Ji и наименьшее аз. Далее возникает вопрос, какие условия прочности, содержащие только два главных напряжения о\ и аз, могут быть приведены к тому виду, который имеет условие прочности Мора— Ренкина? Последнее, что совершенно очевидно, является линейным отно­ сительно главных напряжений ai и аз, что видно из условия

1\, ти ]/h, о, что мы и получили в зависимости (1.67).

Отсюда вытекает естественный вывод, что всякое условие прочности, в которое входят линейным образом 1\,т и //г . о, может быть приведено к виду (1.66), где параметры прочности будут иметь другие значения и смысл, чем с и ф, так как смогут по-разному зависеть от параметра ра. Следовательно, можно сохранить разработки и результаты, полученные в теории пре­ дельного равновесия сыпучей среды, но решение конкретных задач нужно проводить при значениях с и ф, соответствующим образом пересчитанных применительно к рассматриваемому виду напряженного состояния.

Формулы для пересчета получаются исходя из того условия прочности, которое будет принято основным и отвечающим ре­ альному поведению грунтов. Так, например, если за основное принять условие прочности Мора—Ренкина, то никакого пересчета производить не требуется, с и ф не должны меняться и зависеть от |х0. Если за основное принять условие прочности Боткина— Мизеса, то инвариантными характеристиками прочности будут QOKT и йокт, входящие в зависимости (1.69) и (1.70), а следователь­ но, рассчитанные по ним с и ф будут функциями \ia. Вид этих

Вернемся к зависимостям (1.64). Для сопоставления пред­ ставляется очень удобным выбрать параметры прочности таким образом, чтобы условия прочности имели одно и то же значение предельных напряжений в случае трехосного сжатия, т. е. при

34

Таким образом, воспользуемся выражениями (1.22), а в даль­ нейшем черточки опустим и, следовательно, можем проводить вы­ кладки для идеально сыпучего грунта, но в любой момент иметь простой переход к связному грунту.

Для условия прочности Мора—Ренкина

Для условия прочности Боткина—Мизеса:

Z(Ho) = . ___________ 6Zo___________. (3 - Zo) ]/3 + pi - 2\iaZ0 '

(176)

Sin Ф= ___________ 6 sin фа___________

(3 — sin фо) / 3 + ^ — 2ц0 sin ф

Рассмотрим с этих позиций условие прочности, предлагаемое автором этой книги [32]. Это условие может быть приведено к ли­

нейному виду относительно / 1(Г и / / 2>D. Оно выведено с учетом несовпадаемости реальных и идеальных площадок сдвига и име­ ет в принятых здесь обозначениях следующий вид:

ности, которые записаны выше. Действительно, если представить себе существование некоторой условной осредненной площадки, соотношение касательного и нормального напряжений, на кото­ рой определяет предельное состояние, то такое обобщение можно

понимая под напряжениями их приведенные значения, опре­ деляющиеся формулой (1.66). В результате получим:

т" = { r + i ) 2[,2m2(l - + m V о + + 4 / V* o - 79>

35

Полагая для предельного состояния Fi = 0, будем иметь:

быть также исключен при применении зависимости (1.82). Таким образом зависимость (1.81) сохранит один параметр т. Для того чтобы знать величину этого параметра, необходимо привлечь какие-либо дополнительные условия или гипотезу Если мы используем условие экстремальности, следуя* гипотезе прочности

36

и (1.82) направляющие косинусы, выделять среди других и на­ делять ее особыми свойствами. Последнее, правда, не относится к площадке скольжения, действительно установленной из условия максимума угла отклонения равнодействующей от нормали и име­ ющей вполне определенный физический смысл.

В нашем условии прочности эта площадка является некото­ рой средней площадкой, имеющей тот смысл, что если бы сколь­ жение происходило именно по ней, то суммарный эффект был бы тем самым, что и скольжение по всем хаотически ориентирован­ ным площадкам. Но это отнюдь не означает, что именно только по этой площадке сдвигаются частицы, а по остальным нет — их объединяет только эквивалентность эффекта. То же самое можно сказать и об условии прочности Боткина—Мизеса. При­ вязка этого условия к октаэдрической площадке является лишь интерпретацией зависимости, поскольку существуют при этом площадки более опасные в смысле сдвига по ним, не­ жели октаэдрические.

более или менее сильное влияние параметра Лоде р0 на изменение

Z.Если, например, рассмотреть еще один также частный

Система уравнений (1.82), (1.83) и (1.85) содержитнеиз­ вестные т , /, ср, которые могут быть выражены через Zo, Zi, Z2. Полученные значения т , /, ф, выраженные через Zo, Zi, Z2, следует подставить в уравнение (1.81) и таким образом получить Z, выраженное через Zo, Zi, Z2 и рст. Такая зависимость дает воз­ можность вычислить Z, отвечающее любому значению р0.

Освобождаясь от иррациональностей в зависимостях (1.82), (1.83) и (1.85) и выполняя небольшие преобразования, получим систему уравнений:

37

( - * ,+ 4 + , f - 2 + ” ' ) ( - ? r Т , - ” ’) " 3” ’ « - « “>; '

содержащую в качестве неизвестных /, т, и <р. Решая систему (1.86), можно выразить эти величины через Zo, Z\ и Z2. Однако

Использование гипотезы прочности Мизеса—Боткина может привести в ряде случаев к резкому, неоправданному завышению углов внутреннего трения ср, когда мы пользуемся для их опреде­

разница начинает проявлять себя при больших значениях угла внутреннего трения сро, т. е. срЦо__ Чтобы проиллюстрировать, что получится, если грунт будет подчиняться условию прочности Мизеса—Боткина (1.68), рассмотрим задачу о бесконечном предельно устойчивом откосе, сложенном идеально сыпучим грунтом, и установим его предельную крутизну. Сначала пред­ положим, что грунт подчиняется условию прочности Мора (1.60). Если оси координат выбрать, как показано на рис. 1.6, то компо­ ненты напряжений имеют следующий вид [42] :

где у — удельный вес грунта откоса.

В условие прочности (1.66), записанное в системе прямо­ угольных координат а, п,

Само собой разумеется, что отношение ov/ o u следует считать таким, при котором величина xuv/a u достигла бы максимума, по­ скольку этому максимуму и будет соответствовать наиболее крутой предельно устойчивый откос. Взяв производную от правой части выражения (1.89) и приравняв ее нулю для отыскания максимума, т. е. считая

d(TttV/au)

(1.90)

d (сJv/Ou)

38

Рис. 1.6. Схема откоса и принятое направ­ ление осей координат и, v

получим:

о„/ои = (1 + sin2 qp)/cos2 ср;

(1.91)

(Тии/(Ти)цакс == tg ф-

идеально сыпучий грунт подчиняется условию прочности Ми- зеса—Боткина (1.68) и промежуточное главное напряжение уже будет влиять на прочность. Полагая аг по формуле (1.71), обозна­ чим для краткости дальнейших выкладок

обозначения по выражениям (1.63), (1.64), после чего получим вместо условия (1.88) следующее:

иL л

Подставляя выражения (1.63) и (1.64) в формулу (1.71),

39

имеем также

После этого, разрешая относительно Z зависимости (1.63), (1.64) и (1.68), получим

3 t g QOKT_________

(1.100)

|/ 2 ( 3 + Jlo) — |»« t g QOKT

Если теперь подставим выражение (1.100) в формулу (1.99), то находим

________ 3 tg QOKT_______

( 1. 101)

/ 2 ( 3 + >4) — Ho t g QOKT

Обозначив г иакс при jx0 = — 1, т, е. в случае, соответствующем трехосному сжатию, через ео, из условия (1.102) будем иметь

Далее, выражая емакс при любом значении р0 через ео, для чего из выражений (1.102) и (1.103) следует исключить tgQ0Kt» полу­ чим

Таким образом имеем окончательную формулу (1.104), согласно которой, если считать, что грунт подчиняется условию прочности Мизеса—Боткина, может быть установлена предельная крутизна откоса в зависимости от параметра Лоде \ia или, дру­ гими словами, от величины промежуточного главного напря­ жения 02. Чем больше 0 2 и, следовательно, |i0, .тем больше и еыакс. Оказывается, что если считать полностью справедливым во всех случаях условие прочности Мизеса—Боткина, то при определенных значениях \ха откос может быть даже вертикальным. Эти значения соответствуют емакс = 90° и величине ео, определя­ емой из формулы

Можно также установить, что емакс (р,с) имеет при определенных значениях \ia свой максимум, причем эти значения \ia находятся из формулы

40