книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

аг = const, где р определяется из выражения (III.15):

_________________ — [siny-f-sin(2ai 4-ф)](я4~2д »-hsin 2ai)________________ __

(111.29)

121

Это уравнение может быть решено только численно. Ре­ зультат такого решения представлен на рис. III.4. Таким образом, полное решение задачи представится схемой, приведенной на

0зар. В решении Федорова (1958, [32]) точки А ц В (см. рис. 111.4) соединялись прямой. В предельном случае, если 0зар = —(лт/4 +

sin фо/sin ф. На рис. III.7 даны те же кривые для сыпучего грунта (с — 0), но построенные в зависимости от £о = ?о/рмакс-

Таким образом, оказывается, что нагрузка ркр, при ко­ торой происходит зарождение (начало образования) пластической области, зависит от коэффициента бокового давления £о, причем ркр имеет наибольшее значение при £о = 1. При одном и том же значении угла внутреннего трения ф с увеличением удельного сцепления с уменьшение ркр замедляется. Местоположение за­ рождения пластической области оказалось существенно завися­ щим от угла внутреннего трения ф и коэффициента бокового давления £о. Предельное состояние может возникать как вдоль луча, направленного под фундамент {при £о < 1), так и в сторону от него (при £о > 1).

Приведенные нами расчеты показали, что, определяя размеры пластической области из решения теорий упругости, мы их зна­ чительно преувеличиваем по сравнению с упругопластическим решением.

4. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ

Одной из основных задач, которая рассматривается в теории предельного равновесия сыпучей среды, является задача о несущей способности оснований.

Теория предельного равновесия была четко сформулирована применительно к плоской задаче, где система уравнений оказа­ лась определенной. Позднее при наличии допущения о полной сыпучести [1] была сформулирована Пространственная осесим­ метричная задача. Рассмотрим эти peuieHHH.

В плоской задаче имеются два уравнения равновесия:

122

содержащие три неизвестных ож, ау, тад, и одно замыкающее систему уравнение предельного равновесия, придающее системе существенную нелинейность:

Поскольку уравнение (Ш .31) относительно напряжений квад­ ратное, то допускаются два решения задачи, а каким из них воспользоваться — выбирается по физическому смыслу рассмат­ риваемой задачи.

Долгое время имелось лишь простейшее решение приведенной системы уравнений для частного случая тху = О, когда система сразу линеаризуется относительно напряжений. Это решение при­ надлежит Ренкину. В связи с тем, что в исходную систему не входят деформационные условия, ее следует считать статически определимой. Далее изложим вкратце метод интегрирования и педварительных преобразований исходной системы по В. В. Соко­ ловскому [42, 43}, основанный на предложениях С. А. Христановича. Предлагается подстановка, тождествейно удовлетворяющая уравнению (Ш .31) , и тем самым сводящая систему из трех урав­ нений к системе из двух уравнений. Порядок системы (второй) при этом сохраняется. Если положить, что

то получим две новые переменные а и а>(, определяющиеся следующим образом:

где <то — произвольная, выбранная заранее величина, имеющая размерность напряже­ ния для того чтобы под знаком логарифма была безразмерная величина <можно, например, положить ао = с или сто = 1 МПа и т. д.).

Затем используется еще одна подстановка — вводятся новые переменные | и rj, причем

Подставляя зависимости (Ш .32) в выражения (IH.30), полу­ чим уравнения равновесия:

i

Для упрощения дальнейших выкладок вводятся обозначения:

g + t g ( « . + n ) g = « . ;

(III.38)

Далее выясняется следующий вопрос. На плоскости х, у пусть задана какая-либо линия с уравнением у = у (х). Следует установить, когда можно определить значения первых производ­ ных от искомых функций I и 1) из этой системы и.когда это сделать нельзя. Пока имеются два уравнения (111.38) и четыре неиз­ вестных производных. Чтобы система была замкнутой, присоеди­ ним еще два уравнения, которые справедливы вдоль указанной линии у(х):

dS- 3 r d' + s ; * ;

(111.39)

dii = ^ d x + ^-dy. dx dy

Таким образом, уравнения (III.38) и (111.39) представляют собой неоднородную замкнутую систему из четырех уравнений

относительно неизвестных производных Ре­

шая эту систему относительно производных, получим следующие их значения:

124

Производные будут определены единственным образом, если знаменатели не обращаются в нули. Если числители и знаменатели обращаются одновременно в нули, то производные ’вдоль рассматриваемой линии не могут быть определены един­ ственным образом. Такая линия называется характеристикой. Если же знаменатель обращается в нуль, а числитель не равен нулю, то система оказывается несовместимой, а линия у(х),вдоль которой имеет место это условие, называется линией разрыва.

Характеристики, а точнее их проекции на плоскость х, у

и числители и знаменатели нулю, получаем дифференциальные уравнения характеристик. Система имеет два действительных различных семейства характеристик и, следовательно, принадле­ жит к гиперболическому типу. Первое семейство характе­ ристик определяется уравнениями:

Для второго семейства характеристик получаются уравне­ ния:

Отсюда становится ясным, что характеристики составляют углы с осью х либо (а>1 + |Д либо (coi — р). Поскольку 0)| — угол между направлением наибольшего главного напряжения и осью х (положительные направления отсчета считаются от оси х против часовой стрелки), то ясно, что характеристики совпадают с линиями скольжения, так как линии скольжения составляют углы гЬр с направлением наибольшего главного напряжения. Угол между характеристиками равен 2р. Через каждую точку рас­ сматриваемой области в плоскости х, у проходят две характе­ ристики. Линии разрыва, а их уравнения те же, что и (111.41) и (III.42), представляют собой либо линии скольжения, либо огибающие линий скольжения. Компоненты напряжений претер­ певают на линиях разрыва конечные скачки.

Линиями скольжения называются линии, вдоль которых удов­ летворяется условие-

где т„/ и агл — соответственно касательная и нормальная компоненты, действующие по площадке с внешней нормалью п н связанные с компонентами напряжений в системе

.координат х. у следующими формулами [42]:

где at — компонента напряжения, перпендикулярная направлению п\ а — угол, определяемый по рис. III.8.

125

рис. 111.8. Направление координатных осей

Рис-. Щ .9. Семейства характеристических, линий

Удобными также являются^ формулы:

12 6 '

Рис* III. 10. К определению несущей способности, основания по теории предельного равновесия сыпучей среды

а — прямая задача; б — обратная задача; стрелка — направление хода расчета

менением способа численного интегрирования. Функции, опреде­ ляющие напряжение и очертание линий скольжения, вычисля­

точек 1 и 2, можно определить координаты точки 3, которая будет располагаться на продолжении этих линий скольжения,

иза^ем значение функций £ и т] в этой точке 3. Ход вычисления

исхема достаточно подробно и обстоятельно описаны ы книгах

В. В. Соколовского [42] и В. Г Березанцева [2]. В. Г. Березанцев приводит удобную схему, показывающую порядок вычисления с тем, чтобы удовлетворить требуемым граничным условиям. Порядок этот является определенным и исходит из самой задачи.

Как же ставится задача в теории предельного равновесия? Первая — прямая постановка задачи (рис. ШЛО, а) заключается в том, что вдоль положительного направления оси у задана нагрузкам по величине и по направлению (наклону по отношению к вертикали). На отрицательном участке оси у должна быть пригрузка. Предварительно задается направление этой пригрузки (вертикальная или наклонная) и отыскивается ее величина'. Обратная постановка задачи — по данным величине й направле­ нию пригрузки и заданному направлению нагрузки найти последнюю.

По характеру напряженного состояния всю предельно напря­ женную область основания можно разделить на три зоны — I и II (рис. ШЛ О, б) обобщенные зоны Ренкина и III обобщенная зона Прандтля; В: случае невесомой среды и равномерной: на­ грузки имеются простые решения, полученные Ренкиным и Прандтлем.

В зонах / и II характеристики (линии скольжения) в случае весомой среды — прямые или слабо искривлены. В зоне III они представляют собой логарифмические спирали или слабо отли­ чающиеся от них кривые. Точка 0 представляет собой особую

127

точку, которая на плоскости характеристик £, т) развертывается в вертикальную прямую с уравнением | = const. Поскольку зоны I и II дают характеристики, близкие к прямолинейным, рассматривать напряжение в них уместнее в декартовых ко­ ординатах. Что же касается зоны III — радиальной зоны, то ее рассмотрение удобнее проводить в полярных координатах. Дифференциальные уравнения равновесия в полярных координа­ тах г, 0 имеют вид:

Из уравнений (III.45) получим, полагая нормаль п совпадаю­ щей по направлению с г, t и 0:

где ci>2 — угол наклона главной оси к радиусу г, причем *>2= o>i — 0.

Очевидно, что если положить а = yrs(0), то система уравнений (Ш .47) в частных произведениях превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

При (02 = ± p c = ± (я /4 — <p/2) знаменатели в правых частях уравнений (III.51) и (III.52) превращаются в нули. Линии скольжения, совпадающие с характеристиками, наклонены к ра­

128

Особо простым получается решение при у = 0. В. В. Соко­ ловским дано решение задачи для случая переменного значения

и относится к решению Прандтля.

При осесимметричном напряженном состоянии уместно приме­ нить цилиндрическую систему координат 70г, представленную на рис. III.11. Дифференциальные уравнения равновесия имеют в данном случае вид:

В осесимметричной задаче В. Г. Березанцев [1] принимает так называемое условие полной сыпучести, согласно которому два главных напряжения (промежуточное и минимальное) оказываются равными. Это лишает задачу неопределенности, так как в пространственном случае имеются шесть неизвестных напряжений, три дифференциальных уравнения равновесия и одно условие предельного равновесия. В силу осевой симметрии одно из уравнений раэновесия выпадает, остаются только два. Два касательных напряжения также оказываются равными нулю. Таким образом остаются два уравнения равновесия. Условие полной сыпучести позволяет сделать систему замкнутой. Усло­ вие предельного равновесия имеет вид

Условие полной сыпучести следующее: <7о = 02 = 03,

где <т0 — главное напряжение.

Преобразование уравнений производится способом, аналогич­ ным применяемому в условиях плоской задачи. Вводятся два неизвестных

можно тождественно удовлетворить, если принять:

129

Далее решение ведется с помощью подстановки выражений (111.58) в уравнения (111.55). Получается каноническая система уравнений, которая интегрируется численным методом, анало­ гичным применяемому при решении плоской задачи теории пре­ дельного равновесия. Интегрирование ведется численным методом по схеме, аналогичной решению уравнений для плоской задачи. Если уравнения характеристик

то сетка характеристик принимается за криволинейную систему координат на плоскости х, у, причем а и р принимаются за незави­ симые переменные, а х, у у 1, т| считаются функциями а и р . Кано­ ническая система уравнений имеет следующий вид:

(III.60)

! = * < ■ ' + * > $ =

а также

Решение канонической системы уравнений (III.60) и (III.61), для которого определитель не обращается тождественно в нуль, является решением уравнений исходной основной системы (III.38). Аналогичная система получается и при использовании полярных координат в случае плоской деформации и при решении осесимметричной задачи теории предельного равновесия сыпучей среды. Интегрирование ведется численным способом. Получить результа­

Из системы уравнений (II1.63) выводятся известные урав­ нения Кеттера, содержащие радиусы кривизны Ra и /?р характе­ ристик или, что одно и то же, линий скольжения первого и второго семейств. Первое уравнение (III.63), имеющее вид

130