книги / Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

где N — число отсчетов в моделируемой реализации случай­ ного процесса; f = —1; F/, — комплексная гауссовская

случайная величина:

Формула (2.82) связывает шаг по частоте А/, шаг по вре­ мени АЬи число точек отсчета N. Для корреляционной функ­

ции случайной последовательности хт, используя выражения (2.79) — (2.81), докажем такое равенство:

Действительно,

Е (^m+Fv^ro) —■

Из выражений (2.79) и (2.83) следует, что массивы чисел Хт и R (nAt) получаются из массивов VuAh и W (А/к) соот­

ветственно с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) [45]. По свойствам преобразования Фурье с учетом равенств (2.80) и (2.81) следует, что хт и R (nAt) —

действительные числа. Изложенное выше позволяет считать, что Хт при достаточно большом N представляют собой дис­

кретные отсчеты ГССП с нулевым средним значением и спект­ ральной плотностью W (/). Среднеквадратическое значение

процесса

Из выражений (2.79), (2.81) и (2.82) следует, что наивысшая частота при воспроизведении спектра процесса

AfN _ 1

(2.85)

2 2Д*

Это значит, что число моделируемых точек на период гар­ моники с максимальной частотой AfN/2 равно 2. Для опре­

деления экстремумов процесса необходимо, чтобы число точек на период было не менее 8. Поэтому, если спектральная плот­ ность процесса W (/) задана на интервале 0 ^ ^ fm (fm — максимальная частота спектра), то А/ и At нужно принимать

такими:

что W (Afk) = 0.

Последовательность хь получается из последовательности VkAh с помощью ОДПФ. Если N — 2т (т — натуральное

число), то для выполнения ОДПФ можно применить алго­ ритм БПФ [45]. Алгоритм БПФ позволяет существенно, при­ мерно в Nl\og2N раз сокращать время счета по сравнению с прямыми вычислениями по формуле (2.79), что для N — 4096

составляет больше двух порядков. При этом результат БПФ формируется в том же массиве, в котором были заданы коэф­

фициенты VhAk. Поскольку УкАц — комплексные величины, то массив {VhAk} — комплексный, а результат преобразо­

вания Фурье — массив {#m} действительный. Поэтому числа хт содержатся в действительной части исходного массива. Практически без изменения объема вычислений можно видо­ изменить алгоритм так, чтобы моделировать сразу две реали­ зации случайного процесса, одпа из которых будет форми­ роваться в действительной части исходного массива, а вто­ рая — в мнимой части. Для этого модифицируем (2.79) так:

(2.87)

Чтобы хти утбыли отсчетами требуемой реализации ГССП, необходимо, чтобы каждый из массивов гауссовских случай­ ных величин (F/,} и {Т^} удовлетворял соотношению (2.80).

Для реализации алгоритма (2.87) необходимо предложить способ формирования массива случайных комплексных ве­

ЭВМ с помощью стандартных подпрограмм. Рассмотрим мас­ сивы случайных величин:

— ~£~\E (щ) -f- E (Wh) + E (u%—h) -f- E (u?^_;t)] = 1;

= 4 “ \M iuN—h) — E (ul) + E (wl) — E (wjv_ft)] — 0.

Случай III: к = N — L Доказательство проводится ана­

логично доказательству случая II.

Таким образом, если вычислять Vh согласно формуле (2.88), то после применения ОДПФ к массиву (UhAh) по

формуле (2.87) получим массив комплексных чисел {zm}, действительная и мнимая части которых представляют собой

отсчеты Двух независимых ГССП с заданной с помощью мас­ сива {Л/,} спектральной плотностью. Для оптимизации алго­ ритма и программы моделирования случайной нагрузки не­ обходимо также учесть следующие два момента. Во-первых, целесообразно моделировать ГССП с единичной дисперсией, поэтому с учетом выражения (2.84) в соотношении (2.87) сле­ дует использовать нормированную спектральную плотность, т. е. величины 4 “ вычислять так:

Во-вторых, для реализации ОДПФ методом БПФ можно пользоваться программами, которые вычисляют прямое ДПФ методом БПФ. Действительно, формулу (2.87) можно запи­ сать так:

z [ S ^ e x p f ; - ^ ] ]

Поскольку случайные величины 7д [см. формулу (2.90)] и ут [см. формулу (2.87)] являются центрированными, то с ве­ роятностной точки зрения £/д и С/д, а также Zm и zm нераз­

личимы. Поэтому для реализации алгоритма моделирования пригодны без всяких изменений программы, вычисляющие БПФ.

После расчета реализации необходимо выделить экстре­ мумы нагрузки. Опишем алгоритм выделения экстремума на примере максимумов. При обработке реализации просмат­ ривались тройки последовательных отсчетов: дг*_хс, дгц-i.

Считали, что максимум достигается в точке it если выполня­ лись условия Xi—i <С Xi tfi+i. При этом, однако, действи­

тельное значение максимума несколько больше, чем по­ скольку точка дискретного отсчета может быть смещена от точки максимума. Поэтому по значениям Xi—i; xt; Xi+i на­

ходили значение соответствующего максимума так: прово­ дили квадратичную параболу (рис. 43) через точки (t — At; Xi—i); (t; Xi); (t + At; ari+i) и находили наибольшее значение функции х:

х = xi -f- 0,125 (яц.1 — Xi—\)2f(2xi — — ач-i), (2.93)

которое и принимали за максимум.

Расчеты показали, что погрешность формулы (2.93) при нахождении максимума синусоиды но дискретным отсчетам

менее 1 % при частоте дискретизации, в 8 раз большей частоты синусоиды.

Для проверки разработанных ал­ горитмов и программ был проведен ряд тестовых расчетов. Проверка ка­ чества воспроизведения заданных спектров (которые задавались масси­ вом ординат спектральных плотно­ стей) проводилась с помощью спе­ циальной программы. В этой прог­ рамме спектральная плотность слу­ чайной нагрузки рассчитывалась ме­

тодом модифицированных периодограмм с использованием

треугольного окна [45]. Для каждой реализации {л?т} коэф­ фициенты БПФ {я*} рассчитывались по формуле

где Fm — соответствующее окно; г — номер реализации. Массив величин [1Г(&)}, называемый периодограммой,

вычисляется по формуле

о

где Е — энергия окна; Е — %Fm.

Оценка W (к) спектральной плотности мощности находит­

ся по формуле

L = 60. Проверка воспроизведения показала хорошее со­

ответствие заданных и рассчитанных спектров. Проверялось также одномерное нормальное распределение ординат слу­ чайного процесса, а также соответствие максимумов модели­ руемого процесса распределению Райса (2.57). Также для всех спектров было обнаружено очень хорошее соответствие значений (5, определенных по реализациям и рассчитанных по формуле (2.56). Проверка центрированности и стационарности не проводилась, так как эти свойства моделируемых процес­ сов следуют непосредственно из метода моделирования. По­ скольку ординаты моделируемого процесса являются линей­ ной комбинацией взаимно-независимых случайных величин, имеющих многомерное нормальное распределение, то и мно­ гомерные распределения ординат также будут нормальными.

В работах [125, 216] изложен метод моделирования после­ довательности максимумов и минимумов гауссовского ста­ ционарного процесса с заданным коэффициентом нерегуляр­ ности. Алгоритм моделирования ориентирован на мини-ЭВМ, последовательность экстремумов моделируется как простая однородная цепь Маркова [49]. Матрица одношаговых вероят­ ностей перехода, определяющая свойства марковской цепи экстремумов, имеет размерпость, равную удвоенному числу разрядов разбиения всего диапазона изменения нагрузки (удвоение связано с необходимостью различать максимумы и минимумы нагрузки, для практических целей удовлетвори­ тельные результаты дает разбиение на 32 интервала). Для

к минимумам, попадающим в интервал /. Диагональные эле­ менты описывают частоты переходов внутри одного интервала. Полагая ац = 0, эти частоты не учитывают. Информация,

содержащаяся в матрице переходов, не позволяет восстано­ вить последовательность экстремумов, а также частотный состав процесса (спектральную плотность мощности), однако по матрице (ау} можно определить (и воспроизвести при мо­ делировании) накопленные частоты пересечения уровня, рас­ пределение максимумов (минимумов), распределение размахов, коэффициент нерегулярности процесса. Для процесса, у которого восходящие и нисходящие размахп распределены одинаково, матрица является симметричной ау = ад. Если процесс симметричен относительно среднего уровня, то мат­

процесса можно воспользоваться совместной плотностью рас­ пределения размахов 2оа и средних значений (2.61) р {<т0, ит).

разбиения Да. Величина Да определяется из условия одно­ кратного достижения процессом максимального уровня, рап­ ного 16 Да. Тогда согласно распределению пересечений дан­ ного уровня (2.55)

коэффициента нерегулярности i — 0,99; 0,7 и 0,3 при N 0 = 10е.

Алгоритм моделирования последовательности экстремумов основан на величинах ац. Суть его заключается в следующем.

Предположим, что необходимо смоделировать максимум, сле­ дующий за минимумом, попадающим в разряд /с. Максимум моделируется как дискретная псевдослучайная величина (алгоритм моделирования изложен в начале параграфа), дис­

робности алгоритма и некоторые рекомендации по числеипой реализации содержатся в работах [216, 231]. Изложенный алгоритм достаточно просто реализуется на ЭВМ, не требует больших объемов памяти и, поскольку большинство парамет­ ров определяется до начала моделирования, скорость гене­

ваются применимостью такого нагружения для сравнитель­ ной оценки материалов, элементов конструкций и их соеди­ нений по критерию циклической прочности при эксплуатаци­ онном нагружении. Следует отметить, что существенным недостатком такого алгоритма моделирования в ряде случаев является невозможность воспроизведения спектрального со­ става нагрузки (по частотам).

Изложенные методы моделирования и воспроизведения случайных нагрузок являются весьма гибкими и позволяют задавать самые разнообразные режимы нагружения при уста­ лостных испытаниях. Некоторые дополнительные алгоритмы моделирования стационарных процессов с негауссовским рас­ пределением и заданной спектральной плотностью содержатся в работе [193]. Моделирование нестационарных процессов

(за исключением случаев кусочно-стационарных процессов) — сложная задача, ряд частных примеров рассмотрен в работах [26, 201].

6. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ НАГРУЖЕННОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ В ЭКСПЛУАТАЦИИ

Для надежной оценки ресурса ответственных конструкций необходима точная и представительная информация о нагружепности в течение всей эксплуатации. Погрешности в оценке нагруженности могут привести к ошибкам в определении уста­ лостной долговечности не в меньшей степени, чем примене­ ние неадекватных гипотез суммирования повреждений. Важ­ ным способом повышения эффективности эксплуатации доро­ гостоящих конструкций, таких, как летательные аппараты, мосты, суда и т. п., является определение ресурса с учетом фактической нагруженности каждой конструкции в течение всего времени эксплуатации. Сбор и обработка данных о фак­ тической нагруженности могут быть произведены средствами тензометрии с записью сигнала нагрузки на регистрирующей аппаратуре и последующей обработке записей на ЭВМ. Труд­ ности в применении такого подхода обусловлены небольшим (по сравнению с требуемым) числом постоянно функциони­ рующих измерительных каналов, необходимостью обеспе­ чения в течение длительного времени метрологических харак­ теристик аппаратуры, сложностью при тензометрировании движущихся и вращающихся элементов конструкций и др.

Для решения указанной задачи в настоящее время ис­ пользуется ряд методов — от чисто механических регистра­ торов — усилителей местных деформаций, нацарапывающих историю нагружения на специальных пластинах [192], до специализированных вычислительных устройств [136] на ос­ нове микропроцессоров, реализующих обработку нагрузки (схематизацию и расчет повреждения) в реальном масштабе времени. Для оценки индивидуальной нагруженности от­ ветственных изделий используют также датчики, выходной параметр которых зависит от приложенной к ним циклической нагрузки [11, 12]. При этом состояние датчика (индикатора) непосредственно не связано с уровнем накопленного усталост­ ного повреждения в исследуемом силовом элементе и лишь отражает историю нагружения этого элемента. В качестве датчиков используют автоматический счетчик нагруженности (АСЫ), образцы-свидетели (ОБСВ), а также параметрические, индикаторы [121].

АСН представляет собой лепту, на которой закреплен ряд фольговых датчиков, поочередно воспринимающих деформа-

ции конструктивного элемента через усилитель деформации. Смена датчиков происходит после разрушения очередного. Кривая усталости фольгового датчика расположена значи­ тельно левее кривой усталости материала конструкции. За счет этого до исчерпания ресурса происходит многократное разрушение датчиков. Число разрушенных датчиков примерно отражает степень исчерпания ресурса согласно линейной ги­ потезе. АСИ имеет довольно большие габариты, нуждается в электропитании, однако работа с ним намного проще, чем с тензодатчиками. АСН не чувствителен к статическим де­ формациям. Основное применение — сопоставление нагруженности однотипных конструкций, эксплуатируемых в по­ добных условиях и режимах работы.

ОБСВ представляет собой пластинку из материала кон­ струкции с концентратором, геометрия которого выбирается так, чтобы кривая усталости ОБСВ и кривая усталости си­ лового элемента совпали. ОБСВ наклеиваются на силовой элемент и нагружаются вместе с ним в процессе эксплуатации. Точность прогнозирования ресурса увеличивается за счет увеличения числа совместно наклеиваемых датчиков.

Параметрические индикаторы реагируют на циклическое нагружение, изменяя некоторый физический параметр: мо­ дуль Юнга, отражательную способность, состояние (например, шероховатость) поверхности, электросопротивление.

При массовых измерениях для оценки пагруженности при длительных условиях эксплуатации могут быть применены простые, компактные и надежные датчики усталостного пов­ реждения, конструктивно выполненные в виде тензорезисторов, изготовленных из термообработанной константановой фольги [12]. Принцип действия датчика основан на необрати­ мом изменении электросопротивления под действием цикли­ ческих нагрузок в зависимости от уровня и длительности нагружения. Наклеенные в опасном месте конструкции дат­ чики необратимо изменяют свое электросопротивление в процессе циклического нагружения, при этом скорость изме­ нения электросопротивления пропорциональна уровню на­ грузки. Измерять накопленное датчиком изменение электро­ сопротивления можно в любой момент времени. Датчики не требуют электропитания и постоянного подключения изме­ рительного прибора.

Изменение электросопротивления датчиков связано со следующими процессами [2181: с искажением кристаллической

тензорезисторы на основе полупроводниковых материалов,