книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Ником волн напряжений. В статическом случае эта особенность ло­ кализована. В гл. 2 отмечалось, что вопрос о том, является ли ко­ эффициент интенсивности напряжений на стадии остановки тре­ щины характеристикой материала, остается открытым. По-видимому, для ответа на этот вопрос необходимо исследовать микроструктурные механизмы роста трещины и их взаимодействие со сложной волновой картиной, образующейся в процессе распространения трещины.

В работе [27 ] для исследования роста трещин в результате кине­ тических процессов зарождения и слияния микропор и микротрещин используются соотношения (2.72). Проводятся расчеты для случая динамического роста трещины от концентратора в образце типа двухконсольиой балки. Задача рассматривалась в двумерной постановке в переменных Лагранжа с использованием численного метода, опи­ санного в (7.1, гл. 7). Определяющие соотношения для материала были получены путем испытания нестандартных круглых образцов на простое растяжение, причем образцы изготавливались из полови­ нок разрушенного образца двухконсольной балки. Расчетная сетка половины образца (вследствие симметрии) состояла из элементов 4 мм X 6,4 мм и имела 16 горизонтальных рядов шириной 4 мм и 50 вертикальных рядов шириной 6,4 мм. Эта сетка достаточно груба, так как размеры ячеек существенно превышают размеры микропор. Расчеты показали циклический характер распространения трещины. В момент страгнвання напряжения в вершине релаксируют и тре­ щина стремится затормозиться. Эта разгрузка через волны напряже­ ний передается в точку приложения нагрузки на образец, после чего новый импульс нагрузки возвращался и вызывал дополнительную концентрацию напряжений. Этот механизм обеспечивал цикличность процесса роста трещины. Такой характер роста трещины подтвер­ ждается также и экспериментальными данными.

Большие успехи, достигнутые в механике разрушения, относятся, в основном, к предельному состоянию трещины до момента окон­ чания ее устойчивого развития, причем наиболее значительные результаты получены в рамках подхода линейной механики разруше­ ния. Однако постановка н решение динамических задач с учетом инерционных эффектов даже в рамках линейной механики разруше­ ния стало возможным в последнее время благодаря использованию современных быстродействующих ЭВМ. Это обстоятельство чрезвы­ чайно важно в связи с необходимостью повышения экономической эффективности дорогостоящих конструкций и учетом возможности инициирования и контролируемого роста трещин. Основными зада­ чами динамической механики разрушения является установление зависимости коэффициента интенсивности напряжений от скорости распространения трещины, определение траектории движения тре­ щины и ветвления трещины.

Для случая упругого бесконечного тела в условиях плоской деформации величина критических растягивающих напряжений определяется формулой Гриффитса

а = [4уС/л (1 - v~) /I12,

181

где Y — плотность поверхностной энергии; 2/ — длина трещины. Для учета возникновения пластических деформаций в малой об­ ласти вблизи вершины трещины Ирвин обобщил соотношение Гриф­ фитса путем замены 2у на ур. В этом случае рост трещины начинается с того момента, когда коэффициент интенсивности напряжений пер­ вого рода Ki достигает критического значения

/<i"’ = [£ Y p /a -v )]'/2,

где Ki = o yn l.

В случае прямолинейного распространения трещины с произ­ вольной скоростью напряженное состояние в полярной системе координат, связанной с вершиной, зависит только от скорости дви­ жения вершины трещины. При этом значения компонент тензора напряжений для трещин первого рода определяются следующими равенствами:

с х = [ К х (у)/(2лг)'/2] cos ~ (1 - sin - j - sin - у - ) ;

Исследования в рамках линейной механики разрушения могут основываться или на использовании коэффициента интенсивности напряжений, или на использовании интенсивности освобождения энергии G. Динамическая интенсивность освобождения энергии связана с коэффициентом интенсивности напряжений следующим равенством:

G, = (1 — v2) Л (г>) «?/£■,

Основным допущением линейной механики разрушения является предположение о малости той зоны вблизи вершины, где происходят необратимые процессы диссипации энергии. Предполагается, что величина рассеянной у вершины трещины энергии не зависит от начальной длины трещины, приложенных сил и геометрии тела. В динамической механике разрушения в дополнение к этому посту­ лату принимается, что скорость диссипации энергии зависит от ско­ рости трещины у.

Для аппроксимации решений динамических задач о распростра­ нении трещин для учета поправки на инерционные эффекты исполь­ зуется зависимость

* !, = *!.[! - I >/СП]'*

где К1а — статический коэффициент интенсивности напряжений.

182

Г л а в а 6 ДИНАМИКА МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

6.1. ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Рассмотрим распространение плоских воли малой и умеренной интенсивности в упругих и вязкоупругих слоистых средах в пред­ положении, что длина волны сравнима с характерным размером неоднородности. В этом случае из-за наличия многочисленных отраженных и преломленных на контактных поверхностях волн волновая картина становится достаточно сложной.

Получим некоторые соотношения для амплитуд отраженной и проходящей воли на контактной поверхности двух слоев. Из условия непрерывности напряжений и перемещений на контакте следуют равенства

соответственно первого и второго слоев. Аналогичные соотношения можно получить для сдвиговых волн. Входящие в (6.4) произведения PiC/, и роС/2 называются акустическими импедансами.

Рассмотрим вопрос о распространении плоских гармонических волн в периодических слоистых средах перпендикулярно слоям.

U (х) = Ц (х + И],

184

где h — Толщина двух соседних слоев h = /i, 4- Л2. Подставляя (6.5) в волновое уравнение, получим обыкновенное дифференциальное

вые скорости в материалах слоев. Из условия непрерывности напря­ жений и перемещений на контакте слоев приходим к дисперсионному уравнению

(6.6)

Уравнение (6.6) связывает скорость волны и частоту со,. Таким об­ разом, форма импульсов при распространении в сложной среде не сохраняется из-за рассеивания волн различной длины. Отметим, что для реальных значений /е не все частоты являются допустимыми. При некоторых частотах /е может стать мнимым числом. Физически это соответствует установлению в системе стоячей волны. Таким образом, слоистая система служит своеобразным фильтром частот.

Исследуем распространение нестационарных волн в вязкоупру­ гом слоистом материале нормально укладке слоев. Здесь исполь­ зуется метод, впервые предложенный IO. А. Созоненко. Будем пола­ гать, что свойства слоистого материала (плотность, упругие модули и т. д.) являются непрерывными функциями координаты. Уравне­ ние движения в этом случае запишется в виде

Для удобства введем далее массовую лагранжеву координату

£= *JP(x)dx.

о

Тогда уравнение (6.7) перепишем в виде

Связь между напряжениями и деформациями для вязкоупругого материала примем в виде линейного функционала

где Е (£, I) — функция релаксации, причем Е (£, 0) — Е (£). Система уравнении (6.8) и (6.9) замыкается начальными и граничными усло­ виями:

185

Применяя преобразование Лапласа к соотношениям (6.8) и (6.9)

Из уравнении (6.11) получим уравнение для изображения напря­ жений

Умножая (6.13) на Е (£, 0) и приравнивая коэффициенты при оди­

186

функция ipo определяется из (6.18), а постоянная интегрирования С из граничных условий

о

Рассмотренное приближенное решение задачи в сравнительно простой постановке приводит к сложной зависимости (6.22), требу­ ющей привлечения вычислительных средств. Однако использование разностных схем для расчета распространения волн в системах из чередующихся слоев связано с определенными трудностями. Одна из них состоит в том, что на контактных поверхностях существенно снижается точность численных расчетов. Поэтому в случае неодно­ родных сред аналитический анализ, даже на уровне приближенных решений типа (6.22), особенно важен.

Существует много подходов к решению задач, кроме описанного выше, о распространении нестационарных волн в слоистых средах. Одним из эффективных методов решения является синтез Фурье, применяемый для описания распространения длинных волн.

6.2. ОПТИМИЗАЦИЯ СЛОИСТЫХ ПРЕГРАД ПО ОТНОШЕНИЮ К УДАРНЫМ НАГРУЗКАМ

Рассмотрим существенно неоднородные вязкоупругие деформи­ руемые системы в виде слоистых преград, подверженных высоко­ скоростному удару. Преграды составлены из плоских пластин, изго­ товленных из разных материалов так, что их механические свойства (вязкость, акустическая жесткость, прочность и т. д.) существенно различны. Так как размеры (толщины) пластин сравнимы с разме­ ром преграды в целом, то в процессе распространения ударной волны из-за наличия контактных поверхностей, разделяющих области однородного материала, будет иметь место дисперсия волны. Пере­ распределение энергии ударного импульса в значительной степени зависит также от диссипативных свойств гетерогенных преград. Варьируя гетерогенную структуру преграды с учетом ограничений, накладываемых на конструкцию в целом (например, постоянство общей массы и габаритов), можно установить структуру с такими дисперсионными свойствами, которые будут соответствовать макси­ муму энергии, «закачанной» в систему в результате ударного взаи­ модействия.

187

При достаточно высоких скоростях удара материал системы (или однородных составляющих) обнаруживает ие упругое, а упруго­ вязкопластическое поведение в процессе распространения фронта волны. В этом случае ударная волна будет затухать вследствие наличия диссипативных механизмов, что также влияет на перерас­ пределение энергии удара в системе. Далее с помощью моделирова­ ния на ЭВМ процесса ударно-волнового взаимодействия гетерогенных преград исследуются их оптимальные структуры (в смысле диспер­ сионных и диссипативных свойств) по отношению к перераспределе­ нию энергии удара с учетом ограничений, накладываемых на кон­ струкцию в целом.

Исследуем ударно-волновое воздействие на трехслойную пластину, причем материалы боковых пластин примем одинаковыми, а аку­ стический импеданс средней пластины значительно меньшим боко­ вых. Такая существенно неоднородная конструкция представляет практический интерес в ряде специальных инженерных приложений, причем в практике ударно-волновой защиты часто используется высокопрочная сталь и различные типы стеклопластиков (средний слой). В численных расчетах варьируется лишь отношение толщин боковых пластин, причем толщина среднего слоя и толщина состав­ ной пластины (преграды) полагаются постоянными. В качестве мо­ дельных материалов в конкретных расчетах используются сталь— алюминий и алюминий—стеклотекстолит.

В процессе распространения, многократных преломлений и отражений на контактных поверхностях происходит дисперсия удар­ ной волны, т. е. компактная форма первоначального импульса определенным образом «размазывается» по преграде и это явление существенным образом зависит от отношения толщин боковых пластин. Если преграда (или одна из составляющих пластин) про­ являет еще и вязкопластические свойства, то первоначальный импульс, помимо дисперсии, затухает по глубине распространения вследствие наличия диссипативных механизмов. Очевидно, что даже в случае одномерного движения среды аналитическое решение за­ дачи с учетом всех указанных выше особенностей невозможно.

Одной из важных проблем исследования поставленной задачи является выбор универсального критерия оптимизации. Универсаль­ ность состоит в том, чтобы принятый критерий оптимизации не за­ висел от условий численного эксперимента, а учитывая лишь струк­ туру слоистой преграды.

Рассмотрим следующую задачу.. Пусть трехслойная пластина метается на неподвижную абсолютно жесткую преграду с заданной скоростью v0. Рассмотрим плоское, одномерное нестационарное движение сплошной среды в лагранжевой системе координат в усло­ виях одноосно-напряженного состояния (стержень):

188

где рh — плотность материала k-то слоя; ех — продольная компо­ нента тензора деформаций; — продольная компонента тензора напряжений.

В случае упругой среды закон Гука запишем в следующей форме

диаграмма напряжение—деформация k-то слоя, crj — предел теку­

чести материала k-го слоя. Знак sgn а учитывает возможность зна­ копеременного нагружения. Далее мы примем случай идеальной пластичности материалов при статическом деформировании.

Граничные и начальные условия задачи имеют вид:

совместно с определяющими соотношениями (6.24) или (6.25), а также с граничными и начальными условиями (6.26) является замкнутой.

вязкости rift определялись из условия совпадения теоретической кривой т (у), где т и у — соответственно сдвиговые компоненты на­ пряжения и деформации. В этом случае первое соотношение (6.25) запишется в следующем виде:

iSr-S—* -Ч -гё" ■]• <6-!I1

Так как в экспериментах реализовалось однородное напряженнодеформированное состояние, то обыкновенное дифференциальное уравнение (6.27) решалось при условии dy/dt — const. Решение (6.25) имеет вид:

- = - * U l- -ехр — 2Gft% (T~rf)]j

ЧА )

189

где Ту (Y£) — предел текучести при чистом сдвиге; y c = - ^ L =

= const. Полученное решение сравнивалось с экспериментальными данными по квазнстатическому (без волнообразования) высокоско­ ростному (dy/dt = 10V1) кручению тонкостенных труб из стали и алюминия. В табл. 6 приведены значения параметров, используе­ мых в расчетах. Система уравнений (6.23)—(6.25) с начальными и граничными условиями (6.26) решалась численно методом, опи­ санным в п. 8.2.

На рис. 6.1 дана зависимость суммарного импульса Р' системы

от времени для фиксированного структурного параметра £ =

Из рис. 6.1 видно, что когда суммарный импульс системы меняет знак, а напряжения на контактной поверхности равны нулю, про­ исходит отскок составной пластины. На этом же рисунке приведена зависимость напряжений, действующих на контактной поверхности с абсолютно жесткой стенкой, от времени для £ = 0,5. Из рис. 6.1 видно, что для слоистых преград условие а, = 0 на контактной по­ верхности не может быть принято за критерий отскока ударника, как это делается в случае соударения двух однородных пластин. Здесь дополнительно необходимо привлекать условие выхода на постоянный уровень суммарного импульса системы^Я

ственно. Отношение суммарного импульса системы в момент отскока (он сохраняется постоянным при последующем свободном движении пластины), к суммарному импульсу в момент соударения назовем дефектом импульса и далее этот параметр примем за критерий опти­ мизации слоистых систем. Будем полагать оптимальной систему, характеризующуюся таким структурным параметром £, при котором

190