книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

здесь дадим один частный способ, который приведет к зависимостям, используемым всюду ниже в данной главе.

Изучим предварительно плоскую деформацию жестковязкопла­ стической среды, когда течение происходит в плоскости Ол:хлг2 (ис­

й3 (х, у) обозначим компоненты вектора скорости частицы. Теория плоской деформации жестковязкопластической среды строится на основе следующих двух гипотез:

1)направления максимальных скоростей скольжения совпадают

снаправлениями максимальных касательных напряжений в каждой точке тела;

2)максимальное касательное напряжение при течении всегда больше константы Ts, являющейся характеристикой пластических свойств материала, и пропорционально максимальной скорости скольжения.

Заметим, что вторая гипотеза представляет собой непосредствен­

ное обобщение второго из равенств (7.1) и, кроме того, исключает из рассмотрения упругие деформации, что справедливо, конечно, лишь при развитом пластическом течении.

Используя известные формулы для максимального напряжения:

и тангенса удвоенного угла наклона нормали к направлению макси­

211

Соотношения (7.5)—(7.7) можно разрешить относительно напря­ жений и получить следующие формулы:

удобные для приложений.

Переход к сложному напряженному состоянию в общей трехмер­ ной задаче производится на основе следующих соображений и пред­ положений:

1)можно доказать, что максимальное касательное напряжение

вданной точке тела приблизительно равно октаэдрическому каса­ тельному напряжению (т. е. касательному напряжению на пло­ щадке, одинаково наклоненной к трем главным осям тензора напря­ жений); аналогичное утверждение справедливо для максимальных

скоростей сдвигов; 2) вместо гипотезы 1 вводится гипотеза о совпадении направле­

ний октаэдрических скоростей сдвигов и октаэдрических касатель­

ных напряжений; 3) вместо гипотезы 2 вводится гипотеза о том, что пластическое

течение наступает при превышении октаэдрическим касательным напряжением некоторой константы, причем это превышение про­ порционально скорости октаэдрического сдвига.

Высказанные соображения и гипотезы приводят к следующей

ов — постоянная — предел текучести при чистом растяжении, когда Оц ф о, Oij = о при i, / Ф 1,1.

Пренебрежение упругими деформациями приводит к условию несжимаемости:

212

7.2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Рассмотрим сначала случай, когда в момент времени t деформи­ руемое тело занимает область Q, причем во всех точках этой области имеет место течение. Как уже отмечалось, используются эйлеровы переменные (хь х2, х3) — (х, у, г); в этих переменных общая задача определения полей скоростей частиц, скоростей деформаций и на­ пряжений в объеме Q с границей s содержит:

уравнения движения

где р — плотность материала, Ft- — компонент вектора плотности массовых сил, dv-Jdt — полная производная по времени от компо­ нента Vi скорости частицы;

соотношения

aij — — Р&а + х ~ g ^

вытекающие из (7.10)—(7.14), где p — среднее давление; связь скоростей деформаций с вектором скоростей движения частиц

зависимости (7.12) или (7.13) и условие несжимаемости (7.13). Всего имеем 16 соотношений для 16 искомых функций vh Оц, ёц, р.

Исключая из этой системы неизвестные oiS и eijy приходим к си­ стеме четырех дифференциальных уравнений вида:

2

X ем ёР(1

div v = 0,

к которой надо добавить начальные условия и условия на границе, например, кинематического типа:

(условия полного прилипания на части поверхности Sp), или сило­ вые — с заданной на части поверхности sQплотностью поверхностных

усилий pi (х, t). Возможны случаи комбинации этих условий; прак­ тический интерес представляют условия, учитывающие трение о не­ подвижную стенку. Для записи этих условий предположим, что со стенкой соприкасается часть поверхности sc тела Й и что на стенке реализуется закон трения Кулона (обобщения производятся без труда), тогда на sc имеем:

f|ar |< f|a v |,oN = oiJ\iv);

(7.19)

l ( ar)i = GljVj —

213

( е с л и | orr | < / 1cr^v |, T O 1/7- = 0 ;

рости на направление; v, оу, vT — проекции тех же векторов на касательную плоскость; / — коэффициент трения; очевидно, первое

из условий (7.20) означает, что в соответствующей точке х на sc имеет место полное прилипание, второе — что имеет место скольже­ ние частиц материала по стенке.

Соотношения, аналогичные (7.19)—(7.20), необходимо исполь­ зовать внутри области Q в случае, когда часть материала в £2 нахо­ дится в состоянии текучести, часть остается абсолютной жесткой (так называемые «зоны застоя»); эти соотношения имеют вид (7.10) (с замыкающими условиями и определениями (7.11)—(7.14)). В зонах течения здесь по-прежнему работают уравнения (7.17), однако сложность теперь заключается в том, что граничные условия для системы (7.17) нужно задавать и на заранее неизвестной поверхности раздела зон течения и застоя.

Кроме того, в случае движущихся зон застоя нужно, вообще говоря, записывать и решать уравнения движения этих зон в форме уравнений движения абсолютно твердого тела (возможно, перемен­ ной массы) на границе раздела требуется непрерывность скоростей и усилий.

Отметим, что возникшие трудности в значительной мере преодоле­ ваются при использовании вариационного подхода, о котором речь

может оказаться полезной при приближенном решении, так как здесь условие несжимаемости (очень обременительное особенно при числовом решении) удовлетворяется автоматически.

Предположим, что рассматриваются задачи квазистатики при отсутствии массовых сил и что течение происходит в плоскости O XY; вводя функцию напряжений по формулам:

®и = 2 ц ^ - , ои = 2 ( * ^ - ;

(7.21)

214

Исключая из этих уравнений ушах и (р, придем к следующей системе нелинейных уравнений для функций Ф и ф:

У L2(Ф) -f- 4Л42 (Ф) — / / , 2(ф) + 4М2(ф) = к.

Отметим, что существует возможность перехода к одному нелиней­ ному дифференциальному уравнению четвертого порядка относи­ тельно либо только функции напряжений Ф, либо функции тока ф [4]; однако здесь эти уравнения не будут использованы и поэтому не приводятся.

7.3.РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ

Для выявления некоторых характерных особенностей поведения элементов конструкций из вязкопластического материала рассмотрим

1. Задачи о растяжении. Пусть материал заполняет прямоуголь­ ную область в плоскости Ох^г, высота которой в недеформированном состоянии равна 2hQ длина — 2/0, в произвольном деформированном состоянии размеры прямоугольника соответственно равны 2h и 21. Предполагается, что деформация материала в направлении, перпен­ дикулярном плоскости 0хгх2, равна нулю, напряжения на площад­ ках, перпендикулярных оси Oxx, постоянны (не зависят от точки), оси 0*а — равны нулю (стороны прямоугольника параллельны координатным осям, рис. 7.1).

215

Рис. 7.1. Область решения задач!!

В случае, когда задается скорость деформации ёп (/), формула (7.27) дает полное решение задачи, поскольку из связи текущих коорди­ нат частицы со скоростью деформаций ёп :

% - = t n V)Xl,

сразу следуют выражения для хх, х2:

(t) = х\ ехр

(7.28)

*2(0 = 4ехр

где х\, х\ — начальные координаты рассматриваемой частицы; в частности, полагая х° = /0, х\ = /0, получим текущие значения длины и ширины деформируемой области.

Если по условиям задачи известна функция аи = аи (/), то при определении текущих координат частиц необходимо сначала найти

о, ап < ;

и только после этого произвести интегрирование по формулам (7.28).

и поскольку h (t) заранее неизвестно, то в этом последнем случае решение задачи будет несколько сложнее. Итак, пусть задана функ­

216

для определения аи (/) получим следующее нелинейное уравнение

которое можно решать итерационным методом, а можно свести к не­ линейному дифференциальному уравнению типа Риккати:

(где х = о3/}/Зр), частное решение которого, соответствующее посто­ янной растягивающей силе Р (t) = Р (0), построено в работе [7] и имеет вид

где ш0 = 0 ,5 (Р (0)/2\ih0 — и).

2. Одномерные задачи об установившемся течении. Рассмотрим сначала задачу о течении между двумя параллельными плоскостями. Пусть А'з = 0, лг3 = 1 — уравнения этих плоскостей; предполагается, что скорости v2 = v3 = 0, а их = vx (лг3). Проводя те же рассуждения, что и при построении решения задачи Куэтта (с учетом дополнитель­ ного ограничения (7.10), которое позволяет определить возникаю­ щую при интегрировании обыкновенного дифференциального урав­

динной части области между пластинами существует зона застоя, которая движется с постоянной скоростью как абсолютно твердое тело.

Аналог задачи о течении Пуазейля в круглой цилиндрической

где R — радиус трубы; R' = 2g/c — граница зоны течения (начало «жесткого ядра»); как и в предыдущем случае, для возникновения

217

течения необходимо перепад давления ограничить снизу: с > 2glR\ если же с с 2g/R, vz = 0.

Как видно из приведенных решений, наличие ограничений, выте­ кающих из (7.10), на внешние воздействия, обеспечивающих возник­ новение течения, может приводить к новой проблеме — проблеме определения границ области течения, что вызывает большие трудности при решении задач для областей, соответствующих реальным кон­ струкциям.

7.4.ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД

Здесь кратко изложен вариационный подход к решению задач о течении жестковязкопластического материала. Приложение вариа­ ционного подхода позволяет обосновать корректность постановки соответствующих краевых задач и, что особенно важно для практики, сконструировать надежные алгоритмы построения приближенных решений задач о расчете напряженно-деформированного состояния конкретных конструкций.

Наиболее простой путь заключается в использовании принципа возможных скоростей (возможной мощности), эквивалентного при­ веденным выше дифференциальным уравнениям (7.17) и краевым условиям в скоростях и усилиях; в соответствии с этим принципом мгновенная скорость работы внешних воздействий должна быть рав­ ной скорости работы внутренних напряжений, причем эти работы должны вычисляться на полях возможных скоростей перемещений и деформаций, удовлетворяющих всем наложенным на тело кинема­ тическим ограничениям.

Итак, предположим, что деформируемое тело (конструкция) в дан­ ный момент времени t занимает область Q с границей s = s0 U V. тело нагружается объемными силами с плотностью рF,-, поверхност­ ными (нава) с плотностью Ри на части поверхности sv имеет место граничное условие типа (7.18). Отметим, что в реальных задачах ве­ личины рFit Pi могут быть заданы лишь как функции координат то­ чек пространства, поэтому заранее нельзя, вообще говоря, указать, какие именно силы действуют на данную частицу внутри области Й или на ее границе. Обозначим через ut = (х , /) истинное поле ско­ ростей; Vi = Vi (х, t) — возможное поле скоростей; Ьщ (.х, t) = Vi (х, /) — ut (x, t) — вариацию истинного поля скоростей; по определе­ нию:

(7.35)

В соответствии с высказанным выше принципом имеет место урав­

218

где iii = d,Ui/dt\ вариации возможных скоростей должны подчи­ няться ограничениям (7.35).

Если во всей области Q материал находится в состоянии пласти­ ческого течения, то в соответствии с зависимостями (7.10) — (7.14) в уравнении (7.36) можно произвести следующие преобразования:

оиеи {би) = Sjjejj (би) = .2qg(M “)) 'е.}до 'е.. (б«) =

для определения поля скоростей и.

Если же в области Й имеются зоны застоя, в которых материал остается абсолютно жестким, то уравнение (7.18) не будет соответ­ ствовать физическому закону (7.10) — (7.14), поскольку при выводе (7.38) не учтено ограничение в форме неравенства:

которое имеет место в зоне застоя. Оказывается, ограничение (7.39) можно включить в вариационную постановку задачи, однако при этом вместо вариационного уравнения получается неравенство, тех­ ника работы с которым сложнее, нежели с уравнением (об этом речь пойдет ниже).

Итак, пусть в области Q существуют зоны, в которых аи < as,

и — в соответствии с соотношением (7.10) — ёц (и) = 0. Утвер­ ждается, что мощность внутренних напряжений в данном случае оценивается следующим образом:

аиёи {би) = sueu {би) < as [ёи (и) - ёи ДО] + Зрёи {и) [ёи (v) - ёи (2)1.

(7.40)

Для доказательства этого утверждения убедимся предварительно в том, что соотношения

эквивалентны одному равенству:

219

Пусть имеют место соотношения (7.41), тогда (7.42), очевидно, выпол­ няется. Обратно, если дано соотношение (7.42), то, полагая аи < < crs, возводя каждое из равенств (7.42) в квадрат и складывая ре­ зультаты, найдем, что:

и если ёи щк 0 (а, стало быть, и ёцфО), то приходим к противоречию

что и требовалось доказать (в первой из пяти оценок (7.44) применено неравенство Коши—Буняковского для суммы:

< [о, + 3рёи (и)] [ёи Й - ёи (и)}

(во втором из равенств (7.46) применено соотношение (7.42), оценка сверху получена с непользованием неравенства типа (7.45) для суммы

ёи Й ёц (и).

поскольку интенсивность скоростей деформаций недифференцируема в нуле, и, таким образом, при наличии зон застоя из уравнения

220