книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

где через Te обозначена область, занятая конечным’элементом но­ мер «е»,

через [Ме\ обозначена матрица, связывающая вектор скоростей пе­ ремещений и в произвольной точке элемента Те с вектором узло­ вых скоростей:

через |pF) и {/7} обозначены соответственно векторы — столбцы плотности объемных усилий и поверхностных усилий на части по­ верхности sa:

штрих в зоне последней суммы в (7.93) означает, что суммирование идет по всем частям границ дТе тех элементов, которые попадают на sa. Вводя глобальный вектор неизвестных

(р}г = {«1. vlt u2,v а, и3 v3, ...j

(в который не входят скорости закрепленных узлов, так как вариа­ ции скоростей в них равны нулю), и объединяя множители при оди­ наковых значениях искомых скоростей в (7.93), приходим к следую­ щей системе уравнений:

где через [Ml и [К] обозначены матрицы, возникающие при объе­ динении слагаемых в сумме в уравнении (7.93) (алгоритм формиро­ вания матриц [М] и [/Cl, которые можно назвать соответственно глобальной матрицей масс н глобальной матрицей вязкости, под­ робно рассмотрен в работе (101),

231

Рис. 7.3. Схема разбиения области на конечные элементы

2. Пусть теперь конфигурация области Й произвольна. Аппрок­ симируем границу s ломаной ли­ нией и получившуюся при этом многоугольную фигуру разобьем на конечные элементы в виде произвольного четырехугольника (рис. 7.3), каждый из которых

в свою очередь разделим на два треугольных элемента l u l l (есте­ ственно, что можно было бы с самого начала применять треугольные элементы, однако вариант метода с предварительным объединением простейших элементов широко используется на практике для раз­ личных целей— построения суперэлементов и др., поэтому данный вариант использован в настоящей книге с целью разъяснения неко­ торых полезных для практики примеров). Пусть по-прежнему вер­ шина элемента номер «е» занумерована целыми числами » /, k, i, введем вспомогательные векторы скоростей:

и II против часовой стрелки), тогда принимая-линейные аппооксимации полей

| ui, и (*, у) = а0+ ахх -f а2у

\ Vi, п (х, у) = Ь0-}- Ьхх + Ъ«у.

Составляя и решая системы вида (7.85) отдельно для треугольни­ ков I и II, получим:

232

(остальные коэффициенты получаются из (7.107) циклической пере­ становкой индексов),

(формулы для треугольника II получаются из формул для треуголь­ ника / заменой индексов: j -+k, k* - I). Матрицы 15е], [De1 четырех­ угольного элемента, необходимые для формирования глобальной матрицы вязкости, получается из матриц

следующим образом: предварительно [В\ п] умножается на площадь

треугольного элемента Д1,ц(что соответствует интегрированию по области, занятой треугольником I и II), после чего матрица [Б*]

расширяется до квадратной матрицы 8 x 8 добавлением двух нулевых столбцов и двух нулевых строк — седьмой и восьмой, матрица [Bfr] расширяется до матрицы 8 x 8 добавлением двух нулевых столб­

цов и строк — третьей и четвертой, и далее эти матрицы склады­ ваются. Последующее формирование глобальных матриц произво­ дится обычным образом.

Отметим здесь, что данный вариант метода всегда приводит к не­ вырожденным системам уравнений, в отличие от варианта, описан­ ного в п. 1: если в уравнении (7.93) при вычислении интегралов по области, занятой элементом Те, применить формулу прямоуголь­ ников с вычислением подынтегрального выражения в центральной точке, то в глобальной системе уравнений, отвечающей закреплен­ ной вершине и скользящим по горизонтали (или вертикали) точкам границы, строки окажутся линейно зависимыми (никаких неприят­ ностей не возникает при использовании квадратурных формул более высокого порядка).

8 МаПборода В. П. к др.

Г л а в а 8

ЧИСЛОВЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ

8.1. МЕТОД ПРЯМЫХ ДЛЯ РАСЧЕТА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ

Для решения динамических задач в рамках квазигидродинамической модели среды этот метод впервые использовался М. Уилкин­ сом. Для расчета нестационарных движений твердого деформируемого тела с фазовыми переходами этот метод развивался в работе [13]. В работе [141 этот метод используется для расчета нестационарных течений упруговязкопластических сред с дислокационной кинетикой неупругого деформирования.

Рассмотрим метод прямых (или частиц) на примере одномерного нестационарного движения среды в лагранжевых координатах:

— = и (я — эйлерова координата);

x_\d-i ди_ г ) дг

где / — якобиан преобразования; d = 1, 2, 3 соответственно, для плоского, цилиндрического и сферического движений. Компоненты лагранжева тензора напряжений сгг, аф связаны с компонентами эй­ лерова тензора напряжений зависимостями:

(d~2) (d-1)

Следует отметить, что при решении задач, связанных с изменением состояния частицы (например, переход из упругого состояния в пла­ стическое), необходимо следить за историей частицы, чтобы выявить переход частицы из одного состояния в другое. С этой точки зрения представление Лагранжа имеет несомненное преимущество. При решении одномерных плоских задач (d = 1) лагранжево представ­ ление имеет дополнительное преимущество, связанное с отсутствием необходимости подсчета эйлеровой координаты х частиц среды. Для задач с цилиндрической и сферической симметрией это преимущество отпадает.

234

В системе координат (г, I) на оси г в области течения возьмем точки /'х, гп и проведем прямые г = о (/ = 1, .... п), что соответ­ ствует разбиению системы на п материальных частиц. Предполагая существование достаточно гладкого решения, будем определять зна­

форме, чтобы точно удовлетворялись интегралы импульса и энергии

j р dV = J dS

для объема, заключенного между г = —l\\r = L (свободные поверх­ ности). Остановимся на этом более подробно.

В случае, если а (—I, t) = а (L , f) = 0, то общий импульс и энер­ гия системы должны быть постоянными. Интегралы импульса и энер­ гии для одномерного плоского движения имеют вид

С другой стороны для /-й частицы имеем:

Конечно-разностные соотношения для j ~ 1 и j = n следует записать так, чтобы удовлетворялось (8.2). Представим эти соотно­ шения в виде

4- Од ДМд 4- Мд Дад).

8.2. ПОЛУЯВНАЯ СХЕМА «СКВОЗНОГО» С«/£ГЛ

236

Gi* 3

2

где верхний индекс относится к временным слоям, а нижний — по координате г. Тогда определяющие соотношения среды в форме Соко­ ловского примут вид

На свободном конце стержня (пластины) конечные разности за­

где индексами «л» и «п» обозначены левый и правый слон.

Следует отметить, что устойчивость схемы (7.5) регламенти­

237

Используемая схема числового расчета при расчетах слоистых систем имеет высокую точность. Так, например, при решении за­ дачи о взаимодействии ударной еолны с контактными поверхностями контроль интегралов сохранения импульсов и энергии системы пока­ зывает, что точность расчетов находится в пределах 3 %.

Описанная разностная схема реализована в виде комплекса про­ грамм на алгоритмическом языке фортран для ЭВМ СМ-4. В состав комплекса входят программы для организации процесса вычисле­ ний, распределения доступной памяти для массивов, чтения исход­ ных данных и перевода их из внешнего представления во внутрен­ нее, росписи начальных условий, перехода со слоя на слой по времени в соответствии с разностной схемой и регистрации вновь полученных слоев решения.

Расчет 200 шагов по времени при 50 шагах по координате на ЭВМ СМ-4 длится 3—5 мин. Получение результатов работы програм­ много комплекса производится в три этапа. На первом этапе основ­ ная программа по исходным данным строит слои решения — распре­ деления напряжений, скоростей, деформаций и т. д. вдоль оси г — в заранее заданные моменты времени, и сбрасывает их во внешнюю память. Затем с помощью программы—[генератора отчетов, позво­ ляющей отображать результаты вычислений в графической и таб­ личной форме на печати и/или экране видеотерминала, производятся предварительный отбор и анализ результатов расчета, что позволяет оперативно оценивать их достоверность и полноту. Отобранные для дальнейшего изучения результаты помещаются в файл на диске, содержимое которого затем распечатывается на бумаге стандартными средствами документирования.

8.3. М ЕТОД С. Г. ГОДУНОВА (РАСПАДА ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫ ВА)

С. К. Годуновым предложен оригинальный метод числового рас­ чета нестационарных движений газа с разрывами в переменных Лаг­ ранжа. В многочисленных работах этот метод был использован для числового расчета распространения ударных волн в упругих телах. Физически этот метод представляется более реальным, чем рассмо­ тренные выше методы «сквозного» счета с использованием псевдовяз­ кости. Это преимущество особенно сильно проявляется в случае рас­ чета волновых задач в средах, содержащих контактные поверхности— слоистых средах. Схема имеет первый порядок точности и для задач линейной упругости обладает свойством монотонности. Ниже метод С. К. Годунова рассматривается на примере плоского соударения ли­ нейно упругих цилиндров.

238

това система координат. Пусть s — поверхность прямоугольного па­ раллелепипеда с вершинами в узловых точках, высотой А/ и длиной

Проинтегрируем левую и правую части каждого уравнения по объ­

239

решается следующая одномерная задача о распаде произвольного

240