книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации

Первоначально конденсатор не был заряжен. В момент времени И ключ К замыкают и в цепи начинает протекать ток зарядки конденсатора. Накапливающиеся на обкладках конденсатора заряды будут со временем все больше препятствовать прохож­ дению тока, уменьшая его. Мгновенное значение силы тока свя­ зано с увеличивающимся зарядом на положительно заряженной обкладке конденсатора следующим образом:

где Ш. - мгновенное значение напряжения на сопротивлении R, U - мгновенное значение напряжения на конденсаторе С. Подставляя в (2.70) соотношения (2.62) и (2.69), получим

ференциальным уравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению (2.65) соответствующего однород­ ного уравнения (2.64). Частным решением уравнения (2.71) яв­ ляется U=e. Следовательно, общим решением уравнения (2.71) будет функция

Постоянная интегрирования В находится из начальных ус­ ловий: при t=0 напряжение на конденсаторе U=0. В этом случае В--8. Таким образом, зависимость напряжения на конденсаторе отвремени имеет вид

(2.73) Зависимость (2.73) показывает, что напряжение U на кон­

денсаторе увеличивается постепенно, асимптотически прибли­

Проведенная сравнительная оценка показала, что средняя ско­

рость хаотического теплового движения электронов (v) пример-

О

но в 10 раз больше средней скорости их упорядоченного дви­ жения (и). Это означает, что электроны, быстро двигаясь хаоти­ чески, медленно смещаются по проводнику под действием элек­ трического поля (рис. 3.2). Такое движение электронов подобно движению молекул газа, заключенного в трубу, между концами которой поддерживается небольшая разность давлений: молеку­ лы газа быстро двигаясь хаотически медленно дрейфуют вдоль трубы. Поэтому скорость упорядоченного движения и называют еще скоростью дрейфа электронов проводимости. Таким обра­ зом, при вычислениях можно заменить модуль результирующей скорости электрона |v + u| модулем его скорости теплового

движения v

Следует обратить внимание на тот факт, что скорость рас­ пространения электрического тока (электрического сигнала) в цепи в результате ее замыкания определяется не относительно малой скоростью дрейфа электронов и, а скоростью распростра­

нения электрического поля вдоль проводника, имеющей поря-

м

док скорости света с=3 • 10s ^Г' Электрическое поле приводит в

упорядоченное движение свободные электроны, находящиеся в металлических проводниках цепи на всем ее протяжении. По­ этому электрический ток в цепи возникает практически сразу после ее замыкания.

С помощью классической теории электропроводности можно получить основные законы электрического тока - законы Ома и Джоуля-Ленца, установленные опытным путем.

Закон Ома. Согласно теории П.Друде, в конце свободного пробега электрон при столкновении с ионом решетки полностью отдает ему свою, приобретенную в электрическом поле, кинети­ ческую энергию. В результате, сразу после столкновения, ско­ рость упорядоченного движения электрона становится равной и=0, а затем снова начинается его движение с ускорением.

Пусть поле с напряженностью Е, ускоряющее электроны, однородно. Тогда под действием поля электрон будет двигаться

те

ик концу свободного пробега будет иметь в среднем скорость

где (т) - среднее время между двумя последовательными соуда­ рениями электрона с ионами решетки.

С учетом равенства (|v + u|)» (|v|) можно записать:

J X )

<v>-

Так как скорость и изменяется за время пробега линейно, то ее среднее за пробег значение с учетом (3.5) будет равно

Подставляя (3.6) в (3.2), находим связь плотности тока j с напряженностыо электрического поля Е в проводнике:

пе

Поскольку все величины, стоящие перед Е в правой частя (3.7), не зависят от Е и постоянны, то плотность тока j оказалась

пропорциональной напряженности поля Е, т.е. мы получили за­ кон Ома в дифференциальной форме (2.14). Коэффициент про­ порциональности между j и Е есть удельная электропроводность

ометалла:

пе^_(Х)

(3.8)

2me ( v ) ‘

Анализ этой формулы показывает, что отсутствие столк­ новений электронов с ионами кристаллической решетки эквива­ лентно тому, что длина свободного пробега (к), а следовательно, и удельная электропроводность а становятся бесконечно боль­

шими. При этом удельное сопротивление р = — металла стано-

о

вится бесконечно малым. Это означает, что электрическое со­ противление металлов обусловлено столкновениями элек­ тронов проводимости с иопами кристаллической решетки.

Закон Джоуля-Ленца. К концу свободного пробега элек­ трон проводимости под действием электрического поля с на­ пряженностью Е приобретает дополнительную кинетическую энергию:

Как уже говорилось, при столкновении с ионом металла эта энергия полностью передается кристаллической решетке. Со­ общеннаярешетке энергия идет на увеличение внутренней энер­ гии металла, которое проявляется в его нагревании.

За единицу времени каждый электрон испытывает с иона­ ми решетки в среднем <z) столкновений, равное

(3.10)

В единице объема число столкновений будет равно произведе­ нию концентрации электронов проводимости п на (z). Таким об­ разом, в единице объема металла за единицу времени выделяет­ сяколичество теплоты:

Величина Оуд назьтается удельной тепловой мощностью тока (см. параграф 2.7). При сравнении (3.11) и (3.8) видно, что коэффициент пропорциональности между QyAи Е2 в (3.11) явля­ ется удельной электропроводностью сг металла. Следовательно, согласно (2.60), выражение (3.11) является формулой закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Температурная зависимость сопротивления металлов. Опыт показывает, что в довольно широком температурном ин­ тервале удельное сопротивление р металлов с ростом темпера­ туры увеличивается по линейному закону:

где роудельное сопротивление при t=0 °С, р 7удельное сопро­ тивление при данной температуре t по шкале Цельсия, а - тем­ пературный коэффициент сопротивления.

График зависимости (3.12) представлен на рис. 3.3.

р, Ом-м|

Рис. 3.3. Зависимость удельного сопротивления р металла от температурыt

Для чистых металлов температурные коэффициенты со­ противления мало отличаются друг от друга и примерно равны

— К'1« 0,004K "1 Температурный коэффициент сопротивле273

ния сплавов, как правило, существенно меньше, чем у чисть#

металлов. Вследствие малости коэффициента а удельное сопро­ тивление р металлов сравнительно слабо зависит от температу­ ры t. Поэтому на графике (рис. 3.3) зависимость (3.12) изобра­ женапрямой с относительно малым наклоном.

На основании (2.22) от Температурной зависимости (3.12) для удельного сопротивления р можно перейти к аналогичной температурной зависимости для сопротивления R металличе­

где Roсопротивление проводника при t=0 °С.

Эта зависимость положена в основу работы термометров со­ противления. Основной их частью является металлическая проволока (обычно платиновая или медная), намотанная на кар­ кас из керамики. Поместив эту проволоку в среду, температуру которой хотят определить, и измерив ее сопротивление R, рас­ считывают по формуле (3.13) температуру среды. (Величина Ro измеряется заранее). Термометр сопротивления позволяет изме­ рятькак низкие, так и высокие температуры с точностью поряд­ канескольких тысячных долей градуса

Классическая теория электропроводности объясняет тем­ пературную зависимость удельного сопротивления металлов следующим образом. Концентрация электронов проводимости п и их длина свободного пробега (Я), входящие в формулу (3.8) дляудельной электропроводности а, от температуры не зависят. Но согласно (3.1) средняя скорость теплового движения этих

электронов (v)~V f Следовательно, с увеличением температу­

ры Тудельное сопротивление р = — должно возрастать пропор­ ет

ционально л/т . Но этот вывод классической теории противоре­ чит опытным фактам, согласно которым с увеличением темпе­ ратуры р возрастает пропорционально Т.

Затруднения классической теории электропроводности ме­ таллов можно объяснить лишь с позиций квантовой теории твердого тела.

3.2. Элементы зонной квантовой теории твердых тел

Зонная квантовая теория позволяет объяснить с единой точки зрения механизм проводимости металлов, полупроводни­ ков и диэлектриков. Поскольку подробное рассмотрение кван­ товой теории в данной главе не входит в нашу задачу, мы сфор- мулируем два ее положения, нужные нам, в виде постулатов.

Во-первых, энергия электрона в квантовых системах (ато­ мах, молекулах, кристаллах и т.д.) может принимать не любые значения, а лишь дискретный ряд значений, которые называют разрешенными уровнями энергии. В качестве примера на рис. 3.4 изображена энергетическая диаграмма атома, имеющая

принцип запрета Паули формулируют еще и таким образом: в квантовой системе на каждом энергетическом уровне может на­ ходиться не более двух электронов с противоположно направ­ ленными спинами. Такое попарное размещение электронов по уровням условно показано на рис. 3.4. Стрелками показано на­ правление спинов. (В.Паули - швейцарский физшс-теорешк).