книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

Рнс. I ll.fl. Система цилиндрических коор­ динат для осесимметричной задачи теории предельного равнойесия сыпучей среды

Рис. 111.12. Прямоугольные (а ) и полярные

(б)координаты и соотношение между

углами

могут быть проинтегрированы.

Исследование случая, когда одно из семейств линий скольже­ ния является окружностями, было рассмотрено Како. Второе семейство при этом представляло собой логарифмические спи­ рали. Другой случай, когда одно из семейств линий скольжения представляет собой логарифмические спирали (второе в этом

131

случае также будет представлять логарифмические спирали или в частнолк случае — пучок прямых линий), был рассмотрен Голушкевичем.

Если принять

то уравнение (Ш .65) может быть проинтегрировано:

COS (J

(III.68)

tg во = 2 tg д>+ п.

Аналогичным путём, интегрируется и уравнение (III.66):

В. В. Соколовский рекомендует применять эти решения для приближенных вычислений, принимая в простейшем случае п = 0.

5. ЗАДАЧА О ПРЕДЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОМ СЫПУЧЕМ КЛИНЕ

Рассмотрим задачу о клине, находящемся в предельно напряженном состоянии. Эта задача впервые была рассмотрена Л. Прандтлем [32] и решается в полярных координатах* г, 6. Дифференциальные уравнения равновесия имеют следующий вид:

Этим уравнениям можно удовлетворить, вводя функцию напряжений Эри F(r, 0). Тогда напряжения выразятся следующим образом:

Если грунт находится в предельно напряженном состоянии, то компоненты напряжений должны быть связаны между собой условием прочности. Воспользуемся условием прочности Мора

132

Уравнения (III.70) и (III.72) составляют замкнутую систему. Поскольку выражения (II 1.71) удовлетворяют полностью уравне­ ниям (III.70), то можно, подставив выражения (III.71) в урав­ нения (III.72), получить одно существенно нелинейное уравнение относительно функции напряжений F\ которую следует найти. Это уравнение будет следующим:

Из этого уравнения следует, что функция напряжений F будет зависеть от у.

Рассмотрим сначала невесомый клин при у = 0. Если вдоль грани клина действует нагрузка, изменяющаяся по степенному закону, то функция напряжений F должна иметь вид

На основании выражений (III.71) с учетом формула (III.74) получим для невесомой и несвязной среды следующие зависи­ мости для напряжений:

сматривавшего клин при наличии равномерной нагрузки вдоль его граней.

Компоненты напряжений в исследуемой задаче согласно

133

Определенные ло формуле (1J1.76) значения т оказываются действительными при

в противном случае они оказываются мнимыми. Для случая Прандтля п = 0 мнимых значений не будет, а для случая /1 = 1 , которому соответствует линейное распределение нагрузки вдоль радиуса, находим, что полученное решение имеет место

На основании полученных зависимостей для компонент напряжений (III.77) или (Ш .80) путем несложных преобразова­ ний можно получить уравнение линий скольжения. Напомним, что вдоль линий скольжения удовлетворяется условие

(III.8I)

Это уравнение будет следующим:

Угол, составляемый линией скольжения и соответствующим радиусом (см, рис. III.13), может быть определен по формуле

134

Для первого семейства линий скольжения выбираем в фор­ муле (III.83) верхние знаки и' k = 0, -для второго — нижние знаки и k = 1. Как следует из выражения (III.82), линии сколь­ жения представляются двумя семействами логарифмических спиралей.

При п = О и т — —2 tg ф (решение Прандтля) первое значение оказывается равным нулю и соответствующее семейство линий скольжения вырождается в пучок прямых с вершиной в начале координат, а второе представляет собой логарифми­ ческие спирали.

Для случая линейного увеличения напряжений вдоль радиуса следует принять п = 1. Тогда получаем вместо зависимостей (III.75) следующие:

В этом случае оба семейства линий скольжения будут ло­ гарифмическими спиралями. К сожалению, замкнутые решения этой задачи для весомого грунта получить не удается даже в та­ ком простом случае, когда £ о = 1. При п = 1 получаем сущест­ венное упрощение уравнения (III.73): под радикалом имеется только искомая функция f, уравнение является обыкновенным, однако нелинейным и поэтому не имеет решения в элементарных функциях. Оно имеет следующий вид:

VU" —з/)2+ 16 (f'f

Это уравнение может быть решено только приближенно. Преобразуем уравнение (III.87) следующим образом:

После этого один из возможных вариантов приближенного решения рассматриваемой задачи будет следующим — уравнение (III.88) заменяется:

135

Применяя, как и ранее, подстановку выражения (Ш.85), мы получим обобщение решения для коэффициента т. Вместо

значения коэффициента т в зависимости от k\ для разных

136

тельно, решение (III.51) и (III.52) непригодно для случая

используя разложение в рядг но его исследование носит более теоретический, чем практический характер.

Рассмотрим сначала случай невесомой среды, когда правые части уравнений (III.47) обращаются в нуль. В этом случае определитель системы оказывается тем же, а уравнения (III.49) и (III.50) претерпевают изменения за счет того, что в правой части первого из них будет отсутствовать cos 0, а в правой части второго уравнения будет отсутствовать sin 0. После разрешения этой системы [42] получено:

где Oo и so — произвольные постоянные интегрировання.

Зависимость (III.99) имеет смысл только, если

Из сопоставления решений уравнений (III.49) и (111.50)/ имеющих вид (III.51) и (III.52), и зависимостей (III.96) получим, что за счет влияния веса к системе (III.96) в первую формулу добавляется

cos9 — sinycos(2(i)2+Q ) 2s sin у (cos 2(й2 — sin у) ’

и во вторую

sin (2о)2 + 0) cos 2(02 — sin у

137

также частных определителей Л = 0 система оказывается неопре­ деленной и наблюдается линейная зависимость уравнений между

Рассмотрим теперь граничные условия для задачи о несущей способности оснований, находящихся в предельно напряженном состоянии! Граничные условия нужны для решения задачи с помощью численного интегрирования системы (III.51) и (III.52). Интегрирование ведется для простейшего случая отсутствия пригрузки и сцепления в грунте, т. е. для идеально сыпучего

состояние по Ренкину [42]. Положительное направление угла 6 показано на рис. III. 14! Кроме того, вводится обозначение:

(III.101)

Граничные условия сведены в табл. III.2, где знак вопроса означает, что эта величина подлежит определению. На рис. III.15 представлена зависимость In s от 0.

Решение системы уравнений (III.51) и (III.52) выполняется численным методом с учетом граничных условий по табл. Ш.2. Для интегрирования формулы записываются следующим образом:

138

причем

е ,+ ' — 0 i + Д0; <Й2. i+ I = 0)2,, + До>2. 5 ,+ | = Si + b S i . ( I I I .103)

— ( f + f )

Расчет ведется шаговым методом, и интегрирование выпол­

ность такого расчета заключается в накоплении ошибки с ростом числа итераций. В качестве контрольных значений имеются ве­ личины производных на линии ОЛ (см. рис. III.2). Начальные значения производных на ОВ также даны в этой таблице. В случае необходимости расчет может вестись как для. поло­ жительных, так и для отрицательных значений угла б, причем чем меньше шаг Д0, тем меньше будет ошибка, поскольку ошибка с увеличением 0 накапливается. Естественно, что значения s должны быть не менее получаемых из решения задачи для невесомой среды и вычисляемых по формулам (III.99).

139

6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ

Рассмотрим плоскую задачу теории предельного равновесия сыпучей среды и возможные подходы к решению основной системы уравнений для общего случая. Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют следующий вид:

а уравнение предельного равновесия, замыкающее систему и имеющее тот смысл, что в каждой точке рассматриваемой об­ ласти сыпучей среды имеет место предельное состояние

в частных случаях, одним из которых является случай Ренкина, где рассматривается условие тху = 0, сразу линеаризующее систему и позволяющее получить простое решение в конечном виде. В. В. Соколовский [42] провел преобразование исходной системы по другим переменным и получил квазилинейные уравнения, решаемые численным методом по предложенной им схеме.

Эта система имеет две новых переменных и состоит из двух уравнений. Принципиальный подход при такой постановке за­ ключается в следующем. Предлагается.подстановка, с помощью которой удается точно удовлетворить уравнениям (III.105). Од­ нако такая подстановка «портит» систему (111.104), превращая ее из линейной в квазилинейную. Эта система решается численно, таким образом условия равновесия удовлетворяются прибли­ женно, правда всегда имеется возможность повысить степень точности их интегрирования численным путем.

Возможен и другой путь решения, использовавшийся нами [32], когда уравнения равновесия (III.104) удовлетворялись точно, а условие предельного напряженного состояния (III.105) — приближенно. Удовлетворить условиям равновесия можно введе­ нием функции напряжений Эри [49]. Однако в этом случае имеется лишь одно уравнение относительно функции Эри F. При использовании этой функции и после подстановки' в условие

получим это существенно нелинейное уравнение.

140