книги / Симметрия в химии

ВВЕДЕНИЕ

1.1. Симметрия как общий вопрос естествознания

Симметрия, бесчисленные примеры которой поста­ вляет нам природа, — одно из самых распростра­ ненных явлений во Вселенной. Понятие симметрии в более или менее сложном виде включено во все представления, развиваемые человеком. В нематема­ тическом смысле симметрия связана с правильностью формы, приятными пропорциями, периодичностью или гармоническим расположением; таким образом, она часто ассоциируется с представлениями о прекрасном. С точки зрения геометрии симметрию можно проана* лизировать более точно, применяя такие понятия, как ось симметрии, центр симметрии или плоскость сим­ метрии, что определяет соответственно прямую ли­ нию, точку или плоскость, относительно которых сим­ метрично рассматриваемое тело. Наличие этих элементов симметрии, обычно в их комбинациях, обу­ словливает форму многих композиций; воспроизведе­ ние основного мотива при помощи операций симмет­ рии часто дает картину, приятную для восприятия.

Рассмотрим несколько простых рисунков, которые легко подучаются применением операций симметрий к цифре 7 как основному элементу. Можно, например, записать цифру 7 и ее «отражение» от вертикальной линии, получив при этом фигуру, изображенную на рис. 1. Каждая семерка является зеркальным отобра­ жением другой, т. е. если бы одну из семерок поста­ вить перед зеркалом, то ее отражение выглядело бы, как показано на рисунке. Отражение предмета от ли­ нии симметрии является одной из возможных опера­ ций повторения. Если бы на рис. 1 отсутствовала вертикальная линия, то можно было бы сказать, что

фигура имеет плоскость симметрии; эта плоскость должна быть перпендикулярна плоскости чертежа и проходить через линию, изображенную на рис. 1. Такова. симметрия правой и левой стороны; ее часто называют также двухсторонней симметрией. По прин­ ципу двухсторонней симметрии построено тело чело­ века и животных.

Если теперь перевернуть одну из семерок, как по­ казано на рис. 2, то получающееся расположение не

7

Г 7 ^ • -j

будет более иметь плоскости симметрии, обозначен­ ной на рис. 1. Здесь появляется новый элемент сим* метрии — ось симметрии. Эту ось можно представить себе расположенной перпендикулярно чертежу и проходящей через точку, показанную на рис. 2 посе­ редине между двумя семерками. Если на рис. 2 по­ вернуть теперь обе семерки на 180° в любую сторону вокруг только что описанной вертикальной оси, то получившееся расположение семерок будет неотли­ чимо от исходного расположения до вращения. Такое вращение вокруг оси симметрии является еще одной из возможных операций повторения. На рис. 2 повто­ рение получено вращением на 180°, на рис. 3 — вра­ щением на 90° вокруг вертикальной оси, проходящей через выделенную точку. Симметрия вращения — это симметрия правильного многоугольника, морской звезды, некоторых цветов — вообще предметов, для которых менее существенно третье измерение.

Выбранную нами основу (цифру 7) можно не только отражать от прямой линии и вращать вокруг оси, но и перемещать в пространстве вдоль прямой линии. Именно так получено линейное расположение

семерок, изображенное на рис. 4. Это трансляционная симметрия или симметрия эквидистантных сегмен­ тов, она встречается у низших животных и растений; примером могут служить членики червя или ноги

многоножки. Если линейку из семерок повторить па­ раллельным перемещением в одном направлении, например вверх, то образуется плоскость, изображен­ ная на рис. 5.

Наконец, можно добавить перемещение в третьем направлении, а именно перпендикулярном плоскости; это перемещение повторяет на равных интервалах всю плоскость (рис. 6). Если каждую из семерок на рис. 6 заменить точкой, то полученный набор точек будет выглядеть, как на рис. 7. Такой набор точек образует трехмерную пространственную решетку.

Развитие этой темы приведет нас к кристалличе­ ским структурам и кристаллографии, рассмотрению которых посвящена гл. 6. Здесь же подчеркивается лишь, что повторение мотива при помощи операций симметрии может приводить ко все более и более сложному рисунку и что эти симметричные узоры ча­ сто лежат в основе многих форм, которые кажутся нам приятными и даже красивыми, как, например, вид кристалла минерала, огранка драгоценного кам­ ня, развитие темы в музыкальной симфонии, скульп­ туре и т. д.

О всеобщей применимости соображений, основанных на сим­ метрии, хорошо сказал Джеймс Ыыомен * в предисловии к но­ вому изданию лекций по симметрии, прочитанных великим мате­ матиком Германом Вейлем: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и те­ ориями, внешне никак не связанными: земным магнетизмом, жен­ ской’ вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими при­ вычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерферен­ ционной к'артйной ренгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими со­ борами, снежинками, музыкой, теорией относительности».

Д’Арси Томпсон в своей замечательной книге ** объединяет развитие в области зоологии, ботаники, - химии, геологии, физики, астрономии, техники и ма­ тематики с точки зрения геометрии и таким образом применяет прямо или косвенно операции симметрии. Он говорит: «Клетка и ткань, оболочка и сердцевина, лист и цветок — все это куски материи; их частицы движутся, формируются и составляются по законам физики, и они не являются исключением из правила «природа любит геометрию»».

эквивалентные атомы в молекуле. Так, тот факт, что существует только один возможный однозамещенный этан, два возможных однозамещенных пропана и т. д., для начинающих студентов наиболее понятен с точки зрения симметрии. Часто бывает полезно записать

b

Рис . 8. Пирен (I и III) и фенантрен (II и IV).

Ориентация I и II наилучшим образом отражает симметрию молекул и эквивалентные положения атомов; III и IV —общепринятая ориентация.

структуру молекул таким образом, чтобы подчеркнуть ее симметрию. Например, при изображении пирена и фенантрена формулами I и II соответственно (см. рис. 8) найти эквивалентные положения в молекуле легче, чем при изображении с общепринятой ориента­ цией III и IV. Хорошо выполненное перспективное изображение молекулы обычно позволяет сразу опре­ делить ее элементы симметрии.

получается вращением координат системы а на 90° вокруг оси ху а ориентация в получается вращением

Рис . 9. Три различные ориентации системы координат, удовле­ творяющие правилу правой руки.

координат системы б на 90° вокруг оси у. Во всех трех системах координатные оси обозначены в соот­ ветствии с правилом правой руки.

ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ И ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ

Операцией симметрии называется такая опера­ ция, которая после применения к объекту приводит к новой его ориентации, неотличимой и совмещаемой с исходной (например, поворот вокруг оси симмет­ рии). Так, если поместить молекулу НОН в плоскости чертежа (см. рис. 10) и повернуть на 180° вокруг оси,

z

А

н ь » Йà I

Рис . 10. Молекула НОН до и после применения операции С\ .

а —исходное положение; б —после поворота на 180°.

проходящей через атом кислорода и делящей пополам угол между атомами водорода, то новая ориентация не отличается от первоначальной. Другими словами, если бы наблюдатель закрыл глаза перед тем, как была произведена операция, и открыл их после про­ ведения операции, ему показалось бы, что ничего не произошло. В этом примере элементом симметрии является ось вращения, а операцией симметрии — поворот вокруг оси. Новая ориентация, полученная после поворота на 180°, эквивалентна исходной, ноне идентична ей. Фактически два эквивалентных атома водорода поменялись местами, и новая ориентация

не отличается от прежней, так как атомы водорода эквивалентны и неразличимы. Ориентации отличались бы друг от друга лишь в том случае, если бы суще­ ствовала краска, которой можно было бы пометить атомы. Второй поворот на 180° возвращает молекулу в исходное и тождественное положение.

Свойства симметрии предмета или молекулы луч­ ше всего можно охарактеризовать, описав операции симметрии, которые могут быть применены к моле­ куле. Возможны только пять основных типов опера­ ций симметрии, которые оставляют неизменным центр тяжести системы. Ниже мы рассмотрим эти пять ос­ новных операций симметрии и элементы симметрии, связанные с этими операциями.

2.1. Вращение вокруг оси симметрии

Если поворот молекулы вокруг какой-либо оси на некоторый угол (операция симметрии) приводит к новой ориентации молекулы, не отличающейся от исходной, то такая ось называется осью вращения (элемент симметрии). Если угол, на который нужно повернуть молекулу, чтобы ее новое и исходное изо­ бражения совпали, обозначить через 0, то говорят, что молекула имеет ось вращения 36Оо/0-порядка, обо­ значаемую Ср, где /?=36О70, а С означает «цикличе­ ская». В примере с молекулой воды для совпадения ориентаций требуется поворот на 180°, и, следова­ тельно, ось вращения есть ось (3607180°=2) второго порядка С2. В иной системе обозначений, используе­ мой преимущественно в кристаллографии, ось изобра­ жается числом ее порядка: 2 для оси С2; здесь циф­ ра 2 означает элемент симметрии.

Для многих целей желательно ориентировать молекулу в пря­ моугольной системе координат. Хотя ориентация молекулы в си­ стеме координат вообще произвольна, выработаны некоторые условные правила ориентации. Эти правила облегчают понимание обозначений, принятых отдельными исследователями. Выбор оси г обычно однозначен, выбор остальных осей часто произволен. Ниже приведены правила ориентации. Следуя им, можно полу­ чить вполне определенное отнесение координат практически для всех случаев. Кроме того, эти правила согласуются с правилами, применяемыми большинством спектроскопистов.