книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Рис. 1.44. Зависимость давлении от напряжения, при­ ложенного к конденсатору

экспериментальные зависимости деформации от времени для начальных скоростей дефор­ мации в диапазоне 330—2030 с-1. Отме­ чается, что кривые, соответствующие на­ чальным скоростям деформации, превыша­ ющим ё0 = 2000 с-1, соответствуют состоя­ нию материала, предшествующему разру­ шению.

Среди прогрессивных методов технологии обработки металлов давлением использова­ ние удара занимает важное место. Исследова­

ния высокоскоростного деформирования заготовок ведутся во многих направлениях. Широкое распространение получил метод дефор­ мации листовых заготовок электрогидравлическим методом через передающую среду. Одна из схем деформации заготовки ударной волной через воду представлена на рис. 1.43.

Между двумя электродами в течение короткого интервала времени возникает высокая температура. Жидкость превращается в пар, который быстро расширяется и создает ударную волну. Удар­ ная волна, взаимодействуя с заготовкой, деформируется в матрицу.

Наряду с электрогидравлическим методом для высокоскоростной деформации трубчатых образцов используется энергия магнитного поля. Трубчатый образец помещают внутрь катушки соленоида. Энергия, накопленная в конденсаторах, разряжается в течение короткого промежутка времени через катушку-соленоид. В резуль­ тате образуется магнитное поле, развивающее давление на заготовку.

давления, развиваемого магнитным полем, от напряжения, при­ ложенного к конденсатору.

Наиболее распространенным методом регистрации высокоскоро­ стной деформации оболочек является метод высокочастотной ре­ гистрации. Необходимую для съемки частоту кадров определяют

31

Г ла ва 2 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ

2.1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕНИЕ - ДЕФОРМАЦИЯ

Рассмотрим зависимости между напряжениями и деформациями для случая одноосного напряженного состояния (стержень). В ра­ боте [21 содержится обзор исследований, посвященных этому во­ просу. Авторы обзора отдают предпочтение функциональному под­ ходу, т. е. заданию связи между напряжениями и деформациями в форме функционала

(0 = F[T',

структура которого определяется из экспериментов. Сложные струк­ турные механизмы, ответственные за неупругое поведение материала, при таком подходе учитываются интегрально через структуру дина­ мического функционала пластичности. В настоящей работе разви­ вается подход, основанный на использовании кинетических (эволю­ ционных) уравнений, описывающих структурные изменения мате­ риала. Следует отметить, что во многих случаях кинетический и функциональный подходы эквивалентны.

Теория распространения упругопластических волн в материалах, напряжения в которых зависят от деформации, но не от их скорости, развивалась X. А. Рахматулиным 117] и другими отечественными и зарубежными авторами. В литературе эту теорию часто называют

где и — смещение частиц среды; ct — продольная скорость волны. Теория распространения упругопластических волн в материалах, напряжения в которых не зависят от скоростей деформаций, интен­ сивно развивалась для исследования одномерных динамических волновых задач, когда реализуется двухосное напряженное или деформированное состояние, а также для исследования распростра­ нения двухмерных волн. Благодаря своей простоте и доступности эта теория широко применяется для расчетов элементов конструкций

при кратковременных импульсных воздействиях.

Однако многочисленные экспериментальные данные по динами­ ческому деформированию многих конструкционных материалов

32

указывают на необходимость учета зависимости деформаций от вре­ мени. Особенно явно эта необходимость проявляется при обработке данных экспериментов, в которых изучаются переходные процессы:

В рассматриваемых в предыдущей главе экспериментальных данных Дж. Липкина и Б. М. Малышева исследуется распростране­ ние дополнительных импульсов в предварительно пластически де­ формированном (статически или динамически) материале. Во всех указанных экспериментах скорость распространения добавочного импульса равнялась скорости упругой волны, а не локальной ско­

рости (Ci = V ^Oj/prfej), как это следует из теории Рахматулина — Кармана — Тейлора. Кроме того, экспериментальные данные по изучению распространения догрузочных волн высокой интенсив­ ности показывают, что вторичная волновая картина воспроизводит первоначальную, т. е. впереди распространяется упругий пред­ вестник, а за ним — пластический фронт.

Результаты описанных выше экспериментов не укладываются в рамки теории Рахматулина — Кармана — Тейлора. Указанные расхождения являются следствием того, что в теории не учитывается влияние скорости деформации материала на процесс образования волн.

К одним из первых работ, учитывающих чувствительность мате­ риалов к скоростям деформации, следует отнести работы А. А. Ильюшина [6, 7]. Обобщением определяющего уравнения, пред­ ложенного А. А. Ильюшиным, служит модель вязкоупругого тела

Р п (~ д Г ) ai = ("аГ) 8ь (2 ^

где Я„ и Qn — полиномиальные дифференциальные операторы сте­ пеней п и т соответственно,

Рис. 2.1. Эпюры напряжений в стержне моделей Максвелла (я), Фойхта (б) и че­ тырехпараметрической (в) для разных моментов времени

где константы Q и С2 определяются из граничных условий задачи. Оригинал изображения (2.7) сравнительно просто находится для следующих моделей:

На рис. 2.1, а—в показаны эпюры напряжений в стержне в раз­ ные моменты времени соответственно для каждой из моделей.

Можно показать, что система уравнений (2.3) совместно с опре­ деляющим уравнением Максвелла имеет две действительных харак­ теристики, т. е. является системой уравнений с частными производ­ ными гиперболического типа. В случае использования моделей Фойхта и четырехпараметрической модели вязкоупругого тела тип уравнений меняется на параболический. Это видно и из решений, представленных на рис. 2.1.

В табл. 2.1 приведены значения параметров, используемых при построении решений.

В. В. Соколовский и Л. Мальверн постулировали существование статической кривой св = / (ег) и вязкие деформации рассматривали

34

Таблица 2.1

как меру превышения действующих напряжений над статическими. Определяющие соотношения для среды записывали в следующем виде

dajdt = Edejdt — [(ах — ае)//с] (В. В. Соколовский)

dojdt = Edejdt — f[a1 — <JS (E^] (Л. Мальверн),

Нетрудно показать, что с помощью интегрирующего множителя

Таким образом видно, что достаточно простое дифференциальное уравнение (2.9) приводит к функционалу со сложной структурой. При этом следует иметь в виду, что для адекватного описания экспе­ риментальных данных в широком диапазоне изменения скоростей деформаций правая часть уравнения (2.9) будет иметь вид более сложный, а это в свою очередь приведет к существенному усложне­ нию структуры динамического функционала пластичности.

Часто при решении динамических задач априори ограничиваются без достаточных причин линейной частью функционала в его раз-

ложении в ряд по полилинейным функционалам. Однако для задач динамического неупругого деформирования металлов, когда суще­ ственна нелинейность вязких и пластических свойств, такой подход неоправдан и возникает проблема создания обоснованной, надежной методики определения структуры динамического функционала пла­ стичности. Для решения волновых задач такая методика, по-види­ мому, отсутствует.

С точки зрения числовой реализации задач нестационарного движения среды с волнообразованием, на наш взгляд, удобнее использовать определяющие уравнения в форме неголономных диф­ ференциальных соотношений типа (2.9). Прежде всего это связано с тем, что уравнения сохранения — неразрывности, импульса и энергии, используются обычно в дифференциальной форме.

В том случае, когда в правую часть определяющего уравнения (2.9) входят некоторые параметры накопления, для которых имеются свои дифференциальные уравнения, представить такое определя­ ющее уравнение в виде динамического функционала пластичности вида (2.10) вообще говоря не удается.

Н. Кристеску обобщил соотношения (2.8) для случая мгновенной пластичности, когда мгновенная реакция материала на динамическое воздействие неупругая. В соответствии с этим предположением определяющее уравнение для такого материала записывают в виде

Для того, чтобы выявить тип системы (2.12), дополним ее следу­ ющими соотношениями

‘Ь - Т Г ' Ь + Т Г * -

Расширенную систему (2.12) и (2.13) разрешим относительно производных

36

Из этих уравнений следует, что система уравнений (2.12) обладает

Следовательно, возмущение, возникающее на конце стержня, будет

числовых расчетах будет показано, что использование соотношений типа (2.11) не описывает ряда экспериментальных данных по рас­ пространению волн в стержнях из конструкционных материалов. Не описываются, например, явления запаздывания текучести и затухания амплитуды упругого предвестника, а также наличие «плато» пластических деформаций вблизи торца ударяющегося стержня.

В отличие от модели Соколовского — Мальверна, в которой по­ стулируется существование статической диаграммы as = as (ег), в модели материала с наследственными свойствами постулируется

существование динамической диаграммы ad = cprf (еГ), а последу­ ющее поведение материала определяется «сползанием» по этой диаг­

«памяти» материала.

Многочисленные экспериментальные данные по скоростному де­ формированию конструкционных металлических материалов опи­ сываются в рамках модели, основанной на дислокационных пред­ ставлениях [13, 14]. Структура уравнений этой модели имеет вполне определенное физическое обоснование. Тем не менее эту модель

37

неупругих деформаций к поверхности нагружения в пространстве напряжений. Для случая сложного нагружения строятся определя­ ющие соотношения. При этом в число определяющих параметров среды включаются параметры, характеризующие изменения ее вну­ тренней структуры. Для этих параметров записываются кинетические (эволюционные) уравнения.

Непосредственным обобщением соотношений Соколовского — Мальверна (2.8) являются соотношения Пэжины для расчета дина­ мических задач при сложном напряженном состоянии. Приведем один из вариантов определяющих уравнений типа уравнений Пэ­

где / 2 = SijSij, G, /С, ц, <7j), Si], Ьц, ё,], F — соответственно модули упругого сдвига и объемного сжатия, коэффициент вязкости, компо­ ненты тензора напряжений, компоненты девиатора тензора напря­ жений, компоненты тензора скоростей деформаций, компоненты девиатора тензора скоростей деформаций, F — поверхность теку­ чести. Для функций Ф (F) используются следующие зависимости:

где ое, k, Н, Wp, е? — соответственно пределы текучести при простом

растяжении и сдвиге, постоянная упрочнения, работа на пласти­ ческих деформациях, интенсивность пластических деформаций.

Последовательный термодинамический подход к построению полной системы уравнений движения сплошной среды с учетом релаксации напряжений развивается в работах С. К. Годунова [4]. Вводится удельная внутренняя энергия как функция параметров состояния среды: г,] — компонент тензора эффективных деформаций

иs — энтропии. Связь между компонентами тензора напряжений а1'

итензора ги задается формулами Мурнагана, которые в произволь­ ной системе координат имеют вид:

39

ческий тензор эффективной упругой деформации gij. Предполагается, что мгновенная реакция среды упругая, а уравнение состояния при­ нимается в виде U = U (klt k3t s), где klt k2t k3 — коэффициенты удлинений в направлении главных осей тензора деформаций. Фор­ мулы Мурнагана в главной системе координат

где Т — абсолютная температура.

В этом случае для главных компонент метрического тензора эффективной упругой деформации можно написать gi = 1/jfe? (i = = 1,2, 3). Компоненты тензора эффективной деформации опреде­ ляются формулами ё,7 = (6,7 — 2gij)l2.

Полная система уравнений движения среды с учетом релаксации, предложенная С. К. Годуновым, запишется в следующем виде:

Совместно с формулами Мурнагана (2.23) система (2.25) является полной. Заметим, что в систему (2.25) не включены уравнения не­ разрывности и уравнение для энтропии 5. Можно показать, что при выполнении условия

40