книги / Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

Процентные точки распределения Стыодента и Пирсона содержатся во многих руководствах по статистике, например

вработе [49]. Доверительные интервалы (1.26) и (1.27) раз­ личны для различных выборок образцов даже при сохра­ нении всех условий испытаний и имеют следующий смысл: при многократном воспроизведении испытаний и построении по опытным данным доверительных интервалов эти довери­ тельные интервалы «накроют» истинные значения параметров

Е(lg N) и sjg N в (5-й доле испытаний. Обычно используются

значения |5 = 0,9 и (5 — 0,95.

При испытаниях на нижних уровнях разрушающих на­ пряжений, близких к пределу выносливости, имеются на­ ряду с разрушившимися образцы, выдержавшие базу испы­ таний. Простые линейные оценки параметров нормально­ го распределения для малых усеченных выборок предложены

вработе [143]. В работе [145] изложен метод определения доверительных интервалов для Е (lg N) и % ^ и даны графи­

ки параметров, необходимых для вычислений. Простая оценка параметров логарифмически нормального распре­ деления долговечностей возможна с помощью метода разде­ ляющих разбиений [185]. При малых объемах усеченных выборок (до 10 образцов) достаточно хорошие оценки Е (lg N)

получаются при наличии не менее половины разрушенных из общего числа испытанных образцов. Оценки параметра разброса % Л при малых объемах выборки менее достоверны.

Долговечность TVp, соответствующую вероятности раз­ рушения Р (кваптильную долговечность), можно оценить,

S\*N

пределепа по нормальному закону с нулевым средним и еди­ ничной дисперсией. Значения этой случайной величины — М.Р, соответствующие заданным уровням вероятности Р, затабулированы и называются квантилями нормированного

следующей формуле, в которой вместо среднего и средне­

Очевидно, что величина Np изменяется от выборки к выбор­ ке и необходима оценка достоверности определения Np

с учетом объема проведенных опытов и рассеяния резуль­ татов.

Для получения оценок долговечностей, соответствующих вероятностям разрушения Р с учетом выборочного характе-

ра оценок lg N и SIRN , можно использовать толерантные пределы [2] Nptо, определенные заменой в выражении (1.28) квантиля up на коэффициент tpto:

рок результатов испытаний, использование которых при расчете предела N p j гарантирует получение консерватив­

ной оценки истинного квантиля, соответствующего вероят­ ности разрушения Р.

Результаты усталостных испытаний па нескольких уров­ нях напряжений о, обрабатывают совместно с помощью ре­ грессионного анализа [2, 160, 175]. Предпосылками регрес­

нормальным, результаты испытаний разных образцов ста­ тистически независимы.

2. Известен вид зависимости параметров нормального

(при построении кривых усталости в логарифмических ко­

Эмпирическая линия регрессии, определенная по опытным данным, имеет вид

Поскольку Ъ же пекоррелированы и нормальны и, следо­ вательно, независимы, дисперсия lg N может быть вычисле­

на по формуле

Доверительные интервалы для параметров е, Ъ и средних значений логарифмов долговечности Е (lg N) строятся с по­

мощью процентных точек распределения Стыодента с числом

При исследовании влияния какого-либо фактора на кри­ вую усталости образцов или элементов конструкций необ­ ходимо учитывать, что оценки кривой усталости по экспе­ риментальным данным являются случайными, и поэтому сопоставлять кривые усталости необходимо на основе ста­ тистических критериев, изложенных в работе [2] и исполь-

При регрессионной обработке обычно не учитывают ре­ зультаты испытаний, полученные на уровнях с неразрушен­ ными образцами. Для учета неразрушившюгся образцов может быть применен метод максимального правдоподобия, однако это в значительной степени усложнит расчеты. Учет зависимости дисперсии lg N от уровня нагрузки существенно

не изменяет оценку линии регрессии, однако неучет этой зависимости может привести к погрешностям при построе­ нии кривых усталости по параметру вероятности разруше­ ния при малых Р . Функцию © (я) в формуле (1.32) можно задавать в точках х = Xi по результатам оценки дисперсии

Необходимость учета зависимости % ^ (х) от х, т. е. от

уровня нагрузки, проверяется применением критерия Бартлета однородности дисперсий. Если разница sfg N (л:,) для различных Хг оказывается незначимой, во всех формулах

МОЖНО ПОЛОЖИТЬ (0{ = 1.

Адекватность выбранного уравнения линии регрессии проверяется графически, а в случае испытаний на каждом уровне напряжений нескольких образцов (по 2 и более) можно применить статистический критерий, основанный на дисперсионном отношении

S S

1=1 7=j

где числитель характеризует меру рассеяния эксперименталь­ ных данных вокруг эмпирической регрессионной кривой lg N (x)j а знаменатель — меру рассеяния эксперименталь­

ных данных около своих частных средних pi. Если величина

F не превышает критического значения для выбранного

т

уровня значимости и числа степеней свободы /с, = 2 т — т;

1=1 кг = т — 2, то гипотеза адекватности линии регрессии со­

храняется. Для проверки логнормальности распределения долговечностей можно использовать совместный анализ ос­

где / — номер образца, разрушенного на i-м уровне нагрузки.

С помощью вариационного ряда остатков можно про­ верить логнормальность распределения по подходящему кри­ терию или графически, на нормальной вероятностной бу­ маге.

По результатам регрессионной обработки данных уста­ лостных испытаний можно построить кривые усталости по параметру вероятности разрушения. При этом пользуются следующим соотношением:

которое в частном случае Р = 0,5/ принимает вид

поскольку для нормального распределения lg N

Подставляя в выражение (1.45) оценку Е (lg N ) по резуль­

татам регрессионного анализа (1.39), получаем уравнение кривой усталости по параметру вероятности разрушения Р = 0,5, называемой иногда медианной кривой усталости

(конкретное выражение приводится для х — lg о):

Кривые усталости по параметру вероятности разруше­ ния могут быть построены согласно выражениям (1.44) и (1.46) по формуле

где lg N (о) вычисляется согласно оценкам по линии регрес­

сии; ^iE ы (о) представляет собой оценку согласно уравнениям (1.32) и (1.38); up — квантиль нормального распределения.

Для учета ограниченного объема выборки аналогично соотношениям (1.29) и (1.30) рассчитываются толерантные пределы для долговечностей, имеющие тот же смысл, что и выше (при оценке толерантных пределов по результатам испытаний на одном уровне):

ip.о = ир -\-щ X

(1.50)

На рис. 14 показаны кривые усталости, построенные с помощью регрессионного анализа для вероятностей Р = = 0,5 и Р = 0,01, а также толерантные пределы с уровнем доверия 1 — 0 = 0,99 (вероятность разрушения Р = 0,01).

Линия регрессии практически совпала с кривой усталости, построенной графическим способом. Кривая усталости, со­ ответствующая вероятности разрушения Р — 0,01, постро­

енная по формуле (1.48), лежит левее аналогичной кривой

усталости, построенной графическим способом, что объясня­ ется несколько большим значением si^jy на уровне нагрузки а = 80 МПа по сравнению с большими уровнями. Несмотря на довольно большой объем выборки (разрушено более 30 образцов), толерантные пределы для долговечностей ле­ жат значительно левее данных, полученных по формуле (1.48). И хотя это обусловлено тем, что уровень доверия взят довольно высоким (1 — 0 = 0,99), такие результаты показывают необходимость учета ограниченности выборки при усталостных испытаниях.

Регрессионную обработку данных усталостных испытаний можно проводить и при отклонении действительного распре­ деления долговечностей от нормального, при этом получае­ мые оценки будут приближенными. При сопоставлении лог­ нормального распределения с другими распределениями, применяемыми при оценке распределения усталостной дол­ говечности, необходимо отметить следующее. Логнормаль­ ное распределение лучше соответствует экспериментальным данным, чем двухпараметрическое Вейбулла, причем даже введение порога чувствительности по циклам не позволяет в ряде случаев получить удовлетворительное согласование эксперимента и распределения Вейбулла [1611. Логнормаль­ ное распределение обладает рядом преимуществ, связанных с более простой и привычной для инженеров техникой вы­ числений [8, 9, 63, 84, 160, 162, 182].

В пользу логарифмически нормального закона свиде­ тельствует также и тот факт, что оценки квантилей, соот­ ветствующие малым вероятностям разрушения при исполь­ зовании этого закона, дают погрешности, идущие в запас прочности. Вместе с тем необходимо учесть, что усталостные испытания весьма длительны и дорогостоящи и поэтому целесообразна наиболее адекватная методика обработки этих результатов. В связи с этим отметим, что некоторые распределения, например диффузионное или Бернштейна, дают лучшие результаты, чем логнормальное при оценке долговечностей, соответствующих малым вероятностям раз­ рушения Г83].

8. ОПИСАНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ УСТАЛОСТИ С ПОМОЩЬЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ

В условиях многообразных зависимостей сопротивления усталости от различных факторов и рассеяния характеристик усталости существует возможность для реализации весьма разнообразных расчетов на прочность и долговечность при переменном нагружении, с различной полнотой и точностью

учитывающих указанные усложняющие обстоятельства. Не стремясь к изложению всех конкретных методов расчета, аопытаемся охарактеризовать их общую направленность.

Целью любого расчета на прочность при переменных на­ грузках является определение разрушающего или неразрушающего их уровня, а также соответствующих напряжений и установление степени удаленности эксплуатационного ре­ жима от предельного. Последнее достигается с помощью как коэффициентов запаса прочности, так и вероятностной оценки.

Вследствие того что усталость зависит не только от уров­ ня нагрузок или напряжений, но и от времени их действия, наряду с установлением их предельных значений столь же большое значение имеет определение усталостной долго­ вечности. Для этой характеристики также применимы оцен­ ки с помощью коэффициентов запаса прочности или вероят­ ности, устанавливающих соотношение между необходимой

ирасчетной (или экспериментальной) долговечностью. Показатели предельных значений напряжений и усталост­

ной долговечности как характеристики одного и того же процесса, выражаемого кривой усталости, взаимосвязаны. В некоторых случаях речь может идти только о пределах выносливости и коэффициенте запаса прочности. Один из таких случаев имеет место тогда, когда правая ветвь кривой усталости асимптотически приближается к горизонтали, а ресурс назначается неопределенно большим. В этом случае

сгдд (который определяется положением указанной асимп­ тоты) и независимо от циклической долговечности находит­ ся коэффициент запаса прочности

Если вместо нормальных рассматриваются касательные напряжения или имеет место не одноосное, а сложное на­ пряженное состояние, то при наличии горизонтального уча­

определенное по соотношениям типа (1.51), удовлетворяет условию прочности

(1*52)

где [л0] — допустимое значение коэффициента запаса проч­ ности, устанавливаемое нормативными документами на ос-

иове имеющейся информации о нагруженности, оценки точности определения всех характеристик, от которых за ­ висит процесс усталости, определения возможностей тех­ нологии контроля дефектности, ответственности конструк­ ции, качества материала и учета предшествующего опыта эксплуатации аналогичных элементов конструкций. Обыч­ но [гг] = l,5 -i- 2,5. Если же степень осведомленности о всех факторах усталости и уровень технологии изготовления и контроля высокие, а требования к весовым показателям изделия жесткие, то Г/г] = 1,3 -f- 1,5.

Точно таким же остается расчет по коэффициенту запаса прочности и выбор его значений и в том случае, когда кривая усталости не имеет горизонтального участка и для заданной долговечности N устанавливается значение предела ограни­ ченной ВЫНОСЛИВОСТИ CTBJV

Можно выделить различные варианты расчетов, в кото­ рых на основе данных о нагруженности элемента конструк­ ции, с одной стороны, и экспериментальных данных охарактеристиках усталости материала с учетом условий его ис­ пользования в элементе конструкции, с другой, определяются не только предельные значения напряжений, но и значения усталостной долговечности. Количество этих вариантов ра­ счета определяется режимами, видами нагружения и ха­ рактером экспериментальной информации о показателях сопротивления усталостному разрушению. Рассмотрим пе­ речень возможных вариантов расчета.

Говоря о режимах нагружения, следует учитывать то обстоятельство, что расчеты ведутся в напряжениях (или в деформациях), а это означает, что при массовом производ­ стве одних и тех же элементов конструкций, предназнача­ емых для эксплуатации с одинаковым уровнем переменной нагрузки, в них могут возникать различные переменные напряжения (и деформации) из-за отклонений в технологии изготовления, обработки и сборки. Поэтому в общем следу­ ет различать по меньшей мере четыре варианта переменной напряженности элемента конструкции:

1.Циклические напряжения с неизменными во времени значениями сгтпх и сгт щ для всех экземпляров данного эле­ мента конструкции.

2.Циклические напряжения с неизменными во времени

значениями огаах и от 1П, различными для различных экземп­

ляров данного элемента конструкции, т. е. значениями сгщак и cjmjn, имеющими статистический разброс.

3. Переменные напряжения с программно или случайно изменяющимися во времени значениями сгтах и amtn с одина­ ковыми для всех экземпляров данного элемента конструкции