Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Сборник задач по термодинамике физико-химических процессов. Решение задач

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
32.07 Mб
Скачать
☆

3 < V ( ЭГ

 

 

Э (dU/dV)

 

 

ЭР JT U v .

 

 

ЭР

т

 

(23)

 

Г Ш

 

ГдеV

 

 

ЭС,Л

 

ЭГ

 

 

дТ Jv U v J ,

I dv

ЭР

 

 

Считая, что Cv = Cv(Г, К) , можно получить следующее уравнение:

дСу

dCv '

 

ЭГ

( д а

 

(24)

dV

дТ

 

,dV,

d v

 

 

 

 

Подставив (24) в (23), получим:

 

 

 

 

 

'дСу\ Гдт)

(dCv

ЭГ

дСу

ЭГ

(25)

ЭР Jr U v JIpP

Iу dVwr

 

ЭР;у

dv

—

 

ЭР

 

Подставляя (25) в (20), получаем искомое выражение:

 

 

 

ЭС р

 

Э7Л

_ dCy

ЭГ

(26)

 

 

ЭР

 

a v j

 

= 1

(с' с А ь т \

V

 

 

ЭР

 

 

; v \ KIV Sp

\ vdv ур'\иж у v

 

7. а) При V= const теплоёмкость определяется по уравнению:

 

 

r dСЛ

= Су

 

 

(1)

 

 

ЭГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножив и разделив левую часть на dP, получают искомое уравнение:

^эс/^i ГэрЛ

Q =

ЭР ' V эгЛ/ V

(2)

б) Составляется уравнение параметрического вида:

 

dU + PdV = hdP + CPdT

(3)

Для функций:

 

 

и

= и{р,т),

 

v

= v (p ,r ),

 

составляют выражения полных дифференциалов:

d U =

0 + т

егг

(4)

э р ] Т

\ д Т

) Р

 

ЛУ = ^ЭУ'

dP +

1д Т )Р

(5)

^ ЭР. т

 

101

Подставив (4) и (5) в (3), получают:

(6)

= hdP + CpdT

Из этого уравнения получают решение в таком виде:

с ,- ®

(7)

э г

дТ

в) Для решения задачи по пункту (в) преобразуем правую часть, умножив и разделив на dV производную (ЭС/ / дТ )р:

с Р = г д и \ ra v ^ i + р

 

dv

дТ

дТ

 

Откуда получают решение задачи:

 

 

 

Г 'э с Л

+ р

 

(8)

Ср =-

к д Т ) Р

IV dv

 

 

8. а) Записываем объединённое уравнение 1-го закона термодинамики:

 

dU + P d V = ld V + CvdT

(1)

Для сравнения левой и правой части уравнения (1) представим внутрен­ нюю энергию в виде функции от V и Т:

 

 

U = U (V ,T ).

 

и составляем выражение полного дифференциала:

 

...

——

...

( d U

dT

 

сШ =

dV +

—

 

 

U v J r

 

{дт

 

Подставляя (2) в (1), получают следующее равенство:

a

d V /

dT = (/ - P)dV + CvdT

d v ) T

 

)v

 

 

 

из него получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' Щ

= ! - / >

 

 

 

d v ) T

 

 

с<dU )

ЭТ ) v v

(2)

(3)

(4)

(5)

Параметр / определяется по формуле: 102

(6)

Подставляя (6) в (4), получают уравнение:

г диЛ

J d P

- р

(7)

ЭУ

= т э т

УТ

 

 

 

Дифференцируем выражение (7) по Г, выражение (5) по V и получают вторые производные:

э 2и

 

II

Гэ2Р ]

 

ГЭР^

ЭР

(8)

ЭУЭР

к

• +

P

 

ВТ

 

 

[эр2,

 

U

J

 

 

)ту

V

 

 

 

 

 

Э2С/ ]

 

ГЭСП

 

(9)

 

 

[эуэр^

 

1 ЭУJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ту

 

 

 

 

 

 

Приравнивая эти два выражения, получаем:

 

 

 

 

 

эсу

=т

(■&

 

 

 

 

 

 

 

Э2Р

 

(Ю )

 

 

ЭУ

 

э г 2

 

 

 

 

уравнение (а) в условии задачи 8.

 

 

 

 

 

 

б) На основе общего аналитического выражения энтальпии

 

 

 

Н =U + PV

 

 

 

(П)

определяется первая производная от Н по Р при Т = const:

(дн') ГЭ£Л

'ЭУ'

( 12)

+ Р —— +У

U P Jт U ^ J

U P J ,

 

Подставив производную (Э{7 / ЭР)Г в форме:

'Э£Л =7/ЭР>|( W )

_р(ЭУ'

(13)

4a p J r

U ^ J A a p J ,

U P ,

 

получим производную (ЭЯ / ЭР)г в следующем виде:

 

днЛ

ЭР

f-1 +V

(14)

ЭР /г

= т

 

ЭР

Лэр|,

 

 

Давление выражают в форме функции от V и Г,

Р = P (V ,r), и состав­

ляют полный дифференциал с1Р\

 

 

 

 

3V

dV + (дРЛ

dT = 0

(15)

 

ЭР

 

 

 

103

(

Ш

г Ч

 

 

(

Е

Из уравнения (3) получают следующее выражение:

 

 

 

/ Э \ Л

= h ,

 

 

 

/

K d P j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сп = Cv +1

 

 

 

 

 

 

эт

 

 

где

 

1=Т ЭР

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

э г

 

 

Подставив (6) в (4) и (5), получаем:

 

 

 

 

 

Ср = c v +т

Р )

( ЭУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ B T J v U r

 

Для функции Р = P {V ,T ) находим полный дифференциал:

 

 

'д Р }

 

 

 

 

 

ЭР =

 

 

 

 

 

 

dV /Т

 

 

 

Принимая Р = const, получим:

 

 

 

 

 

 

№

+ Ж

^

= о

 

 

 

,avjr

{ д т ) у { д У ) Р

 

 

 

ЭР

 

Л

ra v ^ i

 

 

 

Uv ) тl a r j

 

 

 

,arjv

 

Подставляем 10) в (8) и получаем:

 

av'

 

 

 

 

 

Г ЭР

 

с р ~ с у ~ ^ a v J A d r J , Решение задачи по пункту (в).

(3)

+ с г

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(Ю)

(П)

105

9. а) Теплоёмкость С Р при Р = const определяется по выражению:

^Эн '

=с„

(1)

дТ J р

 

 

Умножив и разделив левую часть на ЭV7, получим решение в таком виде:

(

 

'% - ) - с ,

(2)

{ d v j р\. Ъ Т ) ,

б) Аналитическое выражение энтальпии

н = и + PV

дифференцируем:

dH = dU + PdV + VdP

(3 )

и подставляя в (3) уравнение 1-го закона термодинамики:

SQV=dU + PdV

(4)

получаем следующее выражение:

dH =SQv + VdP или SQV= d H - VdP

Это уравнение дифференцируем по Т при V = const:

r SQv \

( д н Л

./ЭР'

дТ Jv

дТ Jv

- V ,

U r

с= №

v1 эт

в) В выражении:

SQV=dH -VdP

умножим и разделим dH на dP:

 

 

SQv = ' д Н '

dP - VdP

Преобразуем (9) к такому виду:

ЭР Jv

 

 

 

SQV =

д Н л

 

-V >dP

v ЭР у

(5)

(6)

(7)

( 8)

(9)

( 10)

Разделим правую и левую части (10) на дТ:

 

SQV = ||Э Я Л

(И)

дТ

( [ ЭР Jv

Jv

Откуда получаем решение задачи:

106

- V

(12)

10. Составляем равенство двух параметрических уравнений 1-го закона термодинамики:

ldV 4- Cv dT = hdP + C pdT

( 1)

Выражаем объём в виде функции от Р и Т:

v= V (P ,T ).

инаходим выражение полного дифференциала:

(2)

Подставляя (2) в (1), получаем:

+ C v \ЛТ = hdP + С PdT

(3)

где

Ч (4)

§ 1

Из уравнений (3) и (4) получаем равенства:

Л = / э ^

Эр

с Р- c v

=1

J

d P \ I ЭУ

 

' Э У )

что и требовалось найти.

v д Т ) р

 

ч Э^ Т ) у \ д утр

 

 

 

11. Аналитическое выражение энтальпии

 

 

н

= U + P V

 

 

дифференцируем

 

 

 

(5)

(6)

(1)

clH = d U + P d V + VdP

(2)

В это выражение подставляем общее уравнение

1-го закона термодина­

мики:

 

SQV = d U + P d V

О)

и получаем такое уравнение:

 

SQV = d H - Vd P

(4)

Энтальпию выражаем в виде функции:

 

107

я = я (р ,г).

и находим ее полный дифференциал:

dH = — dP + \ — rfr Uр ) т U т /р

Подставив (5) в (4), получаем такое уравнение:

- v \ d P + (ЭЯ) dT

( д н )

 

SQv = U P J Г J

1эг J

Поделив это выражение на дТ, получаем:

(SQv) =fdH')

ГЭЯ^

U r J U r J р J

1 U P Jт

или окончательно получаем решение задачи:

cP cv = W- ^ Э Я Л

\ d P j

12. Ранее было получено следующее уравнение:

ЭР

- v J\V ЭГ

ЭР

ЭГ

_ ( д и }

и./ —

- а У

ЭГ

д У ) т

где а - изобарный коэффициент теплового расширения:

1 (

а = — —

v { d T ) p

Производная (dU / д Т) р имеет такой вид:

fatn

= С Р - Р

UrJр Р UrJ

Подставив (3) в (1), получаем:

CF- C v = c , v l p + ( ? f

(5)

(6)

0 )

(8)

( 1)

(2)

(3)

(4)

С другой стороны, производная (ЭU / ЭV )г была получена ранее в таком виде:

'Э £ Л

=т( ^

- р

(5)

у д У ; т

{ЭГ

 

 

Подставив (5) в (4), получаем следующее уравнение для разности тепло­ ёмкостей:

108

 

сР-cv= a7 V

( Э /Л

(6)

 

—

 

 

\ о 1 Jv

 

Преобразуем производную (дР/дТ)v к виду:

 

'д Р }

_ У дУ 1

_ 1ГЭУ

а

\bTJv гд

~ У д У ( д Т }

 

= Т7 (7)

 

Р

 

у д Р ;

п

э ? л

После подстановки (7) в (6) получаем решение задачи:

 

 

a 2V

 

 

C P ~ Cv = ^ j - T

(8)

13. Зависимость внутренней энергии от объёма определяется по уравне­ нию:

dU_

( д Р

- Р

( 1)

дУ Jr

= Т —

КдТ

 

 

Из уравнения Ван дер Ваальса выделяют Р:

p - * L

- 4

и

V - b

V2

 

Дифференцируя это уравнение по Т, получают следующую производную:

^

(3 ,

ЭТ

V - b

V<

 

Подставляем (2) и (3) в (1):

а

д и

. дУ /г

(4)

= V 5"

Разделяя переменные и интегрируя (4) в пределах от 1-го до 2-го состоя­ ния, получаем изменение внутренней энергии:

AU =а 1 1 \

(5)

^2

Изменение внутренней энергии при V = const определяется по уравнению:

A U = C V AT

(6)

Подставляя (6) в (5), получаем решение задачи:

AV

а

C v =■

(7)

AT

 

109

14. Для расчёта теплоёмкости жидкого бензола при постоянном объёме Суиспользуется уравнение:

cv=cP a-TV

( 1)

р

 

Численное значение /? получают, исходя из давления, выраженного в Па:

Р = 9 - ’3 ' 1--

6 = 96’3 ' 1-0 — = 9,50 • Ю"10 Н м'2,

н

Р„

101333

где Рш= 101333 Па,

1 Па = 1 Н м'2

Подставляем численные значения в формулу (1) и получаем Су:

(12,4-КГ4)2 -298-9,8998-10"5

Су = 1 3 5 ,7 7 - -

--------------- 1------------

;=----------------

=

‘

9,50 -Ю'10

 

= 135,77 - 47,74 = 88,03 Дж • моль'1-К~х,

где мольный объём равен:

М78,1 М О-6

= 9,8998 -10 5 мкмоль

V Р 0,789

Примечание: 1 Н-м = 1 Дж. Различие в теплоёмкостях Ср и Су составляет 35,1%, что превышает ошибку эксперимента.

15. Коэффициент Джоуля-Томсона определяется как первая производная от температуры по давлению при Н = const:

(д Г

Умножив и разделив правую часть на ЭЯ, получаем:

'дН -дТ\

(дН

( Э7Л

м = -1 д Н д Р

ЭР Л [ д н )

1

дН

1

( д н \

дН

ЭР УТ

'РVЭР JT

дТ

 

 

 

Это уравнение можно также получить, используя свойства полного диф­ ференциала, Энтальпия может быть представлена в форме функции от Р

и Т :

н = н (р ,т ).

Полный дифференциал равен:

ПО

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности