книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

Совершенно очевидно, что такие значения соответствуют положительным величинам ца.

Интересно отметить, что максимум, вычисляемый гкь фор­ муле (1.107), соответствует тем значениям 02, которые определя­ ются введением потенциала пластичности в -форме Прагера— Друкера [32]. Из всего приведенного здесь следует, что условие прочности Мизеса—Боткина может привести к нелепым результатам — возможности устройства вертикальных откосов из идеально сыпучего грунта. Очевидно поэтому, далеко не всегда можно рекомендовать применение его в практических целях, в особенности для идеально сыпучих грунтов, обладающих большими углами внутреннего трения фо.

Что же касается связных грунтов, у которых сопротивле­ ние сдвигу за счет удельного сцепления существенно превышает сопротивление сдвигу за счет трения и у которых угол фо мал по своему значению, то погрешность за счет применения условия прочности Мизеса— Боткина может быть для них уже не столь существенной и поэтому в таких случаях оно может быть исполь­ зовано. Здесь можно исходить из удобства, связанного с реше­ нием задачи — применять то условие, которое проще приводит к цели. В заключение отметим, что критерием применимости того или иного условия прочности должны служить результаты экспериментальных исследований, проведенных при различных значениях \ха.

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСЛОВИИ ПРОЧНОСТИ

Условия прочности с целью наглядности могут быть подверг­ нуты геометрическому представлению (Филоненко-Бородич, 1961), поскольку они записываются в виде функции от трех перемен­ ных — трех главных напряжений <J I , аг, аз. Если принять главные напряжения за декартовы координаты, то в. пространстве oi, 02, аз условие прочности представится некоторой поверх­ ностью. Если же будет введен еще какой-либо параметр (напри­ мер, время), влияющий на разрушение, то получим систему поверхностей, зависящую от данного параметра.^ Каждая точка рассматриваемого пространства, лежащая внутри предельной поверхности, являющейся замкнутой, отвечает непредельному со­ стоянию, точка на этой поверхности — предельному состоянию и, наконец, точка вне этой поверхности — физически невозможному для рассматриваемого материала состоянию, так как до достиже­ ния его произойдет разрушение.

41

Иногда употребляется термин «запредельное» состояние. При этом, естественно, возникает вопрос, что считать запредельным

от определения, что понимается под предельным состоянием, зависит возможность запредельного состояния.. Разрушению материала предшествует его деформирование, а в ходе деформи­ рования изменяются физические свойства и, следовательно, прочностные параметры. Если предельное состояние определять в соответствии с параметрами, относящимися к недсформирован­ ному состоянию, то возможным будет и запредельное состоя­ ние и допредельное разрушение. То же самое мы обнаружим и в случае, когда разрушение грунта при определении проч­ ностных параметров производится иначе, нежели в грунтовом массиве.

Начало принятой системы координат <Ji, 02, сгз отвечает отсутствию напряжений. Большое значение имеет так называемая пространственная диагональ в избранном трехграннике, т. е. прямая, равно наклоненная к осям координат. Ее направляю­ щие косинусы равным между собой:

Рассмотрим случай, когда все главные напряжения положи­ тельны, т. е. предельная поверхность находится в первом октанте. Предварительно осуществим переход к новой системе координат, приняв пространственную диагональ за бсь z. Две другие оси получаются путем поворота прежней координатной системы таким образом, что формулы преобразования принимают следующий вид (Ф-илоненко-Бородич, 1959):

. В октаэдрической плоскости среднее напряжение а, таким образом, является величиной постоянной, а координата

42

Из зависимостей (1.109) следует, что:

Условие прочности Мора (1.66), справедливое при соотношении (1.3) главных напряжений, принимает вид

Линейная зависимость между напряжениями (1.115) преобра­ зуется также к другой линейной зависимости с помощью формул преобразования (1.109):

_2 / 5 ”с cos ф

( 1-116)

1 — sin ф

Следовательно, в октаэдрической плоскости z = const имеем уравнение отрезка прямой. При соблюдении условия (1.3) в наших координатах найдем следующие уравнения прямых, про­ ходящих через концевые точки этого отрезка:

У = 0; (a2 = oi);

(1.117)

У = х / 3~; (02 = а3).

Таким образом находится след сечения одной из граней пира­ миды октаэдрической плоскостью. Остальные зависимости получаются с помощью перестановки индексов. Следует записать еще координаты вершины пирамиды, которые можно получить

.из совместного решения уравнения (1.116) с уравнением про­ странственной диагонали

где от напряжений следует по формулам (1.109) перейти к координатам

Учитывая зависимость (1.110), будем иметь

в формуле, устанавливающей предельные соотношения между напряжениями,

43

J

44

При плоском напряженном состоянии по условию (1.71) получим уравнение плоскости

Таким образом, все указанные напряженные состояния ре­ ализуются в пределах угла 60°

Здесь не рассматриваются условия прочности, представ­ ляемые поверхностями нелинейными, например условия А. Л. Крыжановского и Г. М. Ломизе [32] и некоторые другие условия, так как октаэдрические сечения этих поверхностей уже не будут подобными.

Переходим к геометрической интерпретации в тех же коорди­ натах предложенного нами ранее [32] условия прочности, которое

степени, оно представляет собой уравнение второго порядка конической поверхности с криволинейной напрвляющей. Вершина

В целом предельная поверхность представляется в рассматривае­ мом случае пирамидой с криволинейными гранями. Если в урав­ нении (1.133) положить у = 0, то получим

45

Таким образом устанавливаем, что координаты начальных и конечных точек лучей следует приводить к величине

оу2 - frsm y 4~ / з ”с cos-ф). ЗХ -h sin Ф

Если это выполнить, то найдем координаты концевых точек рассматриваемого участка:

_ |/3~ (ЗХ 4- sin ф)

(1.135)

^2 (ЗХ —>sin ф )

Для любого луча, уравнение которого у = ах, из условия (1.133) получим

ЗХ 4- sin ф

2 У з a ( / 3 — a)'

3 + у Т « + (1 - / F a ) l i p - ( l - X )

V* 4“ a

(1.136)

Следует заметить, что согласно постулату Друкера [23] предельная кривая в рассмотренных координатах в октаэдри­ ческой плоскости должна быть не вогнутой, что вытекаетиз условия неотрицательности приращения работы пластической де­ формации. Из этого следует ограничение, накладываемое на значение X , так же как в точке, располагающейся на оси X

следует заметить, что условие прочности (1.132) было выведено в предположении X = Y при упрощающей аппроксимации квадрат­ ного корня (Малышев, 1963). Если же не вводить такую аппрок­ симацию, то прочность, оцениваемая углом ф(рст), оказывается больше при \1С— 1, чем при р0= — 1.

Кроме той геометрической интерпретации условий прочности, которая была дана выше, возможна и другая геометрическая

связана с представлением сечения предельной поверхности

46

Рнс. 1.8. Предельные поверх­ ности для условий прочности Мора (многоугольник 6, точ­

ки 0—5 соответствуют точ­ кам, показанным на рнс. 1.7)

н Мизеса— Боткина (эл­ липс 7)

при условии

можно продолжить. В принятых координатах получившийся шестиугольник не является правильным и имеет два прямых угла. Линия, отвечающая условию 02 = аз, т. е. условию, имеюще­ му место, в приборе трехосногосжатия^ есть биссектриса ко­ ординатного угла, а уравнение ее аз/сп = 02/ 01. Другая характер­ ная линия, отвечающая условию, имеющему место при_кручении £ гидростатическим обжатием, обладает уравнением 03/ 01 = 2, СТ2/01 = U С уменьшением угла ф шестиугольники уменьшаются в размерах я при ф = 0 получается точка с координатами 1; 1.

Таким образом, при раздавливании грунта с гидростатическим обжатием будем иметь все экспериментальные точки, распола­ гающиеся на биссектрисе координатного угла в пределах ординат О— 1, так как oi — наибольшее напряжение. Ординаты при кру­ чении с гидростатическим обжатием будут иметь такие значения в пределах 0— 1.

Если перейти к изображению предельной поверхности по Мизесу— Боткину, то уравнение (1.68) после деления всех членов на oi будет следующим:

47

Анализ уравнения (1.139) показывает, что оно при tgQ0KT< < 1 //2 ~ является уравнением эллипсов с координатами центра

Угловой коэффициент большой оси эллипса, проходящей через начало координат избранной координатной системы, равен еди­

нице. Большая полуось эллипса равна 3. tg Q0KT/ ( 1 — 2 tg2 р0кт),

Анализ показывает, что при (sin ср)Д < 3/4 мы имеем в рас­ сматриваемых координатах эллипс с одинаковыми^ ординатами при абсциссах (аз/oi) = (02/ 01) и (02/ 01)== 1. Таким же образом могут быть представлены в данной системе координат и другие условия прочности.

6. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ДЛЯ ПРОВЕРКИ

УСЛОВИЙ ПРОЧНОСТИ ГРУНТОВ

Для того чтобы установить, какое из предлагаемых условий прочности наиболее правильно отражает реальные свойства грунт тов, необходимо обратиться к экспериментальным данным. К сожалению, их пока не так много, однако все имеющиеся данные, расходясь иногда в количественном отношении, ха­ рактеризуют закономерности разрушения в качественном отно­ шении практически почти однозначно. Эксперименты, которые мо­ гут ответить на интересующий нас вопрос, должны быть проведе­ ны с одним и тем же грунтом, но при различных значениях параметра Лоде |х0.

Теоретические исследования показывают, что чем меньше абсолютное значение .угла внутреннего трения <р, тем меньше влияние на его изменение. Поэтому для глинистых грунтов вопрос использования той или иной теории прочности имеет меньшее значение, чем для песчаных грунтов' и тем более крупнообломочных, а при экспериментальной проверке условий прочности погрешность в опытах может иметь порядок, близкий

48

6)

д>, град

48 —

Рнс. 1.9. Зависимость угла внутреннего трения по Мору от параметра Лоде

а — результаты автора 1, Барщевского 2, Кирпатрнка 3, Строганова 4, Ломнзе и Крыжановского 5; б — результаты Кормфорса при различных начальных значениях коэффициента пористости ео (сплошные линии — теоретические кривые, кружки -- опыт­ ные данные)

к тому, при котором изменение угла внутреннего трения зависит

поэтому естественно обратиться к экспериментам, проведенным именно с ними. Разнымй экспериментаторами были применены приборы различной конструкции, разной была методика иссле­ дования, различались между собой и виды песка, с которыми проводились эксперименты. Поэтому результаты, как отмечалось, отличались друг от друга количественно, однако все они свиде­ тельствуют о существующей закономерности в части изменения угла <р от ц0. К сожалению, эксперименты проводились чаще всего только при двух и реже при трех значениях Однако затем появился ряд интересных и оригинальных конструкций приборов как у нас (Ломизе, Крыжановский [32]), так и в Англии (Корнфорс [32] и [62], которые позволяют вести опыт с неза­ висимым приложением всех трех главных напряжений.

На рис. 1.9 й в таблице представлены сводные результаты известных нам испытаний, проведенных с песками. Пояснением к таблице служит рис. 1.10, где показаны схемы испытаний.

49