книги / Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

1

Коэффициент вариации var Xй (L) имеет порядок

У L

1см. формулу (4.10)]. Поэтому при достаточно больших L

справедливо следующее соотношение:

где Vd = var xd (М) У~М определяли методом статистическо­ го моделирования реализаций длиной в М максимумов.

Приближенная формула (4.14) может служить критерием для выбора суммарной длины реализации случайной нагруз­ ки, которую необходимо обработать для получения достаточ­ но узких доверительных интервалов Е (xd). В тех случаях,

когда при лабораторных испытаниях на усталость исполь­ зуются периодически повторяющиеся отрезки эксплуата­ ционной нагрузки, с помощью (4.14) можно оценить длину воспроизводимого отрезка, необходимую для достаточно ма­ лых величин var xd. В качестве примера рассмотрим методи­

ческую основу работы [250]. В этом исследовании нагрузка задавалась с помощью магнитофона и повторялись отрезки нагрузки длиной в (4—6) 103 максимумов. В частности, для узкополосного процесса период повторяемости L соста­

вил примерно 4000 максимумов. Для испытанного материала показатель кривой усталости b = 5 -г- 6. Для b = 6 соглас­ но результатам статистического моделирования var х6 (М) « « 34 % при М — 1600, откуда var xe (L) ж 22 %. Очевид­ но, что в данном случае величина L была слишком малой —

коэффициент вариации слишком велик и повреждающее дей­ ствие различных реализаций может существенно разли­ чаться.

Методом статистического моделирования для различных спектров, формы которых описаны в параграфе 3 главы чет­ вертой, определены величины V^ Эти расчеты показали, что var Xй (L) при L « 10е для большинства спектров настоль­

ко мал (доли и единицы процента), что при указанных зна­ чениях L можно пренебрегать случайным характером оценки хй. Отметим, что Vd сильно зависит от d (возрастает при уве­

личении <2), а также от коэффициента корреляции нагрузки

П (п) согласно формуле (4.7) может быть существенным и,

как следствие, может привести к увеличению дисперсии экс­ периментальных логарифмов долговечности.

3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ЦИКЛОВ НА РАСЧЕТНОЕ ПОВРЕЖДЕНИЕ

При схематизации нагрузки методом полных циклов выде­ ленные экстремумы характеризуются своим средним значе­ нием от и амплитудой оа. Определение двухмерной совмест­ ной функции распределения р (иа, ит ) без достаточно сильных

априорных предположений о виде распределения слиш­ ком трудоемко. Поэтому обычно выбирают другой путь, ко­ торый заключается в следующем. По найденным значениям о„ и от паходим амплитуду а цикла со средним значением

напряжений, совпадающим со средним значением всего про­

цесса а таким образом, чтобы цикл с амплитудой а был эк­ вивалентным по повреждающему действию циклу с парамет­ рами оа, а,п. Такой переход может быть произведен по фор­

мулам, описывающим диаграмму предельных амплитуд. При этом предполагается, что дальнейший расчет поврежде­ ний производится с использованием кривой усталости, по­ лученной в условиях регулярного нагружения со средними напряжениями циклов о, равными среднему значению слу­ чайной нагрузки.

Иногда производится эквивалентный переход к циклам, характеризующимся заданным значением коэффициента асим­ метрии, например к отнулевым. Тогда используется кри­ вая усталости, построенная в условиях постоянства коэф­ фициента асимметрии. Переход от циклов с параметрами оа1

ат к циклам с параметрами а, а может быть осуществлен с

помощью различных формул и поэтому интересно сопоста­ вить эти соотношения для выработки рекомендаций по их применению. Указанное сопоставление было проведено по следующей методике. С помощью метода статистического мо­ делирования моделировались на ЭВМ реализации гауссов­ ских стационарных процессов по заданным спектральным плотностям мощности W (/) и с нулевым средним значени­

ем. Выделенные при схематизации методом полных циклов циклы с амплитудой оа и средним о(„ (отличие crm от нуля для

выделенных циклов обусловлено случайным характером на­ грузки) приводились к симметричным по формулам

(здесь среднее значение цикла не учитывается);

(ф — константа материала, ф = 0,1-=-0,3 [81]);

При анализе результатов расчетов, в частности при их графическом представлении, используется величина

оценку которой методом статистического моделирования по­ лучали по значению х!3согласно формуле (4.6):

Доверительные интервалы для Къ определяли по довери­ тельным интервалам для Е (я*) (4.13):

Смысл параметра Къ следующий. Подставив формулу

(4.18) в (3.3) при amin = 0, amax = » с учетом выражения (4.5), получим формулу для прогнозирования долговечности при случайном нагружении по линейной гипотезе в виде

из которой следует, что расчетная долговечность под воздей­ ствием гармонического нагружения с амплитудой такая же, как и под действием случайной нагрузки со средне-

квадратическим отклонением аск. Поэтому с помощью ве­ личины Кэ в данной работе характеризовали влияние на

расчетное значение повреждающего действия нагрузки различных способов учета среднего значения выделенных циклов при схематизации. При моделировании случайных нагрузок применялись различные формы спектральных

Для получения различных значений |5 варьировали вели­ чины /2//г а п. Кроме того, использовали выражение для W (/),

соответствующее сумме случайных резонансных колебаний на частотах /, и /а:

В этой формуле для получения спектров с различными зна­ чениями (3 изменяли значения А и /а//г. Использовались так­

же спектральные плотности нагрузок, при которых проводи­ лись испытания [202, 221, 236]. Рассмотрен диапазон

^эо/^эЧ>*^з/"Аэ^

7,07 Ь b~3

Характеристикой долговечности при случайном нагруже­ нии является время t или N 0 — число пересечений среднего уровня с положительной производной, а также N — число

максимумов.

Поскольку явление усталости связано в первую очередь

смногократным изменением направления деформирования,

вкачестве характеристики долговечности примем число мак­ симумов N , определяемое либо непосредственно по записи

нагрузки, либо согласно выражению (2.53). Величина аск не является достаточной для описания случайной нагрузки, поскольку, как показывает анализ экспериментальных дан­ ных, число максимумов до разрушения при одинаковых сгсн зависит от формы спектральной плотности, т. е. одип пара-

метр оск не определяет однозначно найденную таким образом долговечность [17, 132, 166, 181, 186, 229, 253, 265].

Следует отметить, что влияние среднего значения процес­ са нагружения на долговечность не являлось (за исключени­ ем, по-видимому, работы [188]) предметом специального ис­ следования. Это связано с тем, что в расчетах долговечности при нерегулярном нагружении можно использовать кривую усталости при гармоническом нагружении со средним значе­ нием, равным среднему значению случайной нагрузки. Тем самым задача упрощается и сводится только к учету нерегу­ лярности нагружения, без дополнительного учета асим­ метрии.

Для совершенствования методов прогнозирования уста­ лостной долговечности необходимо выделить числовые па­ раметры, определяемые по спектральной плотности, харак­ теризующие повреждающее действие нагрузки. В ряде ра­ бот [57, 59, 166, 186, 234] предполагается, что долговечность полностью определяется aCKи параметром широкополосности |3, равным отношению числа экстремумов процесса к чис­ лу пересечений среднего уровня — математического ожида­ ния [см. формулу (2.56)]. В работах [166, 186, 253] предложе­ ны формулы для пересчета долговечности при нагрузке с одним видом спектра к долговечности при нагрузке с другим видом W (/). В обозначениях, принятых в данной работе,

формула Трофимова имеет вид [166]

вием нагрузок с равными аск и параметрами р и р* соответ­ ственно; Кл (р) — функция, график которой приведен в

работе [186].

В работе [253] предполагается, что характеристикой по-

В формулах (4.25) — (4.27) не используются данные о характеристиках сопротивления усталости при гармопичес-

ком нагружении. Применяя ряд гипотез, долговечность мож­ но рассчитывать по параметрам обычной кривой усталости. В работе [134] предложена формула, основанная на линей­ ном накоплении повреждений и гипотезе спектрального сум­ мирования повреждений от отдельных гармонических ком­ понент нагрузки, расчетное соотношение которой для долго­ вечности имеет вид

где В и b — параметры степенного уравнения кривой уста­

лости.

Для прогнозирования долговечности применяются также методы, основанные на схематизации случайной нагрузки и использовании гипотезы накопления повреждений. Для линзйной гипотезы, степенного уравнения кривой усталости соотношение (3.3) для расчета долговечности имеет вид

циклов, полученных после схематизации процесса с единич­

р (х) определяется методом схематизации и формой спектраль­

ной плотности. В работах [37, 60] предложено применять схематизацию методом максимумов для получения оценки долговечности снизу, используя известное [15] аналитиче­ ское выражение для распределения максимумов pRi (я),

полученное Райсом (2.57).

При схематизации по размахам расчеты дают для долго­ вечности оценку сверху, некоторые оценки для р (х) представ­

лены в параграфе 3 главы второй. Оценку снизу дают рас­ четы, основанные на теории выбросов [14]. Согласно теории выбросов число циклов совпадает с половиной числа нулей процесса, а распределение амплитуд циклов совпадает с рас­ пределением Рэлея (2.60). Наиболее адекватно повреждаю­ щее действие исходной нагрузки отражает схематизация по методу полных циклов, приближенное распределение ампли­

деление амплитуд полных циклов двухпараметрическим рас­ пределением Вейбулла. При этом среднее значение амплитуд и коэффициент вариации амплитуд выражаются через (3 и оск с помощью зависимостей, определенных по методу стати­ стического моделирования. Коэффициенты формы и масшта­ ба распределения Вейбулла находятся по среднему значе­ нию и коэффициенту вариации из системы нелинейных урав­ нений.

Для узкополосного процесса нагружения все методы схе­ матизации дают одинаковый результат — функция р (х)

является распределением Рэлея. Формула (4.29) в этом слу­ чае принимает вид (при этом принято у = оо, что дает при­

емлемую точность при у > 4)

Ла£к2й/2Г (6/2 + 1,0,5а2) ’

Майлсом [242]. Все изложенные методы учета формы спект­ ральной плотности носят приближенный, полуэмппрический характер. Непосредственная экспериментальная проверка приведенных выше соотношений затруднительна из-за тру­ доемкости усталостных испытаний на больших базах, ха­ рактерных для эксплуатационных нагрузок, сложности ме­ тодики проведения экспериментов. Из-за ограниченного час­ тотного диапазона испытательных машин трудно получать нагрузки с достаточно большим значением [5 (по литератур­

Влияние формы спектральной плотности на усталостную долговечность экспериментально исследовалось в работах

число экспериментальных данных, полученных для спект­ ральных плотностей, характеризующихся р » 2 и более, показывают существенную зависимость долговечности от формы спектральной плотности, в частности от параметра широкополосности |3, Отметим, что экспериментальное

утверждение об исчерпывающем задании нагрузки параметра­ ми сгск и (3 можно проверить, построив кривые усталости при случайной нагрузке с разными спектральными плотностя­ ми, но одинаковыми значениями р. Такой эксперимент про­ веден только для р = 1,4 [236], причем кривые усталости сов­ пали. При больших значениях р прямой эксперимент весьма затруднителен, что подчеркивает актуальность расчетных методов прогнозирования долговечности.

В данном параграфе рассмотрены и сопоставлены различ­ ные способы вычисления Е (хР) и К д по заданной спектраль­ ной плотности W (/). Как следует из формулы (4.21), дол­

говечность по линейной гипотезе определяется параметрами исходной кривой усталости В и Ь, среднеквадратическим от­ клонением сгск и величиной Ка, зависящей от формы спект­

ральной плотности и метода схематизации. Поэтому различ­ ные способы учета влияния формы спектральной плотности мощности нагрузки на долговечность можно рассматривать, изучая зависимость К ъ от формы спектра. Отметим, что nf о-

ведение физического эксперимента для изучения зависимо­ сти К 3 от формы спектральной плотности неэффективно

из-за трудоемкости усталостных испытаний на больших ба­ зах, характерных для случайного нагружения, сложности методики проведения экспериментов, так как вследствие ог­ раниченного частотного диапазона испытательных машин затруднительно получать нагрузки с достаточно большими значениями (5. Для практики представляет интерес диапазон изменения |3 = 1 -f- 4, а Ъ — 3 — 12. Величину Кэ целесо­

образно рассчитывать с помощью метода СМ с использовани­ ем схематизации по алгоритму полных циклов [89]. Пре­ имущество метода СМ перед другими методами вычисления К ъ заключается в том, что используется наиболее адекват­

ный метод схематизации без каких-либо упрощающих пред­ положений. Недостаток метода СМ — необходимость дли­ тельных расчетов на ЭВМ для каждого конкретного вида спектральной плотности. Поэтому целесообразно сравнивать менее трудоемкие методы расчета величины К9 с расчетами

по методу СМ, что позволяет установить диапазон примени­ мости того или иного метода. Для различных форм спектраль­ ной плотности, виды которых указаны на рис. 77, проведены расчеты методом СМ. Величины Ка рассчитывались также по

формуле

оо

(4.32)

о

в которую подставлялись различные распределения р (х). В частности, проведены расчеты К9 для распределения мак­