книги / Физические основы электромагнитных процессов в технических средствах автоматизации
..pdfб)
Рис. 5.2. При изменении магнитного потока Ф, сцепленного с замкнутым проводящим контуром, возникший в нем индукционный ток Iuu создает свой магнитный поток Фннд, препятствующий изменению основного
потока Ф:
dO
а) при увеличении потока Ф ( — > 0); dt
dO
б) при уменьшении потока Ф ( —— < 0) dt
Часто контур бывает сложным, представляющим собой соленоид, состоящий из N витков, каждый из которых сцеплен с изменяющимся магнитным потоком Ф(£) (рис.5.3).
Ф(Х)
N витков
Рис. 5.3. Сложный контур в виде соленоида представляет собой N последовательно соединенных витков
Поскольку витки соленоида соединены последовательно, то э.д.с. 8сол, индуцированная в соленоиде, будет равна сумме э.д.с. евнх, индуцированных в каждом витке:
'СОЛ = S e _ — |
N dt dt N |
dt |
N |
где \ir=NO - потокосцепление.
Тогда для соленоида формулу (5.1) можно записать следующим образом:_______
(5.2)
Эта же формула справедлива и для тороида.
Система отчета К, в которой мы рассматриваем движение контура, связана с источником магнитного поля, т.е. с проводом, по которому течет ток I.
Очевидно, что в этом случае магнитный поток Ф, сцеплен ный с контуром, изменяется во времени и в нем, согласно закону электромагнитной индукции, наводится электродвижущая сила. Найдем выражение для неё в момент времени, когда контур на ходится на произвольном расстоянии x=vt от провода. (Время t=0, когда сторона ab контура соприкасается с проводом). Расчет э.д.с. электромагнитной индукции произведем двумя способами.
Формальный расчет с помощью закона электромаг нитной индукции. Разделим площадь контура на бесконечно узкие полоски шириной dr и длиной I , в пределах которых ин дукцию В магнитного поля, созданного током I, можно считать неизменной (рис. 5.4).
Элементарный магнитный поток через каждую такую по
лосу равен |
|
ёФ = В• dS• cosa, |
(5.3) |
где В = — — - индукция магнитною ноля бесконечно длинного
4п г
тока I на расстоянии г от него; dS = I • dr - площадь выделенной полоски; cosa = 1, т.к. угол а между нормалью п к плоскости
контура и вектором В равен нулю. С учетом вышесказанного получаем:
ЙФ = ^ -2 И — . |
(5.4) |
|
4п |
г |
|
После интегрирования выражения (5.4) по поверхности |
||
контура находим магнитный поток Ф, сцепленный с ним: |
||
Ф = fd<D = — 2 U f — = — 21-dWx + L) - Ac], |
(5.5) |
|
s' |
4тс ' r 4n |
|
где S - площадь поверхности контура abed.
Учитывая, что x=vt, запишем выражение (5.5) для потока Ф как функцию времени:
Вначале эти стороны будем рассматривать как несвязан ные между собой проводники “ab” и “dc”
Начнем с проводника “ab”. Электроны проводимости дви жутся вместе с ним со скоростью v (рис. 5.5).
На каждый электрон действует сила Лоренца, модуль ко торой равен
(5.8)
где Ваь - величина магнитной индукции в месте расположения проводника “ab”.
Под действием этой силы электроны будут смещаться к концу “Ь” проводника. В результате на указанном конце возник нет избыток отрицательных зарядов (-q), на противоположном конце”а” - избыток положительных зарядов (+q).
Накапливающиеся избыточные заряды создадут в провод нике “ab” электрическое поле с напряженностью Еаь, которое в конце концов прекратит движение электронов вдоль проводни ка. При этом сила Лоренца (5.8), действующая на каждый сво бодный электрон проводника “ab” будет уравновешиваться ку лоновской силой FKab = lejEgb:
■р |
(5.9) |
гкаЬ |
или
|е(ЕаЬ = |ф В л .
С учетом связи напряженности Еаь с разностью потенциа лов <ра —<рь между концами прямого проводника “ab” можно
записать |
|
Ф а-ф ь= у,ВаЬ^аЬ* |
(5-10) |
Указанная разность потенциалов <ра - <рь |
создается рабо |
той сторонних сил, заставляющих рамку двигаться со скоростью v . Следовательно, она равна электродвижущей силе:
(5.11)
471 X
Un 21
где В,,», = — — - величина магнитной индукции в месте распо-
4% х
ложения проводника “ab”.
Проводя аналогичные рассуждения в отношении провод ника “dc”, получим:
|
|Edc| = B|lc '^dc |
-V , |
(5.12) |
|
4п |
х + L |
|
D |
Но 21 |
|
|
где Bdc = — ---------величина магнитной индукции в месте рас- 4п x+L
положения проводника “dc”.
Теперь с помощью проводников “ad” и “Ьс” соединим про водники “ab” и “dc” в контур. Из рис. 5.5. видно, что электро движущие силы в проводниках “ad” и “Ьс” возникать не будут. Так как э.д.с. £аь и edc в контуре abed включены встречно, то ре зультирующая э.д.с. 8ь наводящаяся в контуре, будет равна их
разности: |
|
|
|
1 |
1 |
|
'ab |
dc |
Ро |
(5.13) |
|||
— |
-2т |
|
|
|||
= Я I |
— Я , = |
|
Vх |
x +L, |
|
|
|
|
4п |
|
|||
Расчет э.д.с. по закону электромагнитной индукции (5.7) приводит к точно такому же результату. Следовательно, в дви жущемся контуре или проводнике появление э.д.с. можно объяснить действием силы Лоренца.
Опыт и расчет показывают, что в случаях, изображенных на рис. 5.4 и рис. 5.5, величина и направление индукционного тока 1инд в контуре одинаковы.
Случай 2. Неподвижный проводящий замкнутый кон тур находится в изменяющемся магнитном поле. Неподвиж ный проводящий (металлический) замкнутый контур abed нахо дится в неоднородном магнитном поле, созданном движущимся со скоростью v бесконечно длинным (очень длинным) прямым проводником с постоянным током I (рис. 5.6).
Система отсчета К', в которой мы рассматриваем появле ние в контуре индукционного тока IW№связана сконтуром.
В неподвижном контуре отсутствует направленное движение электронов проводимости вместе с ним, следова тельно, сила Лоренца на них не действует.
I
X
у
X
V
X
\ /
X
I
«
Y+
X |
X |
|
В |
X |
|
|
|
|
|
|
у |
|
1инд |
|
X а |
|
W я |
X |
|
А |
|
* d |
||
J L |
|
|
|
|
X |
X |
|
|
X |
t |
|
|
|
|
х |
X |
|
|
X |
1 [_____ |
|
|
|
сист. К' |
|
|
c |
— - -fr |
|
b |
|
L |
x ' |
|
|
|
|
|
|
V |
w--------------w-----------------------и |
V |
||
X X X
Рис. 5.6. Неподвижный прямоугольный проводящий контур abed находится в изменяющемся (уменьшающемся) магнитном поле. (Изменяющееся поле создано бесконечно длинным проводом с постоянным током I, движущимся со скоростью V )
Однако, опыт и расчет по закону электромагнитной индук ции (5.1) показывают, что изменяющееся магнитное поле в мес те расположения контура abed индуцируют в нем точно такую же э.д.с. Si и, следовательно, точно такой же индукционный ток 1ИНД, как в случае движущегося контура.
Эти индукционные э.д.с. Ei и ток 1ивд свидетельствуют о том, что изменяющееся магнитное поле вызывает в контуре по явление сторонних сил, действующих на электроны. Поскольку эти сторонние силы не связаны ни с химическими, ни с тепло238
выми процессами в металлическом контуре, Максвеллдопустил, что они обусловлены возникающим в контуре электрическим полем, которое было названо вихревым.
Напряженность вихревого поля Ёвихр является напряжен
ностью сторонних сил. Тогда на основании определения элек тродвижущей силы (2.35) э.д.с. электромагнитной индукции в
контуре abed равна |
|
8i ^fEaHxpdlcosa, |
(5.14) |
L |
|
где a - угол между вектором ЕЬИХр |
и вектором элементарного |
перемещения dl при обходе контура.
С другой стороны, э.д.с. индукции в контуре abedравна
s‘ = - T = - ! / B”ds’ |
(5Л5) |
где S —площадь поверхности контура abed; Вп —проекция век тора В на нормаль п к поверхности контура.
Приравнивая правые части выражений (5.14) и (5.15), по
лучим |
|
|
fE„1Kpdl-cosa = ~ f B ndS |
|
|
L |
atS |
|
ИЛИ |
|
|
^E-dl*cosa = - J авS-dS J |
(5.16) |
|
L |
s at |
|
где Е=Евихр> так как индекс у Е обычно опускается. Выражение (5.16) представляет собой еще одно из четырех
уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно говорит о том, что всякое изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля.
Из анализа явлений, наблюдаемых в неподвижном конту ре, находящемся в изменяющемся магнитном поле, можно сде лать важные выводы.
б)
Рис. 5.7. Изменяющееся магнитное поле с индукцией B(t) порождает в окружающем пространстве индукционное электрическое поле с напряженностью Е ^ д , направление которого определяется по правилу Ленца:
а) индукция B(t) увеличивается ( — > 0); dt
б ) индукция B(t) уменьшается( — < 0 ) dt