книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Зависимость предела текучести о.т давления принимали линейной. Прямоугольниками, размер кото­ рых соответствует точности опреде­ ления бе и 1»0, нанесены глубины зоны постоянного упрочнения бе

взависимости от скорости удара vu. Сравнение экспериментальных

ирасчетных данных показало

хорошее подтверждение предположения о связи упрочнения с фа­ зовым переходом.

В первом приближении значения кинетических коэффициен­ тов /Г2, Л12можно рассматривать как предельные и их уточнение долж­

перехода (большие значения /Гг или линейная кинетика) приводят или к параллельному смещению кривой б (и0) вверх или к увеличе­ нию ее наклона. Штриховая линия на рис. 4.29 показывает зависи­

наклона кривой б (и0) можно добиться увеличением М, характери­ зующим увеличение предела текучести s* с давлением, и увеличением показателей нелинейности кинетического уравнения /г12. Такое спе­ цифическое влияние упомянутых трудно измеряемых величин суще­ ственно облегчает исследование кинетики.

В заключение остановимся подробнее на следующем обстоятель­ стве. В первых сериях экспериментов для скоростей удара i>„ = = 2700—3000 м/с глубина зоны постоянного упрочнения получа­ лась существенно меньше (на 3—5 мм), чем показанная прямо­ угольниками на. рис. 4.29, т. е. зависимость 6t. (v0) практически вы­ ходила на насыщение по i>0. Теоретические расчеты с различными вариациями /Тг, п12, Д|2, М не давали такого эффекта. Анализ пока­ зал, что это насыщение кривой Ье (v0) связано с двумерными эффек­ тами, а именно определяется боковой разгрузкой второй волны (Т)12), на которой происходит фазовый переход и которая при доста­ точном ослаблении существенно отстает от первой волны (D,). Про­ стые оценки с данными о двухволновой конфигурации возмущения показывают, что волна может потерять плоскую конфигурацию существенно раньше, чем волна £>12, т. е. боковая разгрузка (если не принять учитывающих это обстоятельство мер) может снять про­ цесс фазовых переходов на некоторой глубине, которые не произо­ шли вследствие бокового разгруження и в связи с этим дополнитель­ ного падения давления.

В связи с этим для больших скоростей удара (у0 = 2700—3000 м/с) был увеличен в полтора раза диаметр мишени (d = 130 мм вместо

d = 90 мм), ударяющей пластины и заряда ВВ (но при той же их толщине, что оставляло прежней скорость ударника). Это сразу исключило влияние двумерных эффектов на процесс фазовых пере­ ходов / 2 в центре образца и дало заметно более высокие значе­ ния 6е, которые хорошо согласуются с теоретическими результатами.

4.5. УДАР ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО БОЙКА О ПРЕГРАДУ

Здесь рассматриваются осесимметричные двумерные движения твердого деформируемого тела, более близкие к реальным условиям экспериментов, описанных в гл. 1. Поперечная инерция материала существенно влияет на физико-химические процессы в твердых те­ лах при высокоскоростном деформировании. Представляет интерес исследовать влияние поперечной инерции на явление затухания амплитуды упругой волны, фазовые переходы, разрушение отколом и т. д. Существует мнение, что релаксация напряжений за фронтом упругой волны происходит в результате взаимодействия с волнами боковой разгрузки. Выше показано, что волны боковой разгрузки существенно изменяют область фазовых переходов в твердых телах. В гл. 5 показано, что волны боковой разгрузки играют определенную роль в формировании откольной «чашечки».

При соударении двух цилиндров поперечная инерция материала обусловливает колебания осевых напряжений, причем частота коле­ баний определяется пробегом волны от свободной поверхности к оси образца и обратно. Максимальная амплитуда колебаний не превы­ шает разности осевых напряжений для одноосного напряженного и одноосного деформированного состояний.

Для случая упругих трубчатых образцов нетрудно оценить вклад радиальной инерции в напряженно-деформированное состояние. В этом случае полная система уравнений квазистатического осевого деформирования образца с постоянной скоростью деформации запи­ шется в виде

где w — радиальные смещения; сге, а2 и е0, е2 — окружные и осевые компоненты тензоров напряжений и деформаций. Система (4.26) при г = const имеет решение

- ( sin7 7 T = ^ ) ,' / 1 - v 2 / c ' ] ’

132

Из полученных решений видно, что для малых значений t напряжен­ ное состояние близко к одноосному деформированному состоянию. С течением времени осевое напряжение осциллирует с частотой

ci!2nrV 1 — v2 и возрастает до напряжения при одноосном напряжен­ ном состоянии.

Будем рассматривать двумерное нестационарное осесимметричное движение сплошной среды в цилиндрической системе координат г, г (от угла, ввиду осевой симметрии, величины не зависят).

При сверхвысоких скоростях соударения металлических цилин­ дров можно пренебречь прочностными свойствами среды и исполь­ зовать гидродинамическую модель. В предположении существования потенциала скоростей допускается аналитическое решение задачи. Рассмотрим задачу о поршне. Распространение волны в осесимметрич­ ном случае описывается волновым уравнением относительно потен­ циала скоростей ср

причем v = grad <р; г — радиальная координата; г — координата вдоль оси цилиндра. Граничные условия запишем в виде:

= vQпри х = 0, (р = 0 при г = 1.

Начальные условия нулевые. Далее будем иметь -дело с безразмер­ ными величинами.

Применим к уравнению (4.27) преобразование Фурье—Бесселя

133

Обращая соотношения (4.29) и (4.30), получим

.Из решений (4.31) и (4.32) следует, что в области течения суще­ ствуют зоны с растягивающими давлениями.

Ниже рассмотрим задачу о соударении цилиндров с учетом проч­ ностных и релаксационных свойств материала. Уравнения движения в цилиндрической системе координат в безразмерной форме имеют вид

причем черта сверху ставится для размерных величин. Понятие уп­ ругой сплошной среды ниже будем использовать в специальном смыс­ ле. Предполагаем, что скорости напряжений являются однородными линейными функциями скоростей деформации

риантная производная по времени, введенная Зарембой и Яуманном, причем

у . d / ч

— Gin№mj — Ojmtomit

где (&ki — компоненты тензора завихренности. Такой материал часто называют гипоупругим. Для изотропного материала закон Гука для скоростей упругих деформаций запишется в виде

+ atbij.

Запишем полную систему уравнений, описывающую нестационар­ ное осесимметричное движение гипоупругой среды. После некоторых

134

несложных преобразований определяющие уравнения для гипоупругой среды запишем в следующем виде

а7 = ^ + ( 1 - 2 г ) ^ + ( | _ 2 с !) ^ ,

0 У - < 1 - 2 »

где с = cs/ci — отношение поперечной упругой скорости звука к про­ дольной.

Решение системы (4.33) ищут в области В, представляющей собой

На линии контакта цилиндров поставим условие прилипания, т. е. смещения при z = Нх + 0, 0 с г < Rt и г = Нх — 0, 0 < г < Rx непрерывны. Следует отметить, что линия г = 0 является для си­

ном направлении, от плоскости контакта в противоположные стороны (рис. 4.30) распространяются плоские волны сжатия Г и 2'. Совместно с волнами сжатия от границы соударяющихся плоскостей, име­ ющей форму окружности «?, распростра­ няются волны разгрузки. В сечении пло­ скостью, проходящей через ось симметрии образцов, фронт волны разгрузки . имеет форму полукруга с центром на внешней

Рнс. 4.30. Волновая картина в результате соуда­ рения двух цилиндров

135

сти, ограниченной поверхностями цилиндров и фронтом волны раз­ грузки поле напряжений неоднородно, а движение частиц среды не­ одномерно.

На рис. 4.30 штриховые горизонтальные линии соответствуют отраженным от свободных поверхностей ударника и мишени волн разгрузки 1 и 2, движущихся навстречу друг другу. Штриховые ли­ нии 3 и 4, 5 на рис. 4.30 соответствуют переднему и задним фронтам боковой волны разгрузки. В области АВС, ограниченной линиями У, 3 и 4 происходит интерференция продольной, отраженной от свобод­ ной поверхности мишени, и боковой волн разгрузки. На рис. 4.31 показаны линии уровня постоянных напряжений а2 в момент вре­ мени t = 0,106, соответствующий началу отражения от свободной поверхности 2 = 0. Из рис. 4.31 следует, что линии уровня а2 = = const являются прямыми линиями вплоть до фронта волны раз­ грузки и симметричны относительно плоскости контакта. Отраже­ ние фронтов сжатия и боковой разгрузки происходит одновременно. В результате интерференции в окрестности угла 2 = 0, z = Rx линии уровня отличаются от линий уровня в окрестности точки пересечения фронта волны сжатия и боковой поверхности пластин. На рис. 4.32 показаны линии уровня аг = const. Отметим, что ни одна линия <jr = const не пересекает боковую поверхность пластин (так как на боковой поверхности выполнено условие а,. = 0), тогда как линии <J2 = const пересекают эту поверхность.

Практический интерес представляет задача об осесимметричном соударении двух цилиндров разного радиуса. Задача решалась ме­

ные моменты времени от линии пересечения плоскости контакта и боковой поверхности ударника распространяется волна разгрузки, которая примыкает к плоскому фронту сжатия. На рис. 4.33 показана схема волновой картины в'момент времени t = 0,1065, соответствую­ щий началу отражения волны сжатия от плоскости 2 = 0. Здесь: 1 — плоскость контакта; 2 — фронт волны сжатия, распространяю­

и4, движение одномерно. На рис. 4.34 показаны линишуровня oz =

=const в тот же момент времени. На рис. 4.34 видно, что линии уровня а2 = const прямолинейны вплоть до фронта тороидальной волны разгрузки, а вблизи линии пересечения плоскости контакта

136

ибоковой поверхности ударника напряжение <т2 резко падает до нуля. Аналогичным образом можно проанализировать и линии уровня сгг = const. Следует заметить, что линия пересечения поверхности контакта и боковой поверхности ударника является особой. Анало­ гом в квазистатике служит задача о штампе. Однако, если в статиче­ ских задачах эта особенность локализована в некоторой малой об­ ласти, то в случае распространения волн эта особенность является источником волн напряжений, существенно, как это видно на рис. 4.33

и4.34 влияющих на всю волновую картину в целом. Поэтому рас­ смотренная выше волновая картина, возникающая в результате удара цилиндрического бойка о мишень, полученная в результате непо­ средственных числовых расчетов, имеет лишь качественное значение.

Учет в расчетах, релаксационных свойств среды может привести к существенным изменениям напряжений и деформаций в мишени. В модели С. К. Годунова релаксационные свойства среды учиты­ ваются путем введения нелинейной вязкости. Результаты расчетов по модели С. К. Годунова показывают, что учет релаксационных свойств среды приводит к уменьшению действующих напряжений на 12—15 % [3].

Рассмотрим задачу о продольном ударе упруговязкопластичного цилиндра по абсолютно жесткой преграде. В качестве определяющих соотношений используются соотношения типа соотношений Пэжины (4.10). Интегрирование системы уравнений движения проводи­ лось по модифицированному методу Лакса—Вендроффа вдоль би­ характеристик системы. Впервые подобная модификация для реше­ ния динамических упругих и упругопластических задач с малыми деформациями использовалась Р. Клифтоном. На рис. 4.35 приве­ дены расчетные (сплошные линии) и экспериментальные зависимости

проверкой интеграла энергии. Относительная погрешность не пре­ вышала 8 %.

В результате продольного удара цилиндра о жесткую преграду вблизи контактной поверхности возникают высокие напряжения.

137

Рис. 4.35. Зависимость окружныхостаточных деформаций от глубины

Рис. 4.36. Удар цилиндра по жесткой преграде (штриховыми линиями пока­ зана пластическая зона)

В сторону, противоположную направлению удара, распространяется пластический фронт. Моделирование удара на ЭВМ в рамках квазигидродинамической модели показывает, что пластический фронт, который вызывает торможение упругой части тела, ближе к жесткой границе преграды, чем это показывает профиль ударника (рис. 4.36). На рисунке видно, что пластическое течение происходит и вблизи оси симметрии цилиндра вследствие схлопывания волн боковой раз­ грузки. Вариация отношения длины цилиндра к диаметру в расчетах показали, что отношение окончательной длины цилиндра к началь­ ной при заданной скорости удара является постоянным. Полное время установления состояния покоя при заданной скорости соударения прямо пропорционально начальной длине цилиндра. Расчеты на ЭВМ подтвердили, что начальная скорость пластической деформации линейно зависит от скорости удара. Расчетные скорости деформаций меняются от 2-104 с"1 при скорости удара 0,6 мм/мкс для коротких образцов. Увеличение температуры при высоких скоростях удара приводит к быстрой релаксации напряжения течения. При скорости удара 0,5 мм/мкс увеличение температуры в алюминии в результате пластического деформирования составляет 500—600 К. Следует от­ метить, что для металлов предел текучести для скоростей деформа­ ции свыше некоторого критического значения не зависит от этих скоростей.

Для среды с релаксационными свойствами в декартовой системе координат запишем замкнутую систему уравнений, предложенную С. К-Годуновым [4]:

138

где Rfj — релаксационные члены, причем

т0 — время релаксации (функция параметров состояния). Уравне­ ние неразрывности, явно не включенное в систему (4.34), является ее следствием.

Запишем уравнение (4.34) в криволинейной еистеме координат. Получим общее выражение для производной по времени компонент тензора второго ранга. Известно, что для любого постоянного век­

Тц — компоненты некоторого тензора второго ранга. Составим раз­ ность

Здесь величины Тц относятся к базису eh а без крышек — к базису е Таким образом, из (4.36) следует

в базисе eh

Для тензора деформаций е;,- справедливы соотношения

Тогда для полной производной по времени в базисе et получим

^ = 4 - + VJ®<) - “ *<«V -

139

Учитывая (4.39), уравнения для тензора скоростей деформаций за­ пишутся в виде

Аналогично получаются соотношения для ег и ez.

Окончательно запишем полную систему уравнений (безразмерных) для нестационарного движения вязкоупругой среды с цилиндриче­ ской симметрией

4 (рv )+4 (PW)+4 (р»я= 4 (a'S )+4-

dt е^ иг ~ д Г ^ - ^ - д Г -

140