книги / Теория вертолета. Кн. 1

ная мощность. Расхождение результатов расчета по теории эле­ мента лопасти и по элементно-импульсной теории объясняется тем, что в последней принято неравномерное распределение ин­ дуктивных скоростей. Дополнительные данные по сравнению расчетных аэродинамических характеристик несущих винтов на режиме висения можно найти в работе [G.50].

2.6.10. НАГРУЗКА НА ДИСК, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ ПО РАЗМАХУ ЛОПАСТИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ

Для анализа работы несущего винта на основе схемы ак­ тивного диска нужно знать, особенно при использовании вих­ ревой теории (разд. 2.7), соотношение между нагрузкой на диск, распределением нагрузки по размаху лопасти и цирку­ ляцией присоединенных вихрей. Нагрузка dL/dr сечения и цир­

мерной нагрузке на диск соответствуют треугольное распреде­ ление нагрузки по размаху лопасти и постоянная циркуляция. Переходя к безразмерным величинам, для равномерной на­ грузки на диск получим Г/ (QR2) — (2n/N)CT — 2(c/R)CT/a.

84 Глава 2

теории, теперь обычно имеют в виду классические работы, основанные на схеме активного диска. Численное определение индуктивной скорости с использованием схемы вихревого сле­ да рассмотрено в гл. 13 в разделе, посвященном неравномер­ ным распределениям скоростей протекания.

Основы вихревой теории заложил Н. Е. Жуковский в 1912— 1929 гг. Он исследовал скорости, которые индуцирует система спиральных свободных вихрей, образующих след пропеллера, но для математического упрощения задачи использовал схему винта с бесконечным числом лопастей, т. е. схему активного диска. С помощью этой вихревой теории были воспроизведены результаты импульсной теории. В 1918 г. Жуковский предло­ жил использовать в качестве характеристик профиля характе­ ристики профиля в плоской решетке, а индуктивную скорость находить по вихревой теории. Тем самым, по существу, были установлены основы современной теории элемента лопасти, так как для вертолетных несущих винтов эффект решетки пре­ небрежимо мал.

В 1919 г. А. Бетц подробно исследовал систему вихрей, образующих след пропеллера, и на базе вихревой теории оп­ ределил минимум потребной мощности и наивыгоднейшее рас­ пределение нагрузок винта. Л. Прандтль в приложении к статье Бетца указал способ введения приближенной поправки, которая в рамках дисковой теории 'учитывает концевой эф­ фект— влияние числа лопастей на распределение нагрузок вин­ та. Около 1920 г. Р. Вуд и Г. Глауэрт, а также Э. Пистолези выполнили работы, ставшие дальнейшим развитием вихревой теории. В 1929 г. С. Голдстейн более строго рассмотрел вих­ ревой след пропеллера с конечным числом лопастей.

Скорость и (х), индуцируемую вихревой нитью с циркуля­ цией k, вычисляют по формуле Био — Савара

(х — у)ХЛ (у) I X—у | 3

где интеграл берется по всей длине нити, а вектор d\ направ­

ный угол, под которым поверхность, ограниченная вихревой нитью, видна из точки х. В случае прямолинейной вихревой нити индуктивная скорость направлена по касательной к ок­ ружности с центром на вихре, которая проходит через точку х и лежит в нормальной к вихрю плоскости. Величина скоро­

не возникает: вследствие вязкости вихревая нить превращает­ ся в вихревую трубку с малой, но конечной площадью попе­

речного сечения. Эту трубку называют ядром вихря. По тео­ реме Стокса, поток вихря через поверхность S равен циркуля­ ции скорости по кривой, ограничивающей поверхность. Тео­ рема Кельвина устанавливает, что в идеальной несжимаемой

жидкости постоянной плотности циркуляция Г = ф и • по вся­

кой движущейся вместе с жидкостью замкнутой кривой оста­ ется постоянной. Затем следуют теоремы Гельмгольца: тече­ ние, которое первоначально было безвихревым, останется та­ ким и впредь; вихревая трубка (в частности, вихревая нить) переносится жидкостью, сохраняя циркуляцию; вихревые ли­ нии должны быть либо замкнуты, либо заканчиваться на по­ верхностях, ограничивающих жидкость. На основе этих теорем в вихревой теории рассчитывают обтекание несущего винта вертолета.

2.7.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕСУЩЕГО ВИНТА И ЕГО СЛЕДА СИСТЕМОЙ ВИХРЕЙ

возмущенного потока, р — плотность воздуха. Поэтому лопасть несущего винта можно схематизировать присоединенными вихрями, циркуляции которых заданы распределением элемен­ тарных подъемных сил винта. Так как вихревые нити не могут заканчиваться в жидкости, эти присоединенные вихри должны продолжаться в виде свободных вихрей, которые сходят в след несущего винта с концов и задних кромок лопастей.

При постоянной вдоль лопасти циркуляции (соответствую­ щей равномерной нагрузке) свободные вихри сходят в след только с корня и конца лопасти. Концевой свободный вихрь скручивается в спираль, так как скорость его элементов скла­ дывается из скорости вращения лопасти и осевой скорости потока через диск винта (рис. 2.12). На висении осевая ско­ рость целиком обусловлена индукцией следа. Сбегающие с каждой лопасти концевые вихри образуют систему входящих одна в другую спиралей. Можно считать, что корневые вихри прямолинейны и располагаются вдоль оси винта (если пре­ небречь наличием неоперенной части). При положительной силе тяги несущего винта направления вращения в вихрях таковы, что корневой вихрь и осевые составляющие концевых спиральных вихрей индуцируют закрутку следа в направлении вращения винта, а трансверсальные составляющие концевых вихрей (вихревые кольца) индуцируют внутри следа осевую скорость, противоположную по направлению силе тяги. Таким образом, система вихрей следа вызывает скорости, которые определяются, как показано выше, условиями сохранения осе­ вого количества движения и момента количества движения.

86 Глава 2

В более общем случае, когда циркуляция присоединенных вихрей лопасти изменяется вдоль размаха, свободные вихри должны сходить со всей задней кромки. Тогда след состоит из геликоидальных вихревых пелен, сошедших с каждой ло­ пасти. У реального несущего винта вихревые пелены своими

вых и трансверсальных свободных вихрей, в след будут схо­ дить и радиальные (поперечные) вихри. Радиальные вихри мо­ гут существовать в следе и при вертикальном полете, если дви­ жение лопасти нестационарно.

2.7.2. ДИСКОВАЯ ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ

Рассмотрим вихревую теорию несущего винта на режиме висения, представив винт активным диском, т. е. винтом с бесконечным числом лопастей. В такой схеме присоединенные вихри лопастей «размазываются» в вихревой слой на диске несущего винта. Следовательно, вихри следа уже не сосредо­ точиваются в геликоидальных пеленах или концевых спиралях, а распределяются по пространству, занятому следом. Такая схематизация сильно облегчает расчет скорости, индуцируе­ мой следом. Мы уже рассматривали эту схему течения при из­ ложении импульсной теории несущего винта. Поэтому новых результатов мы здесь не получим. Однако вихревая теория

лучше объясняет эти результаты и тем создает прочный фун­ дамент для более сложного анализа.

имеют треугольную нагрузку и постоянную циркуляцию при­ соединенных вихрей:

Таким образом, след состоит из вихревой пелены на границе спутной струи и прямолинейной вихре­

образуют (в соответствии с теоремой Гельмгольца) непре­ рывные кривые, каждая из которых состоит из корневого вих­ ря, радиального присоединенного вихря на диске и осевой со­ ставляющей пелены из концевых вихрей. Вследствие спиральной формы концевых вихрей трансверсальная составляющая завих­ ренности сохраняется в следе и в предельном случае беско­ нечного числа лопастей. Можно считать, что эта завихренность

перемещается за время одного оборота винта. Связывая Л с осевой скоростью на границе следа, получим h = 2nv/Q, так что

У = т/(р Av).

Распределенные в следе вихревые кольца индуцируют осе­ вую скорость внутри спутной струи. Осевая скорость на диске

88 Глава 2

несущего винта и в дальнем следе обусловлена только завих­ ренностью в следе; присоединенные вихри в создании этой скорости не участвуют. Если пренебречь поджатием и закрут­ кой следа, то можно считать, что индуктивная скорость на диске вызывается полубесконечным вихревым цилиндром, а индуктивная скорость в дальнем следе — бесконечным цилинд­ ром. Следовательно, индуктивная скорость на диске вдвое мень­ ше скорости в дальнем следе, т. е. v = w/2. Так как далеко перед винтом течение безвихревое, оно должно остаться безвихревым для всех частиц, которые не прошли через диск. Поэтому цирку­ ляция скорости по любому контуру, целиком лежащему вне следа, должна быть равна нулю, а вращение жидкости может сущест­ вовать только внутри следа. Значит, непосредственно перед не­ сущим винтом вращения нет, тогда как сразу за винтом его кру­ тящий момент вызывает вращение жидкости с окружной ско­ ростью и. Корневой вихрь индуцирует окружную скорость щ — = Г/(4яг) как над диском винта, так и под ним, завихренность же на границе спутной струи не вызывает вращения жидкости внутри следа (по теореме Стокса). Присоединенная завихрен­ ность индуцирует окружную скорость и„ непосредственно под диском и ■—ип непосредственно над ним. Тогда, по условию от­ сутствия вращения вне следа, и„ = щ, так что полная скорость и закручивания следа непосредственно под диском равна 2щ. Действительно, так как скачок скорости при переходе через вих­ ревой слой на диске винта равен погонной циркуляции слоя, мы опять-таки получим 2ип = уп == Г/(2пг). Заметим, что скорость набегающего на сечение лопасти потока, которая обусловлена собственным вращением лопасти и индуктивной закруткой следа, будет тогда равна Qг — и/2. Этим объясняется появление мно­ жителя (Qг — и/2) в выражении для аэродинамического момен­ та, полученном в разд. 2.3.2.

С целью дальнейшего исследования осевой индуктивной ско­ рости рассмотрим выражение

“ М = - Т ^ .

где и — скорость, индуцируемая вихревой нитью .с циркуляцией k в точке х, а 2 — телесный угол, под которым из точки х видна поверхность, стягиваемая вихревой нитью (см. также работу [К. 50]). Осевая скорость в следе несущего винта индуцирована полубесконечным вихревым цилиндром, состоящим из элемен­ тарных вихревых колец с циркуляциями k = ydz\. Поэтому осе­ вая составляющая индуктивной скорости выражается интегра­ лом

Y дХ

о(х) = — $ 4я дг dzu

видно в точке с координатой z (диск несущего винта имеет коор­ динату 2 = 0). Если скорость поджатая следа мала, то при перемещении наблюдателя изменение 2 будет в первую очередь обусловлено изменением расстояния 2 — 21 и лишь во вторую очередь — изменением диаметра кольца. В этом случае движения наблюдателя и кольца эквивалентны, так что д И / д г = —dS/ctei, откуда

v =

Если, кроме того, пренебречь всякими изменениями в длинах промежутков между спиралями, то циркуляция вихревых колец оказывается постоянной. Тогда индуктивная скорость равна

где Д 2 — телесный угол, под которым вся поверхность следа видна из точки, где вычисляют скорость v. Мы используем эту формулу для расчета индуктивной скорости в нескольких точках течения. Для любой точки на диске Д 2 = 2 я , так что у = у/2. Вспоминая, что циркуляция вихревого кольца у равна Г/(рЛц), вновь получаем формулу индуктивной скорости на диске несу­ щего винта:

ц = У77(2рЛ).

Кроме того, тем самым мы доказали, что в случае равномерно нагруженного винта индуктивная скорость постоянна на диске. Для точек, которые лежат вне диска в его плоскости, Д2 = 0 и v = 0 , т. е. осевая индуктивная скорость существует только на

w = 2v, как в импульсной теории. Наконец, для точки оси следа, лежащей на расстоянии z от диска, индуктивная скорость равна

где через

2 0 = 2п £1

z/R УГ+ (z/RY ]

обозначен телесный угол, под которым виден диск несущего винта. Таким образом, на оси следа индуктивная скороеть определяется выражением

Рассмотрим теперь активный диск с неравномерной нагруз­ кой. Если циркуляция присоединенных вихрей меняется вдоль лопасти, то свободные вихри распределены по всему объему ци­ линдра, представляющего след, а не сконцентрированы на его границе. След можно рассматривать как совокупность вложен­ ных одна в другую вихревых оболочек и корневого вихря, необ­ ходимого для того, чтобы вихревые линии не заканчивались в жидкости. Каждая вихревая оболочка состоит из цилиндриче­ ской пелены радиуса г и «донышка», образуемого слоем присое­ диненной завихренности на диске радиуса г. Поэтому присоеди­ ненная завихренность на радиусе г складывается из «донышек» всех оболочек, радиусы которых больше г, и из изменения при­ соединенной завихренности на окружности радиуса г вследствие схода с этой окружности свободных вихрей. Из сказанного в пре­

только для этих, оболочек точка, где вычисляют скорость, распо­ ложена внутри диска. Поэтому осевая индуктивная скорость равна

ц = ( ( 1/2 )у</г,

где у — интенсивность свободной завихренности, связанная с изменением циркуляции Г присоединенных вихрей соотноше­

Переходя к распределению нагрузки dT/dA — рОГ/(2я), это уравнение вихревой теории относительно индуктивной скоро­ сти можно записать в виде

элементу диска, расположенному на радиусе г. Видно, что фор­ мула индуктивной скорости, найденная применением теоремы

импульсов к такому элементу (как в элементно-импульсной теории), не точна. Однако ее погрешность оказывается прием­ лемой, если распределение скорости протекания близко к рав­ номерному. Написанное уравнение свидетельствует и о том, что соотношение w — 2 v между индуктивными скоростями на диске и в дальнем следе, полученное в импульсной теории, тоже не является точным. Предположения, которые необхо­ димо сделать в вихревой теории для воспроизведения резуль­ татов импульсной теории, дают лучшее представление о приб­ лиженных допущениях последней.

2.7.3. ЛОПАСТНАЯ ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ

Дисковая вихревая теория несущего винта в вертикальном полете элементарно проста, особенно в случае равномерной нагрузки. Лопастная вихревая теория рассматривает винт с конечным числом лопастей .и схематизирует след вихревыми ни­ тями и пеленами, которые расположены на геликоидах, отхо­ дящих от каждой лопасти. Задача о расчете индуктивной ско­ рости в этом случае математически гораздо сложнее, чем в слу­ чае завихренности, распределенной по следу, но для осевого течения еще можно получить некоторые аналитические соот­ ношения. Лопастная вихревая теория аналогична анализу ра­ боты крыла, выполняемому в плоскости Треффца. В таком анализе рассматривается дальний след, где влияние крыла на течение пренебрежимо слабо. Решение задачи о распределении завихренности в следе определяет также нагрузку крыла. Пу­ тем решения более простой задачи в дальнем следе (где пара­ метры не зависят от осевой координаты) можно получить точ­ ное распределение нагрузки крыла с учетом влияния его кон­ цов. Практическая пригодность решения зависит от принятой схемы следа. В классических работах использованы далекие от реальности схемы вихревой пелены, не сворачивающейся в кон­ цевые вихревые жгуты и не возмущенной вследствие самоин­ дукции. Анализ дальнего следа при исследовании обтекания несущего винта не позволяет сделать какие-либо выводы о том, как должна быть скомпонована лопасть для получения жё- -лаемой нагрузки. Для этого нужно знать индуктивную ско­ рость на диске винта.

Классическую лопастную вихревую теорию применяют к вер­ толетным несущим винтам главным образом в расчетах нагру­ зок в концевой части лопасти. Решения Прандтля и Голдстейна получены для пропеллеров, у которых скорость протекания велика, и потому основаны на схемах следа, которые не вполне приемлемы для несущих винтов с присущей им малой скоростью протекания. Решающим моментом в этих исследованиях являет­ ся выбор структуры следа, которая полностью определяет