книги / Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

щих функций типа г (т) = р (т) cos 2я/0. При этом степень

коррелированности случайного процесса можно характери­ зовать интервалом корреляции

который приближенно оценивает, на каком интервале вре­ мени в среднем имеет место коррелированиость между зна­

где б (/) — дельта-функция.

3. W (/) представляет собой мощность (средний квадрат) гармоник процесса в полосе частот /, / + df (отсюда и тер­

В качестве иллюстрации рассмотрим четыре примера ре­ ализаций случайных процессов, соответствующих корреля­ ционных функций и спектральных плотностей 17].

1. Гармонический процесс (рис. 18, а), записанный в виде

где фаза 0д распределена равномерно на [0,2л], является стационарным и эргодическим. Ковариационная функция процесса определяется так (рис. 19, а):

Огибающая ковариационной функции не убывает с увели­ чением т, и поэтому по ограниченному участку реализации можно точно определить значения процесса в будущем. Спектральная плотность имеет вид

й6а,Шаг

Рис. 19. Ковариационные функции процессов, изображенных на рис. 18 (условные обозначения те же, что на рис. 18).

т. е. вся мощность процесса сосредоточена на частоте / = /0 (рис. 20, а). Такая спектральная плотность служит хоро­

шим приближением для описания вибрационных процессов во вращающихся элементах или акустического шума венти­

Ковариационная функция процесса убывает очень быстро, что свидетельствует о слабой корреляции значений процес-

Ковариационная функция для этого случая

R (т) = W B si" j f T cos 2я/„т.

(2.30)

Как видно из рис. 19, огибаю­ щая этой ковариационной функ­ ции убывает медленно, что обу­ словливает большую коррелированность значений процесса по сравнению с широкополос­ ным шумом.

4.

го процесса и широкополосного шума (см. рис. 18) ковариацион­ ная функция равна сумме кова­ риационных функций гармони­ ческого процесса и широкопо­

лосного шума. То же справедливо и в отношении спектров:

Многие конструкции можно приближенно описать ли­ нейными динамическими моделями с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен­ тами

р — оператор дифференцирования, р =

По известным параметрам системы и известной спектраль­ ной плотности возмущающей силы W р (/) можно определить спектральную плотность W0 (/) напряжений в опасном се­

чении конструкции. Например, по спектральным плотностям неровностей взлетно-посадочных полос и по спектральным плотностям турбулентности атмосферы можно рассчитать

спектральные плотности па грузок на силовые элементы са­ молета при наземных маневрах и в полетпых условиях (по динамическим моделям самолета). Рассмотрим основные соотношения, позволяющие определить Wa (f) по Wp (/). Ре­

Ф(/со) называется частотной характеристикой системы. Мож­

На практике во многих случаях при обработке реальных пагрузок производят оценку спектральных плотностей. Од­ ним из основных методов оценки W (/) является метод анало­

говой фильтрации, реализующийся аппаратурно в виде спе­ циальных приборов-спектроанализаторов. В этом методе реализация процесса а (I) проходит через узкополосный

фильтр с полосой пропускания Д/ и центральной изменяе­ мой частотой /. Выходной сигнал фильтра а (/, А/, t) возво­

дится в квадрат, осредняется по времени и делится на Д/, при этом получается оценка

ется ранее определенная односторонняя спектральная плот­ ность W (/).

С развитием в последнее время цифровых методов обра­ ботки процессов, появлением алгоритмов быстрого преоб­ разования Фурье и реализующих этот алгоритм специа­ лизированных вычислительных устройств наибольшее распространение получили методы, основанные на непосредст­ венном преобразовании Фурье реализаций случайного про­ цесса. Пусть ah (t) — реализация процесса длины Т. С по­

мощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье вычи­ сляется функция

процесса а (£), тогда оценка спектральной плотности имеет

Для уменьшения искажения оцениваемых спектров, вызван­ ных конечным интервалом обработки Т (особенно в случае

узкополосных составляющих спектра), используют времен­ ные окна, сглаживающие данные [7, 45].

Некоторые методы теории случайных процессов применя­ ются для аналитического описания результатов схематиза­ ции нерегулярных нагрузок. Эти подходы изложены в па­ раграфе 3 после описания методов схематизации.

2. МЕТОДЫ СХЕМАТИЗАЦИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ НАГРУЗОК

Важным этапом в оценке нагруженности и прогнозировании усталостного ресурса детали является схематизация про­ цесса деформирования материала в опасном сечении. Под схематизацией понимается приведение процесса сложной формы к последовательности синусоидальных циклов с оп­ ределенными амплитудами и средним значением. В настоя­ щее время предложено много методов схематизации перемен­ ной нагрузки, критерием качества которых служит разница в повреждающем действии исходного и схематизированного процесса, что может быть оценено экспериментально путем сопоставления долговечностей образцов, нагруженных ис­ ходной и схематизированной различными способами нагруз­ ками [52].

В настоящее время предложено много методов схемати­ зации случайной нагрузки [81, 128, 157, 204]. Наиболее часто применяемые методы — метод максимумов, метод размахов и его модификации [81, 128], метод потока дождя Г268, 273], метод полных циклов [61, 81, 115, 128, 158, 178].

При использовании метода максимумов сначала нахо­ дится среднее значение процесса а (рис. 21, а). Каждому

максимуму процесса С7т ах, превышающему а, ставится в со­ ответствие цикл с амплитудой сттах — о и средним значением а (рис. 21, б). В методе максимумов предполагается, что рас­

пределение минимумов и максимумов симметрично относи­ тельно среднего а. Очевидно, что схематизированный про­ цесс будет более повреждающим, чем исходный. Метод учета одного экстремума между соседними пересечениями сред­ него уровня отличается от предыдущего тем, что учитыва­

Рис. 21. Методы максимумов и учета одного экстремума между сосед­ ними пересечениями среднего уровня.

ется только один наибольший максимум между соседними пересечениями среднего уровня (рис. 21, в).

При схематизации по методу размахов предполагается, что каждый размах, т. е. абсолютная величина разности между двумя последовательными экстремумами, образует полуцикл нагружения, амплитуда которого равна половине размаха. Полуциклы с одинаковыми амплитудами объеди­ няются в циклы. В этом методе предполагается, что распре­ деление восходящих и нисходящих размахов одинаково. Кроме того, здесь пренебрегают влиянием среднего напря­ жения полуциклов. Рассмотрим в качестве примера историю нагружения, изображенную на рис. 22. Метод максимумов дает завышенную оценку повреждающего действия, метод учета одного экстремума может дать заниженную оценку, если размахи повреждают материал. Метод размахов учиты­ вает только промежуточные размахи и не учитывает размах А — А ', на который наложены промежуточные циклы. Для

устранения этого недостатка в методе размахов учитываются только те размахи, которые превышают заданный пороговый уровень. Недостаток этого метода в зависимости повреждения от порогового уровня. Так, при анализе нагрузки,

Рис. 23. Зависимость расчетного повреждения от порогового размаха, отнесенного к максимальному размаху:

ном виде).

женил. Из рисунка видно, что расчетное значение пов­

пересечений заданных уровней. Согласно этому методу под­ считывают число превышений случайным процессом нагру­ жения заданных дискретных уровней, на которые разбит весь диапазон изменения нагрузок (см. рис. 21, а). Этот

метод может быть реализован с помощью аналоговых элект­ ронных приборов, результаты схематизации могут быть опи­ саны в ряде случаев аналитически. Различие метода мак­ симумов и метода пересечений уровней проявляется для историй нагружения, в которых значительную долю всех цик­ лов имеют циклы с минимумами, превышающими средпее значение процесса. В области высоких нагрузок распреде­ ление числа пересечений и распределение максимумов прак­ тически не отличаются.

В настоящее время как наиболее адекватные рассматри­ ваются методы полных циклов, потока дождя, пар размахов. Трудоемкость этих методов предусматривает использование ЭВМ для обработки записи нагрузки.

Главная особенность методов потока дождя, пар размахов, полных циклов заключается в том, что схематизации под­ лежат не только циклы, образованные соседними экстрему­ мами, но и циклы, как бы прерванные циклами меньшей амплитуды.

Идея метода потока дождя иллюстрируется рис. 24, на котором изображены отрезок истории нагружения е (t) и соответствующая этой нагрузке зависимость о (е). Для на­

глядности связь между напряжениями и деформациями изображена для больших пластических деформаций. Из рисун-

4.Начало записи нагрузки 1 считается минимумом, ес­ ли 2— максимум, и наоборот.

5.Проекция потока на ось е подсчитывается как размах деформации в полуцикле.

На рис. 25 можно выделить такие потоки: 1—2\ 2—3—5—

длины. Для больших записей число полуциклов невелико и их вклад в общее повреждение материала незначителен.

На рис. 26 показано, что выделенные циклы и полуциклы полностью согласуются с зависимостью а (£) — е (t) для за­

кона изменения деформаций, показанного на рис. 25. Сле­ дует отметить, что каждый участок истории нагружения обрабатывается, причем только один раз. Повреждение от большого размаха суммируется с повреждением от малых размахов, прерывающих его.

Вработах 1204, 251] сравниваются методы потока дождя

ипар размахов. Показано, что этими методами циклы вы­ деляются одинаково, отличие заключается только в выделе­ нии полуциклов. Поэтому разница в повреждении, опреде­ ленном этими методами, может быть значимой только для очень коротких историй нагружения, в которых полуциклы вносят существенное повреждение.

Вотечественной литературе наибольшее распространение получил метод полных циклов. В этом методе диапазон из­ менения нагрузки разбивается па определенное число раз­ рядов. На рис. 27 они выделены горизонтальными линиями. Просматривая запись нагрузки, выделяют размахи, не боль­ шие одного разряда. Выделенный размах образует цикл на­ гружения, амплитуда которого равна половине размаха. Экстремумы, соответствующие выделенным циклам, исклю­ чаются из дальнейшего рассмотрения. Затем, снова про­ сматривая историю нагружения (из которой исключены отмеченные экстремумы), выделяют размахи, не большие двух разрядов. Соответствующие экстремумы исключают­

ся. Затем выделяют размахи, не большие трех разрядов, и так до тех пор, пока не будут исключены все экстремумы.

Алгоритм проиллюстрирован на рис. 27. На верхнем графике дана исходная запись нагрузки, на следующих — те экстремумы, которые остались после очередного просмот-