книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

ных частиц. Предполагая существование достаточно гладкого ре­ шения, будем определять значения искомых функций в точках х = ху, производные по х заменим центральными разностными со­ отношениями. В результате система шести дифференциальных урав­ нений с частными производными перейдет в систему 6/г обыкновен­ ных дифференциальных уравнений по времени, которая, опуская черточку сверху, имеет вид

Необходимо выставлять граничное условие при некотором х — хь ограничивающем среду справа. Это граничное условие может быть произвольным, однако в процессе расчетов необходимо анализиро­ вать его влияние на ход решения задачи. В данном случае примем

х = I, р = О, тогда для последней разности имеем

Чтобы использовать описанный метод в тех случаях, когда в системе могут образовываться разрывы — ударные волны, вводится фиктив­ ная вязкость, что приводит к размазыванию разрывов. В областях, соответствующих непрерывному течению, вязкость не влияет на процесс, а при переходе через область скачка, будут выполняться соотношения Ренкина—Гюгонио, так как они не зависят от вязкости. Псевдовязкость вводится следующим образом

Р* = —(Р + Ф ),

f“ “ ( I r S * 0)

ив уравнениях движения используется давление р*. Лучшие ре­ зультаты получаются, если конечно-разностное соотношение для

201

Расчеты проводились при использовании следующего разност­ ного аналога вязкости

Результаты числовых расчетов приведены на рис. 6.5. Моменты времени tx и t2 относятся к состояниям до и после взаимодействия ударной волны с границей раздела. Штриховой линией показано решение, полученное непосредственным применением метода пря­ мых с псевдовязкостыо, а сплошной линией показано решение, полученное при введении дополнительной вязкости. В момент вре­ мени tx эти решения практически совпадают. В момент времени /2 решение, полученное при обычном способе введения псевдовязко­ сти, сильно осциллирует за ударным фронтом. При введении допол­ нительной вязкости, которая действует при сильных осцилляциях, полученное решение является гладким. Отметим, что дополнитель­ ная псевдовязкость может вводиться по различным критериям. Легко видеть, что дополнительная вязкость действует не только в области фактической нерегулярности решения, но и в области гладкого решения, там, где значения второй производной превышают значения первой. Примерами функций, удовлетворяющих такому условию, являются, например, экспоненциальные функции. Поэтому введение дополнительной псевдовязкости приводит к дополнитель­ ному размазыванию ударного фронта. Можно предложить критерии, которые не обладают этим свойством.

В частности, при анализе необходимости введения дополнитель­ ной псевдовязкости в данной точке можно по значениям скоростей

вдвух соседних с ней точках вычислить по трем точкам среднее арифметическое значение скорости. В случае, если разность скорости

вданной точке и среднеарифметической скорости имеет знак, отлич­

четы по данному критерию для усло­ вий, соответствующих рис. 6.5, показа­ ли, что в этом случае ударный фронт раз­ мазывается меньше, а осцилляции за

Рис. 6.5. Зависимости давления от глубины (расчет для трех пластин)

фронтом после прохождения поверхности раздела сглаживаются так же, как при введении дополнительной псевдовязкости. Следует от­ метить, что введение дополнительной псевдовязкости описанным выше образом не всегда дает желаемые результаты. Так, при увеличении интенсивности падающей волны никакими изменениями констант и а или изменениями критерия вообще не удается подавить осцилля­

ции за ударным фронтом и тем самым рассчитать задачу при большом числе взаимодействий. Выяснилось, что только увеличение коэффи­ циента линейной вязкости сх, которое приводит к дополнительному размазыванию падающей волны, при введении дополнительной псевдовязкости дает желаемый эффект. При этом коэффициент сх в зависимости от интенсивности волны приходится увеличивать в не­ сколько раз. В связи с тем, что уменьшение размазанности ударных фронтов при использовании описанного метода не позволяет прово­ дить расчеты до конца (из-за дробления шага по времени), в основ­ ных расчетах данной работы используется дополнительная вязкость, при этом коэффициент сх подбирается в результате числовых экспе­ риментов. Естественно при этом встает вопрос о точности расчета. Во время переходного процесса гидродинамические величины могут сильно отходить от истинных значений, а при большом числе раз­ рывов переходные области могут покрывать всю фазовую область сетки, что может привести к снижению точности расчета. Для оценки точности проводились расчеты для различного числа пластин при постоянном общем числе зон. Так, на рис. 6.6 приведены эпюры давлений в различные моменты времени для четырех пластин по 48 зон в каждой; на рис. 6.7 — для восьми пластин по 24 зоны в каж­ дой. Стрелками на графиках показаны направления движения волн. Сравнивая поведение отдельных зон и пластин, приходим к выводу, что во всех рассматриваемых случаях оно идентично. Наиболее характерен «провал», образующийся в третьей пластине в резуль­ тате взаимодействия двух волн разгрузки, движущихся навстречу друг другу. Несмотря на то, что этот провал образуется в различные моменты времени конфигурация эпюры давления в данные моменты времени и последовательность взаимодействий, приводящих к этой конфигурации, одинаковы во всех трех случаях. Это подтверждает,

204

Т а б л и ц а 7

что в определенных пределах данный расчетный метод дает доста­ точно точные результаты.

Для избежания последствий размазывания разрывов в последнее время используются схемы сквозного расчета в рамках детального описания течения. При этом, если вновь появляющиеся разрывы достаточно сильны, то они включаются в граничные линии областей и сетка перестраивается. Разрывы небольшой амплитуды учитываются схемой сквозного счета. Различные алгоритмы такого рода схем

Исследуем систему чередующихся пластин (всего 12 пластин по 16 зон в каждой) из вольфрама и меди одинаковой толщины. Процесс установления за фронтом сильной ударной волны в системе модели­ рует процесс установления в соответствующем элконите W—Си с одинаковым объемным содержанием фаз. Рассматривалась задача о внедрении плоского поршня с постоянной скоростью v0 = 2440 м/с, приводящей к образованию ударной волны в первой вольфрамовой пластине с давлением на фронте р = 320 ГПа.

Соответствующие параметры приведены в табл. 7. Ограниченные возможности памяти ЭВМ накладывают ограниче­

ния на длительности тех промежутков времени, в течение которых ход процесса установления в рассматриваемых зонах не искажается приходящими в эти зоны возмущениями от свободной поверхности SW. Понятно, что указанные промежутки времени имеют наиболь­ шую величину для зон, непосредственно примыкающих к поверх­ ности поршня.

На рис. 6.8 и 6.9 приведены эпюры зависимости давления р от времени в центрах первой вольфрамовой и второй медной пластин. Заметим, что значения для времени на всех рисунках безразмерные. Для получения размерного значения времени необходимо задать полную длину образца I. Тогда характерное время, на величину которого необходимо умножить приведенные безразмерные значения, определится по формуле: т — lla0, где а0 — 3,96 км/с — скорость звука в меди. Из представленных графиков следует, что первый макси­ мум амплитуды давления, образующийся в вольфрамовой пластине'

врезультате взаимодействия первоначально образовавшегося удар­ ного фронта с волной разгрузки от контактной поверхности W—Си не превышает амплитуды давления первоначально образовавшегося

ввольфрамовой пластине ударного фронта. Затем, в результате

205

взаимодействия двух встречных ударных фронтов в вольфрамовой пластине образуется второй максимум давления, величина которого превышает величину первого максимума. В дальнейшем происходит затухание колебаний давления к некоторому постоянному, общему для обеих частиц значению р — 248 ГПа (штриховая горизонтальная линия). Начиная с момента времени t ^ 0,35, амплитуда колебаний давления вновь возрастает в результате взаимодействия с возмуще­ ниями, пришедшими со свободной поверхности. Для третьей и четвер­ той частиц (пластин) эти промежутки времени между приходом возмущений слева и отраженного сигнала от правой свободной по­ верхности настолько малы, что эпюры затухания колебаний давления для зон этих частиц практически не обнаруживают затухания амплитуды и, следовательно, выхода к равновесному значению параметра р. Заметим, что колебания давления в медной пластине

выходят на равновесное значение значительно быстрее, чем в вольф­ рамовой пластине. Это объясняется различной объемной сжимаемостью фаз W и Си.

- На рис. 6.10 приведены эпюры зависимости плотности в указан­ ных выше точках от времени. Из

-графиков видно, что колебания

~внутренней энергии. Скорости ча­

стиц совершают колебания около

206

значения, соответствующего скорости поршня. Колебания тепловой части внутренней энергии пластин происходят около некоторых равновесных значений, при этом равновесное значение энергии мед­ ной фазы, равное 180 Дж, существенно выше, чем для вольфрамовой, равной 120 Дж. Указанным равновесным значениям тепловой со­ ставляющей внутренней энергии соответствуют разогревы порядка 5000 К и 3000 К в медной и вольфрамовой фазах соответственно. При этом тепловая составляющая давления в меди составляет 25 % и вольфраме 10 % от соответствующего полного давления.

Колебательный характер движения частиц материала свидетель­ ствует о последовательной смене в частице нагружения и разгрузки, возникающих в процессе взаимодействия волн с контактными по­ верхностями, с поршнем и между собой. Детальная картина взаимо­ действия очень сложна. Взаимодействие с поршнем приводит к уси­ лению волны разгрузки, приходящей от первой контактной поверх­ ности, так как ударная волна, падающая со стороны вольфрамовой пластины на контактную поверхность раздела с медной пластиной, распадается на ударную волну, идущую по медной пластине, и волну разгрузки. Ударная волна, падающая на контактную поверхность со стороны медной пластины, приводит к появлению двух ударных волн, распространяющихся от контактной поверхности в противо­ положные стороны. Взаимодействие двух встречных волн разгрузки приводит к увеличению амплитуды волны разгрузки. В результате взаимодействия двух встречных ударных волн появляются две отра­ женные волны большей амплитуды.

На рис. 6.13 приведены соответствующие эпюры распределения внутренней энергии по частицам. На контактных поверхностях имеют место ярко выраженные пики шириной в 8—12 зон, так называемые энтропийные следы. Наличие этих пиков связано с введением на контактных поверхностях большой искусственной вязкости в мо-

207

Г л а в а 7

ЖЕСТКОВЯЗКОПЛА СТИЧЕСКОЁ ПРЙВЛЙЖЕНИЕ

В этой главе рассматривается теория жестковязкопластических сред, для которой дано всестороннее глубокое математическое и фи­ зическое обоснование, развиты методы решения задач и получено много конкретных числовых и аналитических решений. А. А. Илью­ шиным проведены обширные экспериментальные исследования, изу­ чены плоские задачи и выявлен теоретически и обоснован эксперимен­ тально ряд интересных механических эффектов, в частности, эффект неустойчивости пластического течения при чистом растяжении образца [7], обусловленный как раз зависимостью напряжений от скорости деформирования. Теория жестковязкопластических сред дает удовлетворительные результаты для скоростей деформирования порядка 102—103 с-1 и нашла широкое применение в теории обра­ ботки металлов.

7.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Связь напряжений со скоростями деформаций для жестковязко­ пластического материала можно было получить как частный случай общих зависимостей (2.2) (в одномерном случае) или (2.20) — для сложного напряженного состояния, однако для более четкой форму­ лировки основных идей и гипотез приведем независимый вывод.

Рассмотрим сначала эксперимент на чистый сдвиг, при котором отличны от нуля только ё12 и s12, а все остальные компоненты тензора напряжений и тензора скоростей деформаций равны нулю. Предпо­ лагается, что пока s12 по абсолютной величине не превосходит пре­ дела текучести тв, скорость сдвиговой деформации равна нулю; если же | s121^ т8, скорость сдвиговой деформации ё12 пропорцио­ нальна превышению абсолютной величины сдвигового напряжения над тв:

ными способами, например, по формулам (2.20) при G = К — +о°'*

210