книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Запишем систему (2.25) для одномерного случая

Л+ и~ а Г "

Рассмотрим вопрос о структуре волны в среде с релаксацией. Будем искать решение системы (2.28) в виде бегущей волны:

I = * + Dvt, f = f( x + а д .

Запишем систему (2.28) в системе координат, связанной с фронтом бегущей волны, так, что Dv = 0:

Решение этой системы должно обладать следующими свойствами:

—оо известны начальные условия. Интегрируя уравнения си­

Второе и третье уравнения системы (2.30) определяют кривую, заданную параметрическими уравнениями kx = kx (5), ft3 = Ла (S), называемую кривой возможных состояний.

41

Рис. 2.3. Кривая возможных состоя­ ний

Р‘

Р11‘

О

Рис. 2.4. Структура ударной волны

Можно показать, что при М > pQci кривая возможных состояний имеет вид, показанный на рис. 2.3. Обозначим через Р точку пересечения прямой In kx = In k2с кривой возможных состояний. В точке Р выполняется условие J2 = 0. Следовательно, существует некоторая окрестность точки Р, в которой выполняется неравенство J2 < а*. Пусть точка Р' соответствует конечному состоянию за фронтом. Из третьего уравнения (2.29) следует, что переходу в конечное со­ стояние соответствует кривая возможных состояний, лежащая в полу­ плоскости In < In k2. Отсюда следует, что In k2 = f (£) — моно­ тонная функция. Таким образом, из нулевого состояния в точку Р' можно перейти лишь следующим образом. Вначале осуществить скачок из точки О в точку Р" (см. рис. 2.3), так что In k2 = const. Если в точке Р" выполняется неравенство J2 < а*, то состояние в точке Р* будет конечным. Однако в случае влияния релаксации при переход в точку Р1 осуществляется по кривой возмож­ ных состояний от точки Р". На рис. 2.4 показана соответствующая структура волны в переменных In klf l.

Предполагаем, что компоненты скоростей полных деформаций можно представить в виде суммы компонент тензоров скоростей упругих и неупругих деформаций

(2.31)

Скорость упругих деформаций связана с компонентами тензора напряжений законом Гука. При неупругом деформировании (ъпц ф

Ф 0) положим, как это обычно делается в теории пластичности, что существует связь, определяемая функцией нагружения

42

Рассматриваются изотермические процессы Т £ |Л£}. Перемен­ ные параметры (И характеризуют внутреннюю структуру среды

(верхний индекс А отвечает совокупности тензорных индексов, ниж­ ний— s — номер параметра). Будем считать, что процесс неупру­ гого деформирования имеет место при / = О, d'fl dt > 0 (активное нагружение). Внутри поверхности нагружения (/ < 0), а также при разгрузке (/ = 0, d'f/dt < 0) и нейтральном нагружении (f = 0, d'fldt = 0) принимается, что изменения неупругих деформаций от­ сутствуют. Под d'fl dt понимается

Далее будем полагать, что эволюционные уравнения типа

для определения параметров р / можно получить путем независи­

мых исследований в области физики твердого тела, теории дислока­ ций, физической химии высокомолекулярных соединений и других смежных областей механики сплошной среды.

Параметры состояния qr типа \if 10. Н. Работнов включает в за­

висимости между инвариантными характеристиками для описания сложного напряженного состояния. Исходные соотношения для скорости деформаций ползучести записываются в виде [15]

где ф некоторая скалярная функция вида ф = ф (</, .... qm, сг£у, Т). Для параметров состояния qr записываются соответствующие кине­

В работе О. В. Соснина, В. В. Горева и А. Ф. Никитенко в качестве

параметра qTпринимается величина рассеянной энергии А = сг,7е7/. Из соотношений (2.33) и (2.34) получим

(2-35»

Для скоростей неупругих деформаций будем предполагать справед­ ливым обобщение принципа градиентности теории пластичности

(2'36)

Для К с учетом (2.32) и (2.36) получим

43

Отметим, что вместо принципа градиентальности для получения определяющих соотношений неупругого деформирования материала можно было бы рассматривать какие-либо другие постулаты, имею­ щие определенный физический смысл. При этом рассматриваемый в пространстве напряжений вектор скорости неупругих деформаций вообще говоря не ортогонален к поверхности / = 0. Однако в случае постоянства упругих характеристик среды принцип градиенталь­ ности сохраняется.

Соотношения (2.36) и (2.37) можно переписать в следующем виде

7. (2-38)

где

& = h

Таким образом, скорость неупругих деформаций складывается из обычной пластической деформации (не зависящей от масштаба времени) и компоненты деформации, обусловленной изменением пара­ метров р^, 8^..

Отметим, что ненулевые изменения гп.. имеют место, когда ско­ рость нагружения удовлетворяет условию

В частности, это условие может выполняться при движении точки, изображающей напряженное состояние, по касательной или внутрь поверхности / = 0, а также при фиксированном напряженном со­ стоянии (ползучесть).

В качестве функций / для определенности далее будем рассматри­ вать следующее обобщение функции Мизеса

Тензор рп — тензор дефектов, в частности, это может быть тензор плотности дислокаций. Так как

то для неупругих деформаций, согласно (2.36), имеем

tenhl

В рамках рассматриваемой модели изменение объема чисто упругое, так что ё",- = a?,, e}f = е?, — 1/ЗвААб(/.

44

Скалярная функция С зависит, вообще говоря, от девяти инва­ риантов тензоров иеупругих деформаций и дефектов. Предположим, что существенное влияние на С оказывают только интенсивность не­ упругих деформаций у*

и интенсивности тензора дефектов

= (i/V i/M ',/)1'2. и'н = (ч/- e „ ■

Для изменения напряжений с учетом соотношений,

При фиксированном напряженном состоянии происходит изменение неупругих деформаций (ползучесть) за счет переменного параметра п.(. Для интенсивности тензора скоростей деформаций ползучести из (2.41) имеем

(eiVi//2)1/2 = ^ £ ^ f .

Cysklekl

Для интенсивности тензора скоростей деформаций ползучести будем считать справедливым обобщение соотношения Орована

Так как при активном нагружении должно выполняться условие d'f/ dt > 0, получим

45

Рассмотрим вопрос о напряженно-деформированном состоянии, реализуемом при испытаниях по традиционным схемам — кручение тонкостенных трубчатых образцов и одноосное растяжение (сжатие) стержневых образцов.

Положим, что система координат выбрана так, что ось хг направ­ лена вдоль оси образца, а оси х2 и х3 ей ортогональны. В рассматри­ ваемом случае отлична от нуля только одна компонента тензора на­ пряжений а12 и только одна компонента тензоров деформаций е12, упругих деформаций ef, = ст12/2<7, неупругих деформаций е'1, . Ус­

то для скоростей неупругих деформаций из (2.43) имеем

е"2 = — btiiUs sign (C'nAi).

Ч

Кинетическое уравнение запишется в виде

Щsign (Cn• tti).

46

Заметим, что кинетическое уравнение для nt записывается анало­ гично. Используя далее обозначение для скорости деформации,

Для конкретных расчетов многих конструкционных материалов принята следующая зависимость

С = Со + ссу” — где а, р и С0 — постоянные коэффициенты.

Вэтом случае эволюционное уравнение имеет вид

аЬщи3

rt «=— й— >

а уравнения (2.44) и (2.46) соответственно будут иметь вид

+За

Вкачестве дальнейших приложений определяющих соотношений (2.42) рассмотрим продольно-сдвиговое движение среды в плоскодеформированном состоянии

47

Для рассматриваемого случая движения среды выпишем матрицу компонент тензора напряжений:

Для компонент девиатора тензора напряжений имеем: Si = сТх — (cTi + 2ог3)/3 = 2 (о, — о3)/3;

«з = — (<*i — ^з)/3;

S12 = °12-

Таким образом, матрица компонент тензора девиатора напряжений запишется в виде:

Соответственно скалярное произведение тензоров девиатора напря­ жений запишется в виде

SklSkl = S? “b 2^3 -j- 2S?2 — ~д~ (&1 — Оз) -f- ~ (Oj — Оз)2 -(- 2о?2 =

=(oi — оз)2-f-2о?2.

Дифференцируя левую и правую части последнего равенства по вре­ мени, получим

48

где К — упругий модуль объемного сжатия. С учетом условия пла­

—G&i Н~ “з- Л (<Т| — а3)fit,

аг -{- 2сг3 = ЗК&1-

Рассмотрим вопрос об учете необратимой сжимаемости и темпе­ ратуры в рамках описанного выше кинетического подхода. Неупру­ гое деформирование при высоких значениях давлений и температур может сопровождаться изменением объема. В этом случае допустим, что поверхность нагружения определена в следующем виде:

Из равенств (2.36) и (2.37) для функции нагружения (2.50) следует

eb= h (df/dV7D (sul/Z)

Заметим, что соотношение (2.52) справедливо для активного нагру­ жения, когда / = 0, /' > 0 , е". Ф 0. Для нейтральных нагружения

49

и разгрузки имеем f = 0, f' < О, ё“ = О. В случае постоянных во

времени полей напряжений и температур неупругие деформации от­ сутствуют, но имеют место деформации ползучести, зависящие от масштаба времени

Таким образом, тензор скоростей неупругих деформаций можно разделить на деформации, зависящие и не зависящие от масштаба времени следующим образом

+(df/dT)T.

2.3.ТЕРМ ОДИНАМ ИКА СРЕД С П ЕРЕМ ЕН Н О Й С Т Р У К Т У Р О Й

Соотношения, связывающие силовые и кинематические характе­ ристики сплошной среды, необходимы для замыкания системы урав­ нений сохранения массы, импульса и энергии, описывающих ее движение. Важность вопроса о выборе адекватных определяющих соотношений обусловлена необходимостью учета в решаемой задаче особенностей строения конкретных конструкционных материалов.

Для определения соотношений между напряжениями и деформа­ циями для реальных материалов, проявляющих три основных ме­ ханических свойства — упругость, пластичность и вязкость, необ­ ходимо исходить из общих термодинамических положений и допол­ нительных постулатов, имеющих определенный физический смысл. Ниже с этой точки зрения решается вопрос об установлении опреде­ ляющих уравнений, для конструкционных материалов, чувствитель­ ных к изменениям скоростей деформации, при этом механические процессы рассматриваются во взаимосвязи с термическими и струк­ турными процессами, протекающими в деформируемых твердых телах. Такой подход предполагает, наряду с термодинамическим анализом, использование данных анализа структурного состояния среды.

Обзор работ, посвященных термодинамическому подходу к по­ строению моделей динамической пластичности, содержится в работе

В.Н. Кукуджанова и В. Н. Кондаурова [12].

Вкачестве определяющих параметров среды примем: — ком­ поненты тензора упругих деформаций; Т — абсолютная темпера­

тура; \tf — внутренние параметры состояния, причем А = 1,2, ...,

п, a s — индекс для обозначения скалярной, векторной или тензор­ ной величин. При таком выборе определяющих параметров удобно использовать в качестве функции состояния свободную энергию еди-

50