книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации

На основании (4.5) найдем закон Ампера в такой диффе­ ренциальной форме, в которой её удобно использовать для нахождения силы, действующей на тонкий проводник произволь­ ной формы с током I, находящийся в неоднородном магнитном поле (рис. 4.7).

Рис. 4.7. Силы Ампера dFA, действующие на разные элементы dl

проводника с током I, помещенном в неоднородное магнитное поле

(Bi>B2 —> dFA,>dFA2)

Для упрощения чертежа проводник на рис. 4.7 расположен

в плоскости XOY, а линии индукции В неоднородного магнит* ного поля - параллельно оси Y. Поле усиливается в направлений

оси X, на что указывает увеличение густоты линий В в этомна* правлении. Также для упрощения рассуждений будем считать, что постоянный электрический ток I обусловлен упорядоченный движением только положительных носителей тока с зарядом^ и средней скоростью и .

На каждый носитель тока с зарядом +q действует сила Ло­ ренца Рл = ц[пв] (4.5). От каждого носителя действие этой силы

передается проводнику, по которому он перемещается. В ре­ зультате на проводник с током I в магнитном поле будет дейст-

вовать сила FA.

Найдем силу Ампера dFA, действующую на физически

бесконечно малый элемент dl проводника, как векторную сумму

—*■

сил Лоренца , действующих на каждый носитель тока в этом элементе. Величина dl выбирается такой, чтобы в его пределах магнитное поле можно было считать однородным. В то же вре­ мячисло носителей тока в элементе dl должно быть столь вели­ ко, чтобы к ним был применим статистический подход. Тогда на элемент dl проводника с током I в магнитном поле с индукцией В будет действовать сила

Вводя в (4.12) вектор d l = dl—, направленный одинаково с век- j

тором j , и учитывая, что сила тока I = j *S (2.3), получаем закон Ампера в дифференциальной форме для тонкого проводни­ ка:

Из этой формулы следует, что сила dFA всегда перпендикулярна

где а - угол между векторами dl и В , а направление вектора dFA находится или по правилу правого винта (рис. 4.2), или по правилу левой руки (рис. 4.3).

Сила Ампера, действующая в магнитном поле на весь про­ водник с током конечной длины L, в общем случае равна век­

торной сумме элементарных сил dFA:

L

Практический интерес представляет случай, когда тонкий прямолинейный проводник длиной £ с током I помещен в одно­

родное магнитное поле с индукцией В (рис. 4.8). В этом случае

Рис. 4.8. Сила Ампера FA, действующая на прямолинейный проводник длиной £ с током I, помещенный в однородное магнитное поле под углом а к линиям индукции В

все элементарные силы dFA равны по величине и одинаково на­

правлены. Тогда из формулы (4.15) вытекает, что модуль результирующей силы равен

где г - радиус-вектор, проведенный от движущейся частицы с зарядом q в рассматриваемую точку;

Опыт показывает, что так же как и в случае электрических полей, магнитные поля, созданные каждым движущимся заря­ дом qi в отдельности, не искажают друг друга, а просто векторно складываются. В этом заключается принцип суперпозиции магнитных полей:

(4.19)

где В; - магнитная индукция поля, созданного зарядом qi, дважушимся с постоянной скоростью Vj; В - магнитная индукция поля, созданного рассматриваемой системой из п движущихся зарядов.

4.7. Закон Био-Савара-Лапласа

Французские физики Ж.Био и Ф.Савар в 1820 году провели экспериментальные исследования магнитных полей постоянных токов различной формы. Проанализировав данные этих экспе­ риментов, французский математик и физик П.Лаплас пришел к выводу о том, что магнитное поле любого тока может быть вы­

Длина элемента проводника dl выбирается такой, чтобы в его пределах направление скорости упорядоченного движения й носителей тока не изменялось. Тогда на основании принципа суперпозиции (4.19) для индукции dB магнитного поля, созда­ ваемого всеми носителями тока, движущимися со скоростью й в произвольно выбранном элементе проводника dl, можно запи­ сать:

где и - число носителей тока в единице объема материала про­ водника; S - площадь поперечного сечения проводника; г - ра­ диус-вектор, проведенный от выбранного элемента проводника dl в рассматриваемую точку.

С учетом выражения для плотности тока j = q n u

Вводя в (4.21) вектор dl = dl j направленный одинаково с век­ J

тором j , и учитывая, что сила тока I = jS мулу закона Био-Савара-Лапласа:

H i ! 4л г2

Вектор магнитной индукции dB всегда перпендикулярен

плоскости, в которой лежат векторы dl и г (рис. 4.10), а его на­ правление определяется по правилу правого винта (рис. 4.2).

Модуль вектора dB равен

На основании принципа суперпозиции индукция В маг­ нитного поля, созданного постоянным током I, текущим по все­ му тонкому проводнику длиной L (рис. 4.10), находится как век­

L

Часто в технике провода молено представить как ту или иную комбинацию прямых проводов с проводами, имеющими форму окружностей или их дуг. Поэтому применим закон Био- Савара-Лапласа (4.22) для вычисления магнитных полей, созда­ ваемых прямым и круговым токами.

4.8. Магнитное поле прямого тока

Применим закон Био-Савара-Лапласа (4.22) к расчету ин­ дукции В магнитного поля созданного электрическим током, текущим по тонкому прямому проводу. (Провод называется тонким, если его диаметр много меньше расстояния от провода

до точки, в которой ищется индукция В ). Рассмотрим два слу­ чая:

1)провод имеет конечную длину;

2)провод является бесконечным длинным.

Поле провода конечной длины с током I. На рис. 4.11

провод длинной L лежит в плоскости XOY.

—*

Найдем индукцию В поля, созданного этим проводом с током в произвольной точке А, находящейся на плоскости XOY нарасстоянии R от провода. Положение точки А по отношению кпроводу определяется не только величиной R, но и углами ai и (Х2, между радиус-векторами, проведенными от концов провода кэтой точке, и направлением тока I. (Оба угла должны отсчиты­ ваться одинаково, например, по часовой стрелке от оси прово­ да).

Для применения закона Био-Савара-Лапласа (4.22) к расче­ ту поля провода с током изображенным на рис* 4.11, разобьем провод на элементарные участки dl. Каждому участку поставим

в соответствие вектор

d l, равный по модулю dl й совпадающий по направлению с током I.

Положение вектора dl по отношению к точке А определяется радиус-

p -H o.fdl-sina

(4.26)

4я L г2

В этой формуле в качестве переменной интегрирования выберем угол а между векторами dl и г (рис. 4.11), выразив через него dl и г. Для этого вначале рассмотрим большой прямоугольный треугольник с катетом R и гипотенузой г. Угол между г и другим