книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

где Ud — энергия активации диффузии; к — постоянная Больцмана. В условиях переползания дислокации вдоль границ зерен в скоп­ лении до их аннигиляции в точках, находящихся на расстоянии d,

согласно Фриделю скорость переползания

ww-4 K«p(-£-H]-

где те — напряжение, действующее в головном скоплении. Остановимся более подробно на факторах, тормозящих скольже­

ние дислокаций. Так как перемещения дислокации являются опре­ деляющим актом процесса пластической деформации, то для повы­ шения прочностных свойств металлов необходимо создать такие ус­ ловия, которые бы препятствовали скольжению дислокаций. По­ этому исследование факторов, тормозящих скольжение дислокаций, представляет особый интерес. В случае скольжения в совершенном кристалле наиболее эффективным является торможение в «газе» фононов. Фононы определяют два основных механизма торможения. Первый из них обусловлен рассеянием тепловых фононов движущейся дислокации. Коэффициент торможения (вязкости) в этом случае определяется формулой

В = aWT/\0cs,

где а — постоянная решетки; WT — плотность тепловой энергии. Другим источником фононного торможения является фононная

вязкость. В этом случае коэффициент вязкого торможения опреде­ ляется формулой

В = bhySnal,

где r\s — «фононная вязкость», обусловливающая затухание акусти­ ческой волны сдвига; а0 — предельное значение радиуса, меньше которого фононный механизм не работает.

Решетка кристалла вследствие периодичности структуры также оказывает сопротивление движению дислокации. Максимальное на­ пряжение, требуемое для преодоления этого сопротивления, назы­ вается напряжением Пайерлса—Набарро. Пайерлс и Набарро опре­ делили значение той силы, которую надо преодолеть для перемеще­ ния из одного равновесного состояния в другое

T/t = 2G exp [—2л (kjb) ],

где Я-! — ширина дислокации, которая оценивается весьма прибли­ женно. Поэтому значение xh рассчитывается только по порядку ве­ личины. На значение тл существенно влияет изменение температуры.

Дислокация может тормозиться и закрепляться точечными де­ фектами — внедрениями или вакансиями. Измеряя напряжение освобождения дислокаций, можно определить прочность закрепле­

61

ния дислокаций «облаком» точечных дефектов. Так, например, для никеля до закрепления предел упругости аЕ = 37,1 МН/м2, а после закрепления вакансиями при температуре 610 К <Гв = 51,1 МН/м2. Если образец подвергнуть деформации, то дислокация освободится от «облака» точечных дефектов. Таким образом, можно предпола­ гать, что на стадии развитого пластического течения точечные де­ фекты не блокируют дислокации, но существенно влияют на началь­ ной стадии, внося вклад в задержку текучести материала.

Однако явление запаздывания текучести, которое макроскопиче­ ски проявляется в наличии специфического падения напряжения на диаграмме напряжение—деформация, полученного при испытаниях, например, стержневых образцов на растяжение, объясняется не только как результат блокировки дислокации «облаком» точечных дефектов. Исследования структуры образцов на упругой стадии до наступления текучести обнаруживают наличие следов скольжения в наиболее благоприятно ориентированных зернах. Иными словами, подготовка перехода образца в пластическое состояние начинается уже в упругой области. Увеличение напряжения приводит к тому, что все большее число дислокаций начинает двигаться, причем тем быстрее, чем выше приложенные напряжения и, кроме того, проис­ ходит процесс размножения дислокаций. В период, когда дости­ гаются достаточно большие значения средних скорости и плотности дислокаций, начинает осуществляться переход из упругого в пласти­ ческое состояние. Существенно влияет на этот процесс закрепление дислокаций точечными дефектами.

Всоответствии с рассмотренными выше дислокационными меха­ низмами приведем далее возможные варианты кинетических уравне­ ний для скорости размножения дислокаций.

Вреальных конструкционных металлических материалах в недеформированном состоянии всегда содержатся дислокации с на­ чальной плотностью 104—107 см-2. Экспериментально установлено, что на начальных стадиях пластического деформирования плотность дислокаций быстро растет. В соответствии с этими выводами в ряде работ кинетическое уравнение для размножения дислокаций пред­ лагалось записывать в следующей форме

где п — средняя плотность дислокаций; А — коэффициент размно­ жения, зависящий от уровня приложенных напряжений т. Уравне­ ние (2.83) описывает механизм многократного поперечного скольже­ ния дислокаций. При т = const из (2.83) следует

п = п0 exp {At),

где п0 — начальная плотность дислокаций. Для учета запирающего влияния из-за высокой плотности дислокаций п кинетическое урав­ нение (2.83) модифицируется в виде уравнения кинетики химических реакций второго рода

62

где s0, а и | 3 — коэффициенты, зависящие от т. Перед последним чле­ ном в правой части уравнения стоит знак минус для учета запираю­ щего действия вследствие парного взаимодействия дислокаций.

Для учета эффекта запирания дислокаций вследствие их большого

Произведение Я-1 т определяет величину критической плотности дислокаций, разделяющей области их размножения и запирания для данного уровня максимальных напряжений сдвига т.

В многочисленных экспериментах наблюдалась линейная зави­ симость плотности дислокаций от величины максимальных пласти­ ческих сдвигов

где т — коэффициент размножения. В табл. 2.2 приведены экспери­ ментальные значения т.

Интенсивный рост дислокаций на определенной стадии пластиче­ ского течения замедляется вследствие взаимного запирания дислока­ ций из-за их высокой пластичности. Для учета этого обстоятельства вводится дополнительный кинетический параметр пт — плотность подвижных дислокаций. Для описания развития деформаций во вре­ мени при постоянном напряжении т в ряде работ кинетическое урав­ нение для п т используется в следующей форме

где А х и Ап — постоянные, зависящие от уровня приложенных на­ пряжений, ef — деформации ползучести. С учетом соотношения Ороваиа в форме

63

которое имеет ясный физический смысл. Для учета стационарных источников дислокаций уравнение (2.88) часто принимают в виде

dfim/dt = Аг -f- A\btis (т) tim — Aobus(т) пт.

Далее мы не будем разделять дислокации на подвижные и за­ крепленные, а запирающее действие дислокаций учитывать в записи выражения для. средней скорости дислокаций

us(x) = u°s(%) фДт, п), (ф5< 1),

причем \|)s < 1 при п < л* и % « 0 при п > л*, где /г* — некоторое критическое значение плотности дислокаций, выше которого прояв­ ляется запирающее действие соседних дислокаций. Тогда уравнение Орована для деформаций ползучести запишется в виде

Основываясь на приведенном выше анализе возможных механиз­ мов движения и размножения дислокаций, для скорости размноже­ ния дислокаций можно принять следующее обобщенное кинетическое уравнение для средней плотности дислокаций

где первый член правой части уравнения описывает изменение плот­ ности дислокаций в результате многократного поперечного скольже­ ния, второй член — производство дислокаций за счет других источ­ ников типа источников Франка—Рида, и последний член правой ча­ сти уравнения описывает аннигиляцию дислокаций за счет их пар­ ного взаимодействия вследствие диффузии. Заметим, что в процессе множественного скольжения дислокаций могут реализоваться два случая: 1) размножение преобладает над процессами аннигиляции; 2) аннигиляция дислокаций преобладает над их размножением. Функция фй (т, п) определяется конкретными механизмами диффу­ зии. Конкретный вид этой функции будет обсуждаться ниже приме­ нительно к ползучести.

В некоторых случаях задавать кинетические уравнения можно только априори, так как не удается получить непосредственно из не­ зависимых экспериментов соответствующие данные. Так обстоит дело в случае фазовых переходов на фронтах сильных ударных волн, когда вторая фаза после снятия нагрузки не сохраняется. Для железа, например, известно лишь то, что переход а -► е происходит за вре­ мена порядка 0,2 мкс.

Для количественного описания исследуемого явления введем понятие скорости фазового перехода У12, равной массе, перешедшей из первой фазы во вторую (или наоборот с обратным знаком) в единице объема смеси за единицу времени. Предварительно разобьем У12 на два слагаемых

Лг = /12 /21>

каждое из которых может быть только неотрицательным, причем одно из них в каждой точке обязательно равно нулю. Если фазовых пере-

64

Рис. 2.8. Гистерезис фазовых переходов;

I — п = 1; 2 — п = 2; 3 — п = 4

входит в квадратные скобки (2.91), равна площади К1К2А2А 1 или

Зная характерное время кинетики фазового перехода, можно оце­ нить значения коэффициентов L12 и L21.

Имеет смысл рассмотреть некоторое нелинейное обобщение линей­ ных соотношений (2.93), которое также определяет скорость фазо­ вых переходов в зависимости от давления (пересжатия или перерасширения), но когда имеется некоторое максимальное значение, соответственно jh и /21 (насыщение), скорости превращения и в то же время, когда эта скорость может быть очень малой при достаточно малых отклонениях от равновесия:

/21 = 0, если (р§ = 0 или ps с р).

Эти зависимости, приведенные на рис. 2.8, могут дать некоторый фактический гистерезис перехода (при достаточно больших п12 и п21), т. е. переход 1 -> 2 будет проходить в основном при больших давле­ ниях, а обратный переход 2 -ь 1 — при давлениях, меньших ра.

2.5. МОДЕЛЬ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

При исследовании динамических процессов в твердых телах в ус­ ловиях высоких давлений и температур определяющую роль играет объемная сжимаемость материала, и прочностными эффектами (со­ противлением материала сдвигу) для многих практически важных задач можно пренебречь. С термодинамической точки зрения это

66

означает, что термодинамическая функция состояния, например, внутренняя энергия среды зависит только от первого инварианта тензора деформаций — плотности и энтропии. Поэтому такой под­ ход часто называют «гидродинамическим».

Удельную внутреннюю энергию и давление твердого тела в гидро­ динамической модели представляют в виде суммы трех составляю­ щих, которые соответственно описывают упругие свойства холодного тела на гидростатическое сжатие, гармонические колебания атомов в решетке и тепловое возбуждение электронов вместе с ангармони­ ческими эффектами колебаний атомов

^(Р°* Т) = Vp-\-U^-\-Uea, р (р°, Т) = рр -f рт+ реа,

U , = cT , р т = Y (р °) р ° £ /т >

Uea = B (9°)T \ реа = Уеа(Р°) ^гаР°*

Здесь р®— плотность среды (фазы) при фиксированных параметрах

циента Грюнайзена, связанный с ангармоническими эффектами коле­ баний атомов и возбуждения электронов.

Функция рр (р°) должна определяться из эксперимента (методом статического обжатия или ударно-волнового обжатия). Вид функций у (р°), В (р°) и уеа (р°) зависит от плотности.

Разработаны экспериментальные методы исследования твердых тел с помощью сильных ударных волн и методы извлечения из этих экспериментов уравнений состояния. Основные результаты и состоя­ ние теории изложены в обзорной работе (Альтшулер Л. В. Приме­ нение ударных волн в физике высоких давлений.—УФН, 1965,85, №2,

с. 127—258).

Для определения уравнений состояния металлов и ионных кри­ сталлов используется и разрабатывается метод потенциалов, очень удобный для приложений. В этом методе из теоретических положений задаются видом каждой составляющей уравнения состояния. В эти выражения входят некоторые заранее неизвестные коэффициенты, которые и находятся с использованием экспериментальных данных (ударное и статическое сжатие). Эти коэффициенты подбирают таким образом, чтобы получаемая с их помощью теоретическая изотерма или ударная адиабата давала наименьшее квадратическое отклонение от экспериментальных точек. К сожалению, полученные коэффи­ циенты при обработке статических и ударных экспериментов, а также при их совместной обработке для многих металлов существенно отли­ чаются друг от друга.

Аппроксимационная форма уравнений состояния имеет вид

УР (р°) = т 1 :ехр[б(1 - ^ /3) ] - - ^ г .

Рр(р°) = -jii ехР И 1 - *'/3)] - •

Здесь А, К, Ь, рЦ — фиксированные для каждого металла и каждой его фазы величины. Первые слагаемые характеризуют силы отталки­ вания, а вторые — силы притяжения. Для коэффициента Грюнайзена примем линейную аппроксимацию

т(р°) = о -Р р 7 р о ,

справедливую для многих металлов и их фаз в широком диапазоне плотностей. Вообще говоря, у (р°) определяется функцией рр (р°). Но существуют несколько теорий (Слейтера—Ландау—Станюковича, Дугдала—Макдональда, Зубарева—Ващенко), дающих эту связь, и все они приводят к разным формулам, причем все эти формулы вклю­ чают двукратное дифференцирование функции.

Представление тепловой составляющей внутренней энергии в виде UT = cvT (cv = 3Nk, где N — число атомов в единице массы, k — постоянная Больцмана) существенно уменьшает объем вычислений и в то же время имеет достаточную при Т > TD точность, где TD — дебаевская температура вещества. Так, максимальная погрешность при определении UTдля рассмотренных ниже задач составляет ~ 5 %, причем она реализуется, когда UT Up (малые температуры). Когда же Uт становится сравнимой с Up (достаточно высокие темпе­ ратуры), приближение постоянной теплоемкости (закон Дюлонга и Пти), достаточно точно.

Та часть внутренней энергии и давления, которая определяется квадратом температуры (Uea и реа — характеризуют вклад тепло­ вого возбуждения электронов и ангармонических эффектов при теп­ ловом движении атомов в решетке) становится существенной, когда давление в ударной волне превышает 100 ГПа (Т > 10 000 К).

Для учета в рамках гидродинамической модели прочностных свойств, присущих твердому телу (сопротивляемость материала де­ формациям сдвига, упругость, пластичность, более высокая скорость распространения слабых возмущений, чем это следует из гидродина­ мической модели), вводится девиатор напряжений sftJ. В главных осях тензора напряжений закон Гука можно записать в виде

Для определения предела текучести используем условие текуче­ сти Мизеса

(01 — о,)5 + (di — о,)2+ (ст2 — Ста)2 = 2Ко

ИЛИ

(Я - Я)2 + (Я - Я)2 + (Я - Я)2 = 2 Y l

где Y0 — предел текучести при простом растяжении. Левая часть по­ следнего равенства пропорциональна упругой сдвиговой энергии. Пластическое течение начинается при достижении предельного зна­ чения энергии упругого сдвига. Значение YQобычно растет с увели­ чением давления и падает с ростом температуры. В случае, если метал расплавляется, Y0 = 0 и напряжение сводится только к гидростати­ ческому давлению. В ряде работ по числовому моделированию одно­ мерных неустановившихся упругопластических течений затухания возмущения сравнивались с экспериментальными данными. Для алюминия и меди подобраны значения коэффициентов линейной зависимости предела текучести от давления так, чтобы рассчитанное затухание и профили давления совпадали с экспериментальными данными.

Таким образом, была получена зависимость

Уо = Yo + M(p — ро),

где Yo и ро — предел текучести и давление в точке Гюгонио на удар­ ной адиабате. Для алюминия и меди значение М получено равным соответственно 5,5-10~® и 3,1-10“°, а значение Уо соответственно 2,5-10-7 и 0,7-10“7 ГПа. Интересно отметить, что статические экспе­ рименты на стали 45 дали увеличение предела текучести более чем в 50 раз при повышении давления до 50 ГПа. Гораздо меньшее увели­ чение У0 в ударно-волновых экспериментах можно объяснить релак­ сацией за счет адиабатического разогрева материала на ударной волне.

В ряде работ используется квазигидродинамическая модель с с уравнением состояния типа Ми-Грюнайзена, предложенным Тиллотсоном в 1962 г. и хорошо зарекомендовавшим себя в числовых расчетах процессов высокоскоростного соударения и распростране­ ния ударных волн. По оценкам модель удовлетворительно описывает поведение металлов не только при сжатии, но и при отрицательных давлениях вплоть до плотностей порядка р/р0 = 0,97, где начи­ нается разрушение материала. С другой стороны, необходимо отме­ тить, что модель не учитывает таких явлений, имеющих место в реаль­ ных конструкционных материалах, как фазовые переходы и пере­ кристаллизация металла при высоких давлениях.

При сжатии (р/р0 > 1) или для любых «холодных» состояний давление р как функция плотности р и удельной внутренней энер­

(2.96)