книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

вании и распространении волны пластичности (волны Людерса). В квазистатических экспериментах волна Людерса практически сразу выходит на стационарный режим. Поэтому имеет смысл рас­ смотреть постановку соответствующей стационарной задачи в си­ стеме координат, связанной с волной Людерса. Из (3.27) и (3.26) следует

Перед волной (x = —oo) среда находится в упругом состоянии,

т.е. деформация ее равна aJE, а за волной (х = +оо) деформация

ееопределяется статической кривой нагружения, т. е. предельной

кривой ое (ej или ее (ах) при бесконечно малой скорости деформа­ ции (ёх -»-0). Таким образом, краевые условия для системы обыкно­

х = -\-оо, е, = е,с((Т|), е" = -|-(ei(. - eI0), v = ve, n = ne.

Скорость Vo определяет скорость фронта пластичности в лабора­ торной системе координат (относительно среды перед фронтом), ve — v0 = v — скорость конца стержня. Чтобы решение стационар­ ной задачи (3.29), (3.30), было единственным, необходимо, чтобы начальное (0) и конечное (е) состояния могли существовать в ста­ ционарном состоянии. Краевые условия (3.30) при кинетических соотношениях не удовлетворяют этому требованию, так как в точке

(0) и в точке (е) ё" > 0. Аналогичная ситуация возникает в задаче

остационарном фронте пламени.

Втеории горения для стационарности начального состояния

несколько изменяется уравнение кинетики реакции, т. е. исполь­ зуется усеченная кинетика, когда считается, что имеется минималь­ ная температура (несколько превышающая начальную), ниже кото­ рой скорость реакции равна нулю. Аналогично следует подкоррек­ тировать кинетическое соотношение для обеспечения стационарности начального (0) и конечного (е) состояний, для чего в этих точках должно быть ё" = 0. Например, следует полагать, что при п = л„ и п = п0 (ал) скорость дислокаций us равна нулю. В дальнейшем это обстоятельство будет учитываться с помощью корректирующей функции

причем основную роль функция х (л) будет играть в области началь­ ного состояния п « п0, так как здесь х (п) снижает значение

91

практически с единицы до нуля. В области же конечного состояния п « п£ значение % по осиоиной формуле и без коррекции очень близко к нулю.

Отметим, что значение пе определяется приложенным напряже­

откуда имеем выражение для ve и для скорости конца стержня 5:

V = v e — v0 = v0(Ee — е10),

Краевая задача (3.29), (3.30) аналогично задаче о нормальном фронте пламени сводится к определению собственного значения задачи — скорости волны пластичности v0 при заданном значении о*. Значение ve должно находиться из условия прохождения интеграль­ ной кривой через две точки: (0) и (е), соответствующие состояниям

92

Уточним это решение. В области около начального состояния функция % (п) приближенно описывается зависимостью

Анализ (3.37) с учетом (3.39) и результатов числовых расчетов показывает, что характер решения (3.37) соответствует зависимости

ходит в (3.39), а при у = уе она удовлетворяет (с точностью до

С учетом (3.40) и выражения для фх можно получить явные выра­ жения для коэффициентов Slt S2 и Ф:

= - § - ( & - № ) - ' + О ( -$ - ), 4 - й - ( и - - * ) — f + o ( ^ . ) ,

выполняется для пластических металлов (низкоуглеродистая сталь, армко-железо и др.), в которых наблюдается волна Людерса. Таким

Г л а в а 4

ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИНТЕНСИВНЫХ к р а т к о в р е м е н н ы х ВОЗДЕЙСТВИЯХ

4.1. ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ

Здесь рассматриваются проблемы, связанные с распространением одномерных плоских ударных волн умеренной амплитуды в упруго­ вязкопластическом материале. Полученные расчетным путем теоре­ тические данные сравниваются с данными соответствующих экспери­ ментов, что позволяет выбрать адекватный тип определяющих соот­ ношений для анализа волновых процессов.

Распространение продольных воли в условиях одноосного на­ пряженного состояния описывается решением волнового уравнения

Общее решение волнового уравнения (4.1) имеет вид

волны. В случае, если материал подчиняется закону Гука <тА= Егх„ для продольной скорости упругой волны получим

с, = V Е/р.

Распространение волн в условиях одноосного напряженного состояния (стержень) в материалах, подчиняющихся уравнению Соколовского—Мальверна, численными методами подробно иссле­ довалось. Следует отметить, что использование модели Соколов­ ского—Мальверна позволяет описать экспериментально установлен­ ный факт распространения волны догрузки но пластическому состоя­ нию материала со скоростью звука в упругом материале и ряд дру­ гих скоростных эффектов.

Более подробно рассмотрим распространение продольной волны в стержне из материала, механическое поведение которого описы­ вается моделью В. В. Соколовского

95

*/, я

В этом случае обратное преобразование приводит к выражению

о, {(, х) = H ° ( t - х) exp ( — +

где I± — функция Бесселя.

Анализ полученных аналитических решении показывает, что за исключением начального периода распространения волны в стержне, теории Рахматулина—Кармана—Тейлора и Соколовского дают прак­ тически одинаковые результаты, если не рассматривать волн до­ грузки, взаимодействие волн и т. д.

Рассмотрим задачу о поршне, когда на одном из торцов стержня задается постоянная скорость v0. За фронтом волны напряжения и деформации увеличиваются и достигают максимальных значений у нагружаемого торца стержня. Вблизи нагружаемого торца по мере распространения волны напряжения и деформации растут и достигают значения, определяемого упрочнением материала. Скорость

На рис. 4.1 приведены эпюры зависимостей деформаций в разные моменты времени по длине стержня. Следует отметить, что исполь­ зование в расчетах постоянного значения коэффициента вязкости р означает, что время релаксации также принимается постоянным,

4 Mailборода В. П.и др-

6 , / б у

41

так как tR = |х/Е. Но экспериментальные данные показывают, что время релаксации снижается с ростом величины и скорости дефор­ мации. Это приводит к появлению пика текучести на зависимостях напряжения от деформации по глубине распространения волны. Числовые расчеты с переменным временем релаксации tR = 1/(1 + + 0,7eJ) при v0 = 0,5 приводят к зависимостям, приведенным на рис. 4.2.

Запишем в лагранжевых координатах х, t (х — пространствен­ ная координата в невозмущенном состоянии) систему уравнений одномерного плоского движения среды для случая одноосно-напря­ женного состояния (стержень)

где Ер — модуль пластичности.

Рассмотрим задачу об ударе стержня длиной I об абсолютно жесткую преграду со скоростью v0.

Начальные и граничные условия задачи запишем в следующем виде:

i = 0 , ох = 0 , v = и0,

х = 0, v (0, t) = 0,

х = I, ох (/, t) = 0.

Для случая разгрузки будем далее предполагать статическое поведение материала (рис. 4.3). На рис. 4.4 приведены эпюры на­ пряжений в фиксированный момент времени t по глубине стержня для разных отношений Ер/Е. Затухание ударной волны существен­ ным образом зависит от статического упрочнения материала. Отме­ тим* что экспериментальные данные по исследованию волновых про­ цессов в металлических стержнях обнаруживают «плато» остаточных

98

деформаций вблизи соударяемого конца стержня. Расчеты по мо­ дели (4.6) не описывают этот экспериментальный факт.

Для замыкания уравнений движения используем далее опре­ деляющие соотношения вида:

где хх и х2 равны следовательно Е и 4/3 для одноосно-напряженного состояния (А, + 2G) и 8G/3 (X + 2G) для одноосно-деформированного состояния; т — максимальное напряжение сдвига. В случае однооснодеформированного состояния (пластина) ог22 Ф 0 и к соотношениям (4.7) следует добавить уравнение, связывающее средние напряжения со средними упругими деформациями

а, + 2<т2 = -1-К (в?+ 2*2).

Так как е? + 2е(! = 0, то из последнего равенства получим

a, + 2d2 = 4 - K £ .

Рассмотрим задачу о продольном соударении стержней и пла­ стин с длинами соответственно 1Хи /2. Начальные и граничные усло­

+/2» 0 = 0.

Отметим, что в систему (4.6) и (4.7) не входит уравнение притока

тепла, позволяющее определять температурные изменения в мате­ риале. В данном параграфе исследуется распространение ударных волн в металлах с амплитудой, не превышающей 10 ГПа. При таких напряжениях изменение температуры в стали не превышает 330-f- 350 К. Такое изменение температуры практически не сказывается на скорости дислокации в металлах, а, следовательно, на развитии пластического течения в целом.

Значение кинетических констант определяется из решения квазистатической задачи о сжатии короткого стержня. Тогда при задан­ ных модулях упругости система оказывается замкнутой. То обстоя­ тельство, что значения кинетических параметров определяются из квазистатическпх экспериментов, весьма существенно, и на прак­ тике это означает, что дорогостоящие и трудоемкие динамические испытания по распространению плоских ударных волн в стержнях и пластинах можно заменить квазистатическимн испытаниями и последующим моделированием ударно-волиового процесса на бы­ стродействующих ЭВМ. Заметим, что соотношение Орована исполь­ зуется здесь в виде (2.20), а не в виде (3.29) [см. п. 3.4], поскольку характерные времена волновых процессов значительно меньше характерных времен диффузионных процессов. Аналогичная ситуа­ ция имеет место при рассмотрении распространения волн детонации,

1 — 2 мм; 2 — 7 мм; 3 — 14 мм; 4 — 21 мм

где в определяющем соотношении для скорости реакции пренебре­ гают теплопроводностью.

Задача о распространении ударной волны в стержне рассматри­ вается в приближении, когда влиянием боковой разгрузки можно пренебречь. В случае одноосного напряженного состояния ударная волна инициируется продольным соударением двух длинных стерж­ ней из одного и того же материала. Скорость ударника в расчетах от 100 до 150 м/с. Для решения поставленной задачи использовался метод прямых.

На рис. 4.5 приведены зависимости ах (ej для сечений мишени — стержня, находящихся на расстояниях 2, 7, 14, 21 мм от поверхности соударения. В расчетах использовались значения кинетических постоянных, определенные в п. 3.1 для низкоуглеродистой стали. Глубина зоны, внутри которой обнаруживается интенсивное затуха­ ние амплитуды упругой волны, составляет 4—6 мм. Заметим, что наклон кривых ах (б^ д л я частиц, расположенных на расстоянии 2 мм и 7 мм, различен. Это связано с релаксацией напряжений за фронтом пластической волны, которая происходит за счет роста неупругих деформаций. Для частиц, расположенных на расстоянии, большем б—7 мм, скорость пластического фронта устанавливается постоянной.

На рис. 4.6. даны расчетные кривые затухания скорости за фрон­ том упругого предвестника в пластине; сплошная линия — скорость соударения v0 = 100 м/с (соответственно массовая скорость v на поверхности соударения 50 м/с), а штриховая — скорость соударе­ ния v = 140 м/с. Таким образом, скорость соударения стержней влияет на поведение упругого предвестника лишь в пределах той зоны, где его затухание происходит интенсивно. Далее упругая волна ведет себя независимо от следующего за ним пластического фронта, интенсивность которого определяется скоростью соударения.

100