книги / Физика металлов и дефекты кристаллического строения

кристаллической решетки расположены точечные положительно заряженные ионы, погруженные в электронный газ, плотность которого по всему объему равномерна. К такой модели ближе всего подходят щелочные металлы, которые имеют простую и открытую кристаллическую структуру с относительно равно* мерной плотностью электронного газа по всему объему кристал­ ла. В этом случае рассчитывают не всю энергию металлического тела, соответствующую температуре абсолютного нуля, а только ту дополнительную, которую получают атомы по отношению к энергии, соответствующей энергии атомов, находящихся в изо­ лированном состоянии. При расчетах полагают, что темпера­ тура металла равна Г = 0К. Однако в связи с малой склон­ ностью электронного газа к нагреванию полученные результаты справедливы и для температур, меньших по сравнению с тем­ пературой вырожденного состояния электронного газа. Так как температура вырождения электронного газа равна нескольким десяткам тысяч градусов, то полученные уравнения справед­ ливы и для состояния металлов во всем интервале от —273°С до температуры их плавления. В связи с этим энергию кристал­ ла, которая представляет собой потенциальную энергию ионов и кинетическую энергию электронов, приближенно мож­ но выразить как сумму нескольких почти независимых сла­ гаемых:

а) электростатической потенциальной энергии, обусловлен­ ной взаимодействием положительно заряженных ионов между собой;

б) электростатической потенциальной энергии, обусловлен­ ной взаимодействием свободных электронов между собой;

в) электростатической энергии взаимодействия положитель­ но заряженных ионов со свободными электронами;

г) кинетической энергии свободных электронов.

Для решения поставленной задачи в кристаллической ре­ шетке выделяют объем, приходящийся на один ион в узле ре­ шетки. Для этого проводят плоскости, перпендикулярные к линиям, соединяющим данный ион с его соседями и делящими эти линии пополам. Полученные при таком делении многогран­ ные фигуры для объемноцентрированной и гранецентрирован­ ной кубических решеток приведены на рис. 5.4, а и б соответ­ ственно. В объемноцентрированной кубической решетке с коор­ динационным числом 2 = 8 и параметром а на расстоянии, рав­

ном (а д/з)/2 от данного атома, находятся восемь соседей, а на расстоянии а — шесть. Если посередине этих расстояний про­ вести плоскости, то они образуют усеченный октаэдр (рис. 5.4, а) . При построении усеченных октаэдров для всех атомов ока­ жется, что они, соприкасаясь друг с другом, заполнят весь кристалл. Полученные таким образом многогранники назы­ ваются атомными полиэдрами, или атомными ячейками. Подоб­ ным построением атомные полиэдры могут быть получены для

любой кристаллической структуры, однако форма их будет раз­ лична.

В связи с допущениями в принятой модели постоянства плотности электронного газа по всему ее объему необходимо положить, что на каждую атомную ячейку приходится одно и то же число свободных электронов, равное валентности элемен­ та. Так, в щелочных металлах на каждую атомную ячейку при­ ходится по одному свободному электрону, в щелочноземель­

Рис. 5.4.

атомной ячейки в целом равен нулю. В связи с нейтральностью в электрическом отношении атомов ячейки и равномерным рас­ пределением внутри них электрического заряда потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием положительных ионов между собой, можно не учитывать. Также можно пренебречь и потенциальной энергией взаимодействия между собой свобод­ ных электронов в связи с тем, что на каждую атомную ячейку приходится по одному электрону. Следовательно, для расчета энергии одновалентных металлов необходимо знать электроста­ тическую энергию взаимодействия положительно заряженных ионов со свободными электронами и кинетическую энергию свободных электронов.

Энергия электростатического взаимодействия ионов со сво­ бодными электронами, приходящимися на одну атомную ячейку, может быть определена так же, как энергия взаимо­ действия электрона с протоном в атоме водорода (1.3). Так как число атомных полиэдров равно числу атомов N, то энергию взаимодействия электронного газа с ионами можно представить в виде

= — ae2N/r0

ная кинетическая энергия может быть выражена уравнением (3.9) или

р _ 3 Nh2 ( W у /2

5йт I SnV )

Всвязи с тем, что объем тела V пропорционален г§, кинетическую энергию можно выразить как

В = рИ2 N\

8т

а = ( 5 ^ 1 = const зависят от типа кристаллической решетки. Итак, полная энергия металлического тела определится как сумма потенциальной энергии электростатического взаимодей­ ствия положительно заряженных ионов со свободными электро­

нами и кинетической энергии свободных электронов:

В этом уравнении первый член отрицателен и соответствует энергии сил притяжения ионов в кристалле, а следовательно, он понижает энергию системы ионов в сравнении с энергией изолированных атомов. Силы притяжения обусловлены куло­ новским взаимодействием между положительно заряженными ионами и отрицательно заряженными электронами. Второй (по­ ложительный) член уравнения связан с силами отталкивания, он увеличивает полную энергию системы и определяется кине­ тической энергией электронов. На рис. 5.5, а приведена зависи­ мость полной энергии металлического тела (Е) от расстояния (г) между атомами. Из него следует, что при бесконечно большом удалении атомов друг от друга полная энергия равна нулю. При расстоянии между атомами, равном г0, она достигает ми­ нимума, при сближении атомов уменьшается, а затем при уменьшении расстояния между атомами до нуля резко возра­ стает, стремясь к бесконечности. Минимальное значение полной энергии (Uо¥=0 и р = 0) при г = г0 отвечает равновесному, устойчивому расстоянию между атомами в кристалле металла.

Зная энергию металлического тела, можно написать уравне­ ние состояния металла, под которым понимают зависимость

давление за счет уменьшения энергии (Е) рассматриваемой системы совершает работу pdV\ следовательно,

ние, которое производит электронный газ при его движении

кинетической энергией молекул газа. Второй член уравнения представляет собой отрицательное давление, определяющее силы сцепления в металлах. На рис. 5.5 показана зависимость внутреннего давления металла от расстояния между атомами. Из рисунка следует, что при бесконечно большом удалении ато­ мов друг от друга давление равно нулю. С уменьшением рас­ стояния давление понижается и при некотором значении гкр до­ стигает минимума, после чего резко возрастает до бесконечно больших значений при межатомных расстояниях, стремящихся к нулю (рис. 5.5,6).

При достаточно больших расстояниях между атомами силы притяжения, пропорциональные г-4, преобладают над силами отталкивания, изменяющимися с расстоянием по закону г~ъ. При малых значениях г, наоборот, силы отталкивания преобла­ дают над силами притяжения. Если расстояние между атомами равно некоторому г0, силы притяжения уравновешиваются си­ лами отталкивания, и суммарное давление равно нулю. Так как

Здесь первый член представляет собой энергию электростати­ ческого взаимодействия положительно заряженных ионов с электронным газом; второй— энергию Ферми; третий — кинети­ ческую энергию электронов в самом низком энергетическом со­ стоянии; четвертый— нулевую энергию N ионов при Т = О К, имеющую не тепловую, а квантовомеханическую природу.

5.3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ПРОЧНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Зная зависимость внутреннего давления от межатомного расстояния, можно рассчитать теоретическую прочность метал­ ла, исходя из следующего. В условиях отсутствия внешнего дав­ ления кристалл находится в равновесии, а расстояние между атомами равно г0 (см. рис. 5.5,6). Если приложить внешнюю растягивающую нагрузку, то будет увеличиваться расстояние

между атомами и соответственно возрастать отрицательное давление. Ситуация будет развиваться до тех пор, пока напряжение, вызванное нагрузкой, при некотором меж­ атомном расстоянии (п) не будет равно давлению (pi), при котором внешняя нагрузка уравновесится внутренними силами. Дальнейшее возрастание внешней нагрузки также приведет к росту внутрен­

него отрицательного давления (например, до рг), и так будет продолжаться до тех пор, пока оно не достигнет максимального значения ртах. Это давление является критическим, а его пре­ вышение связано с уменьшением внутреннего отрицательного давления и разрушением металла, так как внутреннее давление уже не сможет уравновесить внешнюю нагрузку. В связи с этим

прочность металлов по абсолютной величине равна максималь­ ному значению отрицательного давления, которое может выдер­ жать металл, не разрушаясь.

Приближенную оценку теоретической прочности металлов можно получить, исходя из следующего. Зависимость растяги­ вающих напряжений (а) от абсолютного удлинения (г — г0 = е) можно представить в виде перевернутой кривой отрицательного давления (рис. 5.6). При растяжении монокристалла совершает­ ся работа, которая численно равна площади под кривой а (г).

Разрушение тела завершается его разделением на части и образованием новых поверхностей — поверхностей изломов с по­ верхностной энергией 2у на каждую единицу площади. Следо­ вательно, работа разрушения направлена на образование новых поверхностей, и это обстоятельство позволяет получить следую-

щее выражение для теоретической прочности металлов:

О’теор == VЕУ/ГО

(Е — модуль Юнга, для железа £ = 21 104 МПа, у=Ю “4Дж/см2, г0 = 0,25 нм, а ст-геор = 30 000 МПа).

Еще проще приближенное значение теоретической прочности можно получить, исходя из предположения, что на начальном участке кривой о(г) (см. рис. 5.6) справедлив закон Гука: а = = Ее. Если эта зависимость справедлива до сгТеор, то абсолют­ ное удлинение в момент разрушения должно составить 0,1г0. Следовательно,

®теор' 0,1£.

Сравнение значений модуля Юнга, теоретической и реальной прочности металлов (табл. 5.3) позволяет сделать вывод, что реальная прочность металлов в несколько десятков и даже со­ тен раз меньше теоретической.

Большие значения теоретических напряжений получаются и при их оценке в момент, когда в металле начинает прояв­ ляться пластическая деформация. Исследования пластических деформаций сдвига показывают, что они происходят в резуль­ тате скольжения одной плоскости кристалла (плоскости сколь­ жения) по отношению к другой под действием приложенного касательного напряжения т (рис. 5.7). При этом установлено, что процесс скольжения не приводит к нарушению кристалли­ ческого строения металла. Это позволяет предположить, что сдвиг в плоскостях скольжения осуществляется путем одновре­ менного смещения всей данной плоскости относительно соседней плоскости так, как если бы все атомы скользящей плоскости были бы жестко связаны между собой. Однако такая схема сдвига двух участков кристалла с идеальной, не содержащей дефектов кристаллической решеткой противоречит эксперимен­ тальным данным.

На рис. 5.7, а показано расположение атомов в двух плоско­ стях кристалла, вдоль которых под действием касательного на­ пряжения т происходит скольжение. На рис. 5.7,6 показано из­ менение энергии вдоль атомного ряда, откуда следует, что ато­ мы в равновесном состоянии занимают положения, отвечающие минимальному значению энергии, а между ними энергия возра­

стает. Таким образом, атомы отделены друг от друга потенци­ альными барьерами. Чтобы переместить один ряд атомов отно­ сительно другого, необходимо каждому атому сообщить энер­ гию, достаточную для преодоления энергетического барьера.

Рассмотрим изменение силы (F), с которой при скольжении атомы одной плоскости действуют на атомы другой. Эта сила пропорциональна крутизне потенциального поля, т. е. углу на­ клона кривой к оси абсцисс (рис. 5.7,в). Сначала сила сдвига возрастает от нулевого значения при равновесном положении

атомов до максимального при наибольшей крутиз­ не кривой; далее сила уменьшается, посередине между атомами одной плоскости она меняет знак и становится отрица­ тельной. После прохожде­ ния вершины потенциаль­ ного барьера сила, дейст­ вующая на перемещаю­ щийся атом, уже не пре­ пятствует этому переме­ щению, а, наоборот, спо­ собствует ему, т. е. стано­ вится отрицательной.

Если рассматривать две части плоскости с площадью, равной еди­

нице, вдоль которых происходит скольжение, то можно опре­ делить касательные напряжения, при приложении которых начинается скольжение. Это напряжение называют скалываю­ щим напряжением.

Классическую работу по оценке теоретической прочности на сдвиг идеального кристалла проделал Я. И. Френкель. Исполь­ зуя зависимость между касательными напряжениями и смеще­ нием сдвига, он предположил, что в процессе пластического сдвига по рациональной плоскости (см. рис. 5.7, а) кристалл проходит через серию эквивалентных состояний с одинаковыми энергиями и с периодом между состояниями, равным 6, — вели­ чине простого вектора трансляции решетки.

Касательное напряжение, которое необходимо приложить к кристаллу, чтобы произвести сдвиг на величину х, пропор­

вом приближении периодическая зависимость энергии является синусоидальной, т. е.

При расчете по этой формуле оказалось, что теоретическая величина скалывающих напряжений ряда металлов намного выше экспериментально полученных данных, которые не пре­ вышают (10-3-^ 10“4)G — см. табл. 5.4.

Причинами несоответствия теоретической и практической прочности являются не свойства совершенной кристаллической структуры металла, а наоборот, наличие в кристаллической структуре разного рода несовершенств, дефектов, а также влия­ ние на результаты исследований масштабного фактора при ис­ пытании образцов разного объема. Так, например, если подвер­ гать растяжению стеклянную нить диаметром 22 мкм, то ее прочность на разрыв составит 220 МПа, при диаметре 16 мкм — 1070 МПа, а при диаметре 2,5 мкм — 5600 МПа. Аналогичные результаты достигнуты на тонких металлических кристаллах («усах») диаметром в несколько микрон с весьма совершенной кристаллической структурой. Поскольку в кристаллах с малой

при их испытании достигается прочность, весьма близкая к тео­ ретической. Так, в частности, нитевидные кристаллы железа имеют прочность около 13 000, меди — 8000, цинка — 2250, крем­ ния— 7000, графита — 21 000, сапфира (а = А120 3)— 20 000, карбида кремния SiC — 21 000 МПа.

В технике металлы в чистом виде применяются сравнитель­ но редко, большинство используется в виде сплавов из двух или более металлов. Сплавом называются вещества, полученные путем сплавления, спекания и другими методами двух или бо­ лее элементов. В качестве исходных компонентов при образова­ нии сплава могут быть использованы элементы металлической и неметаллической природы (углерод, азот, фосфор, сера и т. д.). В зависимости от температуры и концентрации компонентов сплавы могут находиться в различных фазовых состояниях.

Фазами называются однородные части сплава, обладающие совокупностью физико-химических и термодинамических свойств

твердых растворов и химических соединений и, наконец, из смеси зерен чистых компонентов, твердых растворов и химиче­ ских соединений.

При сплавлении компонентов, близких по физико-химическим свойствам (атомным радиусам, сходству электронных конфигу­ раций атомов, кристаллической структуре и т. д.), сплавы в твердом состоянии представляют собой твердые растворы, а при сплавлении компонентов с резко различными физико-химически­ ми свойствами — промежуточные фазы (химические или интер­ металлические соединения с нормальной валентностью, фазы внедрения, электронные соединения).

Состояние, в котором находится сплав в равновесном состоя­ нии, в зависимости от температуры и концентрации компонен­ тов описывается с помощью диаграммы состояния (рис. 5.8), где по оси ординат откладывается температура сплава, а по оси абсцисс — содержание компонентов в атомных или массовых процентах.